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Seminararbeit
Physik

Dante-Gymnasium München

10, C. Mosny, 2014

Marco O. ©
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ID# 47347







Dante-Gymnasium
München

Abiturjahrgang

2013 / 2015


S E M I N A R A R B E I T


Rahmenthema des Wissenschaftspropädeutischen Seminars:

Die Physik Albert Einsteins

Leitfach: Physik


Thema der Arbeit:

Zeitmaschinen und Ãœberlichtgeschwindigkeiten


Verfasser:

Kursleiter:

C.

Abgabetermin:


4. November 2014

Bewertung

Note

Notenstufe in Worten

Punkte


Punkte

schriftliche Arbeit

3 -

befriedigend

7

x 3

21

Abschlusspräsentation

2

gut

10

x 1

10

Summe:

31

Gesamtleistung nach § 61 (7) GSO = Summe:2 (gerundet)

16


Datum und Unterschrift der Kursleiterin bzw. des Kursleiters

Inhaltsverzeichnis


1 Einleitung

Wer kennt das nicht? Mal wieder eine unglaublich peinliche Aktion und alle Augen sind auf sich gerichtet. Am liebsten würde man im Erdboden versinken – oder in die Vergangenheit reisen, um das Geschehene rückgängig zu machen. Doch leider ist dieser allzeit bestehende Traum von Zeitreisen bisher, wie gesagt, nur ein Traum. Albert Einstein trug jedoch mit der Speziellen (SRT) und der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) einen bedeutenden Teil zur Entwicklung von Theorien für Zeitreisen bei.

Albert Einstein wurde am 14. März 1879 in einer jüdischen Familie in Ulm geboren. Obwohl es heutzutage schwer vorzustellen ist, war Einstein nie ein herausragender Schüler und Student und lernte auch erst spät zu sprechen. Nichtsdestotrotz veröffentlichte er während seiner Tätigkeit im Berner Patentamt mehrere Arbeiten im Gebiet der theoretischen Physik. Zu diesen Veröffentlichungen zählte u.a. sein bahnbrechender Beitrag der Relativitätstheorie, der die Physik revolutionierte.1 Er selber beschreibt den Grundgedanken der Relativitätstheorie, also die Relativität, so: „Wenn ein Mann eine Stunde mit einem hübschen Mädchen zusammensitzt, kommt ihm die Zeit wie eine Minute vor.

Sitzt er dagegen auf einem heißen Ofen, scheint ihm schon eine Minute länger zu dauern als jede Stunde. Das ist Relativität.“2 Auch wenn die genannten Faktoren natürlich keine reellen Auswirkungen auf die Zeit haben, spielt er damit darauf an, dass es in Wirklichkeit Faktoren gibt, welche beispielsweise die Zeit beeinflussen. Einstein zeigte, dass die Zeit keine absolute Dimension ist und, dass die Geschwindigkeit (SRT) und die Schwerkraft (ART) Einfluss auf die Zeit haben.

Wie diese Aspekte für Zeitreisen und den Bau von Zeitmaschinen genutzt werden können, wird in dieser Arbeit beschrieben. In Kapitel 2 werden die Grundkonzepte der SRT geschildert. Es wird gezeigt, dass Zeitreisen durch das Erreichen von unendlich hohen Geschwindigkeiten aufgrund von relativistischen Effekten nicht möglich ist. In Kapitel 3 werden zwei Arten in der Zeit zu reisen beschrieben.

Es wird zum einen erläutert, wie man mit Hilfe der Zeitdilatation in die Zukunft, zum anderen wie man mit Wurmlöchern in die Vergangenheit reisen kann. In Kapitel 4 werde ich nach einer kurzen Zusammenfassung auf die Machbarkeit und die logische Existenz von Zeitreisen eingehen.

2 Bewegungen in der Speziellen Relativitätstheorie

Die spezielle Relativitätstheorie nach Einstein ist eine Erweiterung der Grundgedanken der galilei’schen Mechanik. Sie beschreibt das Verhalten verschiedener Systeme mit konstanten Geschwindigkeiten zueinander und legt Raum und Zeit nicht mehr als absolute, sondern als relative Größen fest.

In der Newtonschen Physik sind die zeitlichen und räumlichen Koordinaten t’, x’, y’ und z’ im bewegten Inertialsystem mit denen im stationären Inertialsystem t, x, y und z gemäß der galilei’schen Transformation durch Gleichungen (1) bis (4)

(1)

(2)

(3)

(4)

miteinander verbunden. v ist die Geschwindigkeit zwischen den Systemen. In der SRT sind die zeitlichen und räumlichen Koordinaten zwischen stationärem und bewegtem Inertialsystem gemäß der Lorentz-Transformation in Gleichungen (5) bis (8)

(5)

(6)

(7)

(8)

verbunden. γ ist der relativistische Faktor, definiert in Gleichung (9).

(9)

c ist die Lichtgeschwindigkeit und hat den Wert von 299.792.458 m/s im Vakuum. Im Vergleich zur galilei’schen Transformation (Gleichungen (1) bis (4)) hängen in der Lorentz-Transformation die Zeit- und der Raumkoordinaten vom Bewegungszustand des Betrachters ab. Veränderungen sind jedoch erst ab 10% der Lichtgeschwindigkeit nennenswert und bemerkbar. Die Lichtgeschwindigkeit c ist eine absolute Konstante und in allen Inertialsystemen gleich.

Es wird zwischen Teilchen, die sich langsamer, gleich oder schneller als die Lichtgeschwindigkeit bewegen, unterschieden (siehe Tabelle 1). Teilchen, die sich langsamer als die Lichtgeschwindigkeit bewegen, werden als Tardyonen bezeichnet. Diese werden in Kapitel 2.1 näher betrachtet. Teilchen, die sich schneller als die Lichtgeschwindigkeit bewegen, werden als Tachyonen bezeichnet und sind in Kapitel 2.2 ausgeführt.

2.1 Tardyonen

Tardyonen sind Teilchen mit realer Masse und machen die uns bekannte Materie aus. Deren Geschwindigkeit kann maximal c betragen. Eine durchaus erreichbare Geschwindigkeit von Sprintern liegt bei 40 km/h, handelsübliche Autos können dagegen Geschwindigkeiten von bis zu 250 km/h erreichen und Flugzeuge fliegen sogar mit über 800 km/h. Hieran ist zu erkennen, dass mit mehr Aufwand, sowohl körperlich, (bei Läufern zum Beispiel), als auch technisch, höhere Geschwindigkeiten zu erreichen sind.

Die Frage, die sich stellt ist, ob es demnach nicht möglich wäre sich mit immer höheren Geschwindigkeiten und letztendlich sogar mit unendlich hohen Geschwindigkeiten zu bewegen. Die höchste erfasste Geschwindigkeit beträgt jedoch „nur“ 252.792 km/h, die der unbemannten Raumfahrtschiffe Helios 1 und Helios 2 bei ihrer Mission zur Erforschung der Sonne3, was nur ca. 0,02% der Lichtgeschwindigkeit entspricht.

Bis zur damaligen Zeit und bis heute sind keine Geschwindigkeiten jenseits der Lichtgeschwindigkeit gemessen worden. Einstein kam durch (physikalische) Überlegungen auf das Ergebnis, dass die Geschwindigkeit der Photonen bzw. die Lichtgeschwindigkeit c, die Grenzgeschwindigkeit ist, welche nicht überschritten werden kann. Während mit der klassischen/ newton’schen Geschwindigkeitsaddition in Gleichung (10)

(10)

(11)

bei Geschwindigkeiten ab 0,1c nicht möglich. Diese Addition ist konform mit der Lorentz-Transformation, in der c für alle Systeme gleich ist und nicht überschritten werden kann. Hierzu ein Vergleich der klassischen und relativistischen Geschwindigkeitsaddition. Dazu wird folgender Fall betrachtet: Von einer Rakete mit einer Fluggeschwindigkeit von c wird ein Lichtstrahl (v = c) von einer Taschenlampe in Bewegungsrichtung losgeschossen.

Mit der klassischen Geschwindigkeitsaddition würde dieser Lichtstrahl gemäß Gleichung (10) eine Geschwindigkeit von 2c besitzen, was nicht möglich ist, denn das wäre die doppelte Lichtgeschwindigkeit und somit deutlich über der unüberschreitbaren Grenzgeschwindigkeit. Da jedoch v1 und v2> 0,1c, muss in diesem Fall die relativistische Geschwindigkeitsaddition verwendet werden.

Gemäß Gleichung (11) entspricht die Geschwindigkeit des Lichtstrahls c, denn:

(12)

An dem vorhergehenden Beispiel lässt sich erkennen, dass Materie nicht auf Geschwindigkeiten jenseits der Grenzgeschwindigkeit c gebracht werden kann. Die Existenz überlichtschneller Teilchen ist jedoch durch Einsteins Theorie nicht verneint und wird in Kapitel 2.2 näher erläutert.

Die Zusammenhänge der Raum- und Zeitkoordinaten in der SRT werden anhand von Minkowski-Diagrammen veranschaulicht (siehe Abbildung 2.1).


x

ct


Abbildung 2.1: Minkowski-Diagramm eines stationären Inertialsystems. Erklärung der einzelnen Elemente im Text angeführt.4

Diese Grafik zeigt die verschiedenen Arten bewegter Teilchen. Die rosa eingefärbten Flächen stellen den sog. Lichtkegel dar. Dieser ist durch Trennung der x-Achse in Zukunft und Vergangenheit eingeteilt und von den rot-gestrichelten Linien (im Diagramm durch die Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen gekennzeichnet) eingegrenzt. Die rot-gestrichelten Linien stellen die Bewegung der Photonen und somit die Lichtgeschwindigkeit dar.

Alle Bewegungen, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, fallen in den Winkeln α, wo 45° < α < 135° und 225° < α < 315°. Dies ist der Bereich der Tardyonen. Überlichtgeschwindigkeiten befinden sich in dem türkis eingefärbten Bereich mit Winkeln α = 315° < α < 45° und 135° < α < 225°. Dies ist der Bereich der Tachyonen.

Im Minkowski-Diagramm passiert dies an dem Punkt, wo sich die rot-gestrichelte Linie der Photonen, die vom Tisch reflektiert werden, mit der grün-gestrichelten Linie von Person A schneidet. Den Tisch selbst erreicht Person A aber erst später, am Schnittpunkt zwischen der blau und grün gestrichelten Linie. Sein sehr schneller Freund B läuft mit höherer Geschwindigkeit als der Lichtgeschwindigkeit (v > c) ebenfalls auf den Tisch zu.

Da auch er den Tisch erst sieht, sobald die Photonen bei ihm ankommen, läuft er gegen den Tisch, bevor er ihn überhaupt sieht (und wird sich womöglich dabei verletzen).

Während die Lorentz-Transformationen in Gleichungen (5) bis (8) nur zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant bleibt, egal wie schnell sich Tardyonen bewegen, bietet die SRT eine Erklärung, warum für Tardyonen c die höchst erreichbare Geschwindigkeit ist. Gemäß der SRT nimmt die Masse und Energie von Tardyonen mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Lichtschnelle Tardyonen würden unendlich hohe Energie und Masse haben.

Dieses asymptotische Verhalten ist durch die relativistische Massenzunahme in Gleichung (12)

(12)

und die relativistische Energie in Gleichung (13)

(13)

beschrieben. y ist der relativistische Faktor von Gleichung (9). m0 ist die Ruhemasse des Tardyons. m und E sind die geschwindigkeitsabhängige Masse und Energie.

Das folgende Beispiel verdeutlicht, was mit einem Tardyon passiert, wenn es sich der Lichtgeschwindigkeit nähert: Es wird angenommen, dass sich ein Raumschiff mit der Ruhemasse (m0) 5000 kg mit 0,5c fortbewegt. Gemäß Gleichung (12) besitzt das Raumschiff bei dieser Geschwindigkeit bereits eine Masse von 5774,5 kg. Gemäß Gleichung (13) sind 5,2∙1020 J notwendig, um die Ruhemasse auf 0,5c zu beschleunigen.

Die geschwindigkeitsabhängige Masse und Energie des 5000 kg schweren Raumschiffs ist in Abbildung 2.2 veranschaulicht.

Abbildung 2.2: Relativistische Energie (schwarze Linie) und Masse (blaue Linie) eines 5000 kg schweren Raumschiffs. Die Asymptote von Gleichungen (12) und (13) ist durch eine rot-gestrichelte Linie dargestellt und ist die Lichtgeschwindigkeit. Die blau-gestrichelte Linie ist die Ruhemasse m0 von 5000 kg und die grün-gestrichelte Linie die dazugehörige Ruheenergie.

Die Vorhersagen der SRT von der geschwindigkeitsabhängigen Massen- und Energiezunahme werden heute routinemäßig in den Teilchenbeschleunigern des CERNs und vielen anderen bestätigt. Sie sind fundamentaler Bestandteil im Design und der theoretischen Modellierung der dort durchgeführten Kollisionsexperimente.5

2.2 Tachyonen

Abbildung 2.3: Vergleich der relativistischen Energie (schwarze Linie) und Masse (blaue Linie) eines 5000 kg schweren Raumschiffs bestehend aus Tardyonen (linke Seite der Asymptote c) bzw. Tachyonen (rechte Seite der Asymptote c). Für v > c ist die Ruhemasse imaginär. Für die Kurvendarstellung der Masse und Energie der Tachyonen wurde der relativistische Faktor alseinprogrammiert.

Während es aufgrund relativistischer Effekte nicht möglich ist, Tardyonen auf Überlichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, wird bei Tachyonen davon ausgegangen, dass sie diese Geschwindigkeit bereits besitzen, die Grenze also nicht „überschreiten müssen“. Der Relativitätstheorie zur Folge ist die Existenz von Tachyonen möglich, falls deren Ruhemasse m0 imaginär ist.7 Dies kann auch über die Gleichung (13) für die relativistische Energie nachvollzogen werden.

Für v > c ist der relativistische Faktor y imaginär. Da die Gesamtenergie E nicht imaginär sein kann, muss eine imaginäre Ruhemasse definiert werden. Was in der Physik eine imaginäre Masse darstellen soll, ist wiederum nicht klar definiert. Mit Hilfe der imaginären Ruhemasse kann das geschwindigkeitsabhängige Massen- und Energieverhalten von Tachyonen mit Gleichung (12) und (13) beschrieben werden.

Sie stellen die Kurven auf der rechten Seite der Asymptote der Lichtgeschwindigkeit dar. Dies ist in Abbildung 2.3 veranschaulicht. Im Gegensatz zu Tardyonen werden Tachyonen bei Energiezunahme langsamer, bei Energieverlust schneller. Sobald deren Energie gegen null geht, werden die überlichtschnellen Teilchen unendlich schnell, sie befinden sich dementsprechend überall zur selben Zeit.

Tabelle 1: Merkmale des Energie- und Masseverhaltens von Tardyonen, Tachyonen und Luxonen8


Tardyonen

Luxonen

Tachyonen

Geschwindigkeit

v < c

v = c

v > c

Energiezunahme

Werden schneller

Sind lichtschnell

Werden langsamer

Energie null

Sind in Ruhe

Sind lichtschnell

Sind unendlich schnell

Energie unendlich

Werden lichtschnell

Sind lichtschnell

Werden lichtschnell

Obwohl die Existenz von Tachyonen in der Relativitätstheorie möglich ist, hat dies drastische Folgen für das Kausalitätsprinzip. In Abbildung 2.4 werden diese Folgen anhand eines Beispiels in einem Minkowski-Diagramm verdeutlicht:

Abbildung 2.4: Minkowski-Diagramm für Signalaustausch zwischen Person I (v = 0) und II (v = 0,4c) mit Hilfe von Tachyonen. ct und x sind die Raum-Zeit Koordinaten von Person I, ct’ und x’ die Raum-Zeit Koordinaten von Person II. Die Änderung der Raum-Zeit Koordinaten in Abhängigkeit der Geschwindigkeit wird durch die Lorentz-Transformation beschrieben.9

Es wird folgender Fall betrachtet: Person I ist ein ruhender Beobachter (v = 0), Person II bewegt sich in einem Jet mit 0,4c fort. Person I schickt ein instantes Signal mit v > c, welches in seinem Bezugssystem sofort ankommt, zu Person II (Event A hat Raum-Zeit Koordinaten x = 0 und t = 2,5 für Person I und gemäß der Lorentz-Transformation x‘ = -1 und t‘ = 2,7 für Person II).

Mit Hilfe von Tachyonen sind somit Signale in die Vergangenheit möglich, denn diese laufen sozusagen rückwärts in der Zeit – sie bewegen sich entgegen unserer Zeit, also in die Vergangenheit. Hätte, das von Person II zurückgeschickte, Signal eine zerstörerische Wirkung, dann würde Person I, bevor sie ihr Signal losgeschickt hat, schon zerstört sein. Aber, wenn Person I vor dem Aussenden ihres Signal getötet wird, wie kann sie dann das Signal losschicken? Mit Tachyonen kann somit die zeitliche Abfolge von Ursache und Auswirkung auf den Kopf gestellt werden.

Das Kausalitätsprinzip ist außer Kraft gesetzt, was zu erheblichen Paradoxien führt. Die Existenz von Tachyonen konnte bisher aber noch nicht nachgewiesen werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass diese nicht existieren.10

3 Zeitmaschinen

Szenen, wie aus der Science-Fiction-Film-Trilogie „Zurück in die Zukunft“, bei denen sich die Protagonisten mit selbst gebauten, ausgefallenen Zeitmaschinen (in diesem Fall ein umfunktioniertes Auto) waghalsig in die Zukunft bzw. in die Vergangenheit stürzen sind beinahe alltäglich im Fernsehen zu sehen. Viele dieser „Zeitmaschinen“ basieren jedoch nicht auf der Physik, sondern sind schlicht und einfach fiktiv.

3.1 Zeitdilatation

Eine Möglichkeit, in der Zeit zu reisen, ist mit Hilfe des relativistischen Phänomens der Zeitdilatation. Dies ist nicht nur ein theoretisch auftretender Effekt, sondern konnte experimentell bewiesen werden (Hafele-Keating-Experiment11). Wörtlich übersetzt bedeutet es, aus dem Lateinischen übersetzt, „ausdehnen, ausbreiten“ – die Zeit wird also ausgedehnt.

Wichtig zum Verständnis der Zeitdilatation ist, dass alle Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung relativ zueinander sind. Allgemein ist aufgrund der Erkenntnisse aus der SRT zu sagen, dass Uhren in bewegten Inertialsystemen langsamer laufen als in ruhenden Systemen. Dies gilt nicht nur für Uhren, sondern allgemein für die Zeit in bewegten Systemen - die Zeit verläuft also langsamer, je schneller sich das System bewegt.

Dieser Effekt wird durch Gleichung (14) beschrieben.

(14)

Δt ist hierbei die gemessene Länge eines Zeitintervalls für einen Beobachter im ruhenden System und Δt‘ die des bewegten Systems gemessen vom Beobachter im ruhenden System. Je mehr sich die Geschwindigkeit v des bewegten Systems der Lichtgeschwindigkeit c nähert, desto kleiner wird Δt‘, sprich es ist weniger Zeit verstrichen.

Dementsprechend ist Zwilling A 32 Jahre alt. Für den Zwilling auf der Erde ist ein längerer Zeitraum verstrichen als für den Zwilling an Bord des Raumschiffs. Zwilling A ist zwar während der Reise um 12 Jahre gealtert, aber 8 Jahre in die Zukunft gereist.

Am Beispiel der Zwillinge wird klar, dass Zeitdilatation es ermöglicht in die Zukunft zu reisen.

Der Effekt der Zeitdilatation kann auch anhand von Minkowski-Diagrammen gezeigt werden, wie in Abbildung 2.5 dargestellt. Person A ist ein ruhender Beobachter (v = 0), Person B bewegt sich mit einem Jet mit 0,6c fort. Im ruhenden Bezugssystem (Person A) tritt ein Ereignis bei 4 ct ein. Damit Person A schauen kann, welche Zeit bei Person B für dieses Ereignis gemessen wird, wird eine Parallele zur x‘-Achse vom gemessenen Zeitpunkts des Ereignisses aus angelegt.

Der Schnittpunkt mit der t‘-Achse stellt die Gleichzeitigkeit dar: Person A misst 4 ct, während Person B 5 ct misst (Abbildung 2.5 a). Dies kann auch andersherum dargestellt werden, also aus dem Bezugssystem des bewegten Beobachters (Person B). Damit Person B schauen kann, welche Zeit Person A für das, in ihrem Bezugssystem erfolgte, Ereignis gemessen hat, wird diesmal eine Parallele zur x-Achse vom gemessenen Punkt aus angelegt.


x

x’

x’

x

(b)a)

(a)a)

Abbildung 2.5: Minkowski-Diagramm zur Veranschaulichung der Zeitdilatation. ct und x sind die Raum-Zeit Koordinaten für Person A mit v = 0 (schwarzen Achsen), ct’ und x’ die Raum-Zeit Koordinaten von Person B mit v = 0,6c (blaue Achsen). Die gelben Linien kennzeichnen den Lichtkegel. Der rote Punkt stellt ein Ereignis dar. (a) Beziehung der Zeitkoordinaten für ein Ereignis, das im nichtbewegten Bezugsystems eintritt, (b) Beziehung der Zeitkoordinaten für ein Ereignis, das im bewegten Bezugsystems eintritt 12

3.2 Wurmlöcher

Der Name verwundert auf den ersten Blick natürlich. Was hat ein Wurmloch mit einer Zeitmaschine zu tun? Dies lässt sich jedoch einfach erklären. Ein Wurm will von der Oberseite eines Apfels an dessen Unterseite. Der Weg außen herum ist logischerweise länger, als sich durch den Apfel durchzubeißen. Dies ist natürlich nicht nur bei Äpfeln und Würmern so, sondern auch für uns Menschen.

Der Weg vom Nordpol bis zum Südpol ist auf der Erdoberfläche länger als durch die Erde „durchzugehen“. Was dieses Denken mit einer Zeitreise zu tun hat, wird durch folgende Abbildung verdeutlicht.

Ein Wurmloch in der Kosmologie verbindet zwei Punkte im Universum, die auch viele Lichtjahre voneinander entfernt sein können. Wenn ein Raumschiff in ein Wurmloch eintritt, muss es einen kürzeren Weg zurücklegen als das Licht, das sich durch den Raum außerhalb des Wurmlochs bewegt, und kommt daher früher an (siehe Abbildung 3.1). Das Raumschiff bewegt sich jedoch mit subluminaler Geschwindigkeit (v < c) durch das Wurmloch.

Somit ist die SRT nicht außer Kraft gesetzt. Effektiv verhält sich jedoch das Raumschiff wie ein Tachyon. Wie in Kapitel 2.2 erläutert, stellen Wurmlöcher daher eine Möglichkeit dar, in die Vergangenheit zu reisen. Ein Wurmloch kann nur existieren, wenn der Raum zwischen zwei Punkten sehr stark gekrümmt ist. Gemäß der ART krümmt Materie aufgrund der Gravitation die Raum-Zeit.

Für die enorme Krümmung, die für die Erzeugung eines Wurmlochs erforderlich ist, sind enorme Massen nötig. Solche massenreiche Objekte sind zum Beispiel schwarze Löcher. Der „Eingang“ eines Wurmlochs kann daher ein schwarzes Loch sein, welches, sich in der Nähe befindende, Materie hineinzieht. Der „Ausgang“ ist ein weißes Loch, welches Materie ausstößt.14 Wurmlöcher sind Lösungen der Einstein Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie.


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