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Unterrichtsplanung
Mathematik

Studienseminar Siegburg

gut

Doreen P. ©
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ID# 84156







Schriftliche Planung des Unterrichts im Fach Mathematik zum 4. Besuch

der Fachleiterin

Lehramtsanwärterin:

Schule:

Klasse:

Anzahl der Kinder: 26 (14 Mädchen, 12 Jungen)

Fach: Mathematik

Datum: 08.04.2019

Zeit: 10.00 – 10.45 Uhr

Ausbildungslehrerin:

Ausbildungsbeauftragte:

Fachleiterin:

Kernseminarleiterin:


Thema der Lerneinheit:

Wir vergleichen die Gewinnchancen der Augenzahlsummen.

Mit der Lerneinheit verfolgte Erweiterung der Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler1 verändern die unfairen Spielregeln der Würfelspiele „Das Piratenschatz Spiel“ und „Das Rapunzel Spiel“, indem sie die Häufigkeit aller möglichen und günstigen Augenzahlsummen herausfinden und begründen, warum einige Würfelergebnisse im Vergleich zu den anderen eine höhere Gewinnchance haben.

Inhalt


Inhalt 2

Legitimation 3

Darstellung der Reihe 5

Lernaufgabe 7

Lernvoraussetzungen für die Bewältigung der Lernaufgabe 14

Literatur 15

Legitimation

Bedeutsamkeit des Themas

In dieser Unterrichtstunde beschäftigen sich die SuS mit der Berechnung der Gewinnchancen beim Würfeln mit zwei Spielwürfeln. Die Stunde leistet mit dem Kompetenzbereich Wahrscheinlichkeit einen wichtigen Beitrag zum Erfassen unserer Lebenswirklichkeit, denn die Wirklichkeit umfasst viele vom Zufall bestimmte Phänomene (Würfelspiele, Lotterie, Prognosen aufgrund statistischer Daten wie zum Beispiel die Regenwahrscheinlichkeit, Wahlprognosen und vieles mehr).

Aufgrund dieses häufigen und gezielten Einsatzes im Alltag ist es wichtig, dass sich die SuS über Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten bewusst werden. Die SuS lernen, vom Zufall geprägte Ereignisse ihrer Lebenswirklichkeiten präziser zu erfassen und sie zu durchleuchten. Einschätzungen von Eintrittswahrscheinlichkeiten bei Ereignissen im Alltag sind nämlich häufig stark emotional geprägt.

Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, die subjektiven und intuitiven kindlichen Vorstellungen über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu mehr objektiven und in einfachen Spielsituationen auch zu qualitativen Einschätzungen zu führen.2 Ein weiterer Grund für die Behandlung dieses Themas im Unterricht liegt darin, dass von Wahrscheinlichkeitsaufgaben eine hohe intrinsische Motivation ausgeht.

Durch den spielerischen, handlungsaktiven Zugang zu diesem Themenfeld „können Freude am Mathematikunterricht geweckt sowie Phantasie und Schöpfung gefördert werden“.3

Seit dem Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 15.10.2004 ist die Untersuchung zufälliger Ereignisse ein Bestandteil des Anforderungsbereichs der Bildungsstandards für Mathematik.4 So ist hier als inhaltsbezogene, mathematische Kompetenz unter dem Oberbegriff „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ zu lesen: „Die SuS erheben Daten und stellen sie unterschiedlich dar.

Sie bewerten sie in Bezug auf konkrete Fragestellungen und schätzen die Wahrscheinlichkeit einfacher Ereignisse ein“.5

Die Beschäftigung mit Aufgabenstellungen zu diesem Thema bietet vielfältige Lernchancen für die Entwicklung fachlicher und allgemeiner Kompetenzen und zum Erreichen der gesetzten Standards. Bei der Umsetzung der inhaltlichen Kompetenzen ergeben sich vielfältige Möglichkeiten zur Förderung allgemeiner Kompetenzen und es wird deutlich, dass Aufgabestellungen auf allen Anforderungsniveaus, vom Reproduzieren bis hin zum Verallgemeinern, möglich sind.6 Folgende, unten beschriebene Kompetenzen sollen die SuS bis zum Ende der Klasse 4 in diesem Anforderungsbereich erwerben:


Vorhaben aus Richtlinien

  • Wahrnehmen und Kommunizieren:

Die SuS können ihre Beobachtungen, Einschätzungen und Überlegungen anderen mitteilen und diese in einem Gespräch auf die Gültigkeit überprüfen.7

  • Analysieren und Reflektieren:

Die SuS können ihre Auseinandersetzungen mit unterrichtlichen Aufgabestellungen sachgerecht beschreiben. Dabei werden neben den fachbezogenen Zugängen auch eigenes Vorwissen und eigene Vermutungen zur erfolgreichen Bearbeitung herangezogen.8

  • Strukturieren und Darstellen:

Die SuS können ihre neu erworbenen Erkenntnisse und Ergebnisse formulieren und festhalten.9

  • Transferieren und Anwenden:

Die SuS können ihre neu erworbenen Erkenntnisse und Ergebnisse von Lernprozessen auch in neuen Lern- und Lebenssituationen nutzen.10



Lehrplanbezug

  1. Inhaltsbezogene Kompetenzen:

  • Bereich: „Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit“

Schwerpunkt „Daten und Häufigkeit“

Die SuS …

… sammeln die Daten und stellen sie in Tabellen dar.

… entnehmen aus Tabellen die Daten und Ziehen sie zur Beantwortung von mathematischen Fragen heran.11

  • Schwerpunkt „Wahrscheinlichkeit“

Die SuS beschreiben die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (sicher, wahrscheinlich, unmöglich, immer, häufig, selten, nie).12

  1. Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen/kreativ sein:

Die SuS stellen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge oder Auffälligkeiten (vermuten).13

Argumentieren:

Die SuS …

… erklären Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten an Beispielen und vollziehen Begründungen anderer nach (begründen).

… testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen zutreffend sind (überprüfen).

… bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen (folgern).14

Darstellen/Kommunizieren:

Die SuS …

… halten ihre Arbeitsergebnisse fest (dokumentieren).

… bearbeiten komplexere Aufgabestellungen gemeinsam (kooperieren und kommunizieren).

… verwenden bei der Darstellung mathematischer Sachverhalte geeignete Fachbegriffe (Fachbegriffe verwenden).15

Darstellung der Reihe

Thema der Reihe

Wir erfinden Würfe.....

Diese Gesamtheit und ihre Eigenschaften mit mathematischen Mitteln zu beschreiben, ist das Ziel des Mathematikunterrichts. Damit wird ein wesentlicher Beitrag zur Allgemeinbildung geleistet, denn eine Grundaufgabe allgemeinbildender Schulen besteht darin, die SuS auf das Leben vorzubereiten und zur Erfassung der Wirklichkeit zu befähigen.20

Bezogen auf die Grundschule bedeutet dies: Die SuS „sollen von Klasse 1 an die Chance haben, Kenntnisse über zufällige Ereignisse zu erwerben und damit langfristig zu der Überzeugung kommen, dass der Zufall kalkulierbar ist und dass zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln modelliert werden können. Dazu sollen die SuS an einfachen Beispielen lernen, was „Häufigkeit“ und „Wahrscheinlichkeit“ von Ereignissen sind und wie man mit Ereignissen experimentiert.“21Die Entwicklung und Fertigung von Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit wird in der Grundschule vor allem bei der Durchführung von Zufallsexperimenten erworben.22 „Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen immer wieder durchgeführt werden kann.“23 Zufallsexperimente bieten den SuS die Möglichkeit „über spielerische Handlungen Lösungsstrategien zu erproben und propädeutisch grundlegende mathematische Begriffe und Beziehungen anzubahnen, die oft in enger Verbindung zu arithmetischen oder geometrischen Themen stehen.“24 Für die mathematische Erfassung der Wahrscheinlichkeit bei einfachen Zufallsxperimenten sind zwei mathematische Modelle als Zugänge zu unterscheiden.

  • Der geometrische Zugang25

Beim geometrischen Zugang nach Pierre Laplace (1749 – 1827) wird die Wahrscheinlichkeit fassbar, wenn davon ausgegangen werden kann, dass jedes Ereignis gleich wahrscheinlich eintritt (z. B. beim Würfeln aufgrund der gleichmäßigen geometrischen Struktur des Würfels). Er besagt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Quotienten aus der Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle ist.26

Tabelle 1 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses27

  • Der Zugang über relative Häufigkeit28

Bei diesem Zugang wird die Eintrittswahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten und dem „Gesetz der großen Zahlen“ ermittelt. Es besagt, dass sich mit wachsender Anzahl an Versuchen die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner theoretischen Eintrittswahrscheinlichkeit annähert. Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses = relative Häufigkeit des Ergebnisses (n gegen unendlich).

Diese Zugangsmöglichkeit ist anzuwenden, wenn davon ausgegangen werden kann, dass jedes Ereignis nicht gleich wahrscheinlich eintritt (z. B. bei gezinkten Würfeln, Reißzwecken oder Streichholzschachteln).29

Die Eintrittswahrscheinlichkeit der Augenzahlsumme beim Würfeln mit zwei Würfeln wird in der vorliegenden Unterrichtsstunde über den geometrischen Zugang ermittelt. Hierzu muss die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten der einzelnen Augenzahlsummen herangezogen werden. Diese sind in folgenden Tabellen abgebildet:

Tab. 2 Kombinationsmöglichkeiten der Augenzahlsummen als Term Würfeln mit zwei Würfeln.30

Tab. 3 Kombinationsmöglichkeiten der Augenzahlsummen als Würfelbilder beim Würfeln mit zwei Würfeln.31

Tab. 4 Häufigkeit möglicher Augenzahlsummen beim Würfeln mit zwei Würfeln.32

Den Tabellen lässt sich entnehmen, dass es 36 Felder und somit auch 36 mögliche Fälle gibt. Für die Augenzahlsummen 2 und 12 gibt es jeweils nur eine günstige Möglichkeit (1+1 bzw. 6+6). Bei den Summen 3 und 11 sind es jeweils zwei günstige Möglichkeiten (1+2 und 2+1 bzw. 5+6 und 6+5). Es gibt drei günstige Möglichkeiten bei der 4 und 10, vier günstige Möglichkeiten bei der 5 und 9, fünf bei der 6 und 8 sowie sechs günstige Möglichkeiten bei der Augenzahlsumme 7. So ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 1/36 (bei der Augenzahlsumme 2 und 12), 2/36 (bei 3 und 11), 3/36 (bei 4 und 10), 4/36 (bei 5 und 9), 5/36 (bei 6 und 8) und 6/36 (bei der Augenzahlsumme 7).

Es ist somit klar zu erkennen, dass die Augenzahlsumme 7 am wahrscheinlichsten ist. Da die Augenzahlsumme 1 beim Würfeln mit zwei Würfeln nicht erreicht werden kann, ist deren Wahrscheinlichkeit 0/36, also unmöglich.33

Analyse der Lernprozesse/Lernstrategien

Zum Beginn der Stunde treffen sich die SuS in einem Kinokreis vor der Tafel. Diese Sozialform ist für Diskussionen besonders geeignet, da sie stärker als andere Sozialformen jedem einzelnen Schüler die Gelegenheit zu Stellungnahmen bietet. In einer Gesprächsrunde werden die Erfahrungen und Beobachtungen hinsichtlich der Würfelspiele „Das Piraten Spiel“ und „Das Rapunzel Spiel“ aus der vergangenen Stunde wiederholt.

Das für diese Stunde erforderliche Vorwissen der SuS wird dadurch reaktiviert und die Überleitung zur aktuellen Lernaufgabe ermöglicht. Dies führt zu der Forscherfragen nach der weiteren Augenzahlsummen und ihren Häufigkeiten. Die dazu geäußerten Vermutungen der SuS dienen zur Sensibilisierung für die Problemstellung der Stunde und als Grundlage für die Ergebnissicherung am Ende der Stunde.

Durch die weitere Vorstellung des Arbeitsmaterials und die zeitliche Vorgabe für die Arbeitsphase wird den SuS die Prozesstransparenz gewährleistet.

Die gestellte Aufgabe der Stunde lässt sich sowohl durch Probieren als auch durch zunehmend systematische Herangehensweisen bearbeiten. Eine qualitative Differenzierung erfolgt sowohl hinsichtlich des verwendbaren Materials, der Dokumentation und des individuellen Lerntempos der SuS. Um Würfelpaare zu finden, können die SuS zur Bearbeitung der Froscherfrage zwei unterschiedlich farbige Spielwürfel oder Würfelkarten nutzen.

Dieser enaktive Zugang ermöglicht den SuS die Aufgabe bei Bedarf anschaulich zu bearbeiten. Die Augensummen können durch Würfeln der Würfel (enaktiv) ermittelt werden, zudem durch das Legen der Würfelkarten (ikonisch) und darüber hinaus können die SuS ihre Gedanken und Handlungsschritte durch das mathematische Zeichensystem verbalisieren (symbolisch) in Form von Additionsaufgaben darstellen.

Dadurch ist es den SuS möglich, auf unterschiedlichen Abstraktionsebenen zu arbeiten und das vorhandene Vorwissen einzubringen. In der Arbeitsphase können sich die SuS bei der Lösung des Arbeitsauftrags Tipps für die Dokumentation der Augensummen holen.

Durch den Wechsel der Sozialformen werden die SuS dazu herangeführt, selbstbestimmt zu lernen und ihre Lernprozesse eigenverantwortlich durchzuführen. Sie versprachlichen innerhalb der Partnerarbeit die Kombinationsmöglichkeiten der Augenzahlsummen und übernehmen die gegenseitige Verantwortung für die Kontrolle darüber, ob alle Möglichkeiten gefunden sind. Die Paare sind mithilfe der Paar-Bildungs-Karten weitgehend heterogen eingeteilt.

So werden Unstimmigkeiten sowie ungewollte „Grüppchenbildung“ bzw. unnötige Diskussionen konsequent vermieden und auch schüchterne SuS gut integriert. In der Gruppenarbeit vergleichen die SuS ihre gefundenen Ergebnisse mit den anderen Paaren, was Anlass zu intensivem Nachdenken und Diskutieren bietet. Die Beobachtungen der SuS und die Feststellung einer unterschiedlichen Verteilung der Augenzahlsummen soll ihre Berücksichtigung bei der Erfindung eigener Spielregeln finden. Durch das Austauschen in der Gruppe können die SuS einen höheren Erkenntnisgewinn haben, indem sie ihre Beobachtungen durch Aussprechen der Gedanken besser .....

In einem Diskussionsgespräch soll anhand der gelegten Kombinationsmöglichkeiten der Augenzahlsummen die Gerechtigkeit für alle Spieler überprüft und begründet werden. Gerade in der Begründung können dann Begriffe wie „sicher“, „wahrscheinlich“, „möglich“, „unwahrscheinlich“ oder „unmöglich“ genutzt werden, um die Art der Wahrscheinlichkeit zu beschreiben.

In der abschließenden Reflexionsphase erhalten die SuS die Gelegenheit über den Verlauf der Stunde nachzudenken und ihren eigenen Lernzuwachs zu beurteilen. Sie äußern sich darüber, was ihnen während des heutigen Lernens gut gefallen hat und was schwer gefallen ist und was sie dazugelernt haben. Das Verbalisieren des eigenen Zielereichens befähigt die SuS, sich ihrer eigenen Kompetenzen bewusst zu werden und ihre eigenen Schwächen und Stärken zu erkennen.

Abschließend wird den SuS ein Ausblick auf die nächste Stunde gegeben, in der sie ihr eigenes Würfelspiel mit fairen Spielregeln entwickeln werden.

Lernvoraussetzungen für die Bewältigung der Lernaufgabe

Fundierung mit fachwissenschaftlichem/fachdidaktischem Bezug

Die Vorschul- und Grundschulkinder schätzen Wahrscheinlichkeiten des Eintretens von Ereignissen auf der Grundlage von subjektiven und intuitiven Vorstellungen ein. Dies gilt nicht nur für Kinder, die den mathematischen Hintergrund noch nicht kennen.

Auch Erwachsene mit „gut ausgebildeten fachlichen Vorstellungen“35 lassen sich oft von informellen Erfahrungen leiten. Pratt nennt diesbezüglich vier verschiedene Begründungsstrategien:

1. Die „availability heuristic“ wird nach der Beurteilung infolge häufig erlebten Situationen zurückgeführt. So wird das Vorkommen der 6 aufgrund der Erfahrungen bei Brettspielen häufig als unwahrscheinlich angesehen.

2. Die „representativeness heuristic“ tritt auf, wenn oft wenige, selbst durchgeführte Versuche als repräsentativ für die allgemeine Häufigkeitsverteilung angesehen werden. Eine entsprechende Aussage dazu wäre: „Ich habe jetzt schon 10 Mal gewürfelt und dabei kam sechsmal die 3; also ist die 3 am wahrscheinlichsten.“

3. Die „equiprobability bias“ besagt, dass alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, so z. B. auch die Augensummen 12 und 7 beim .....

Insbesondere zeigt sich bei einem Teil der Fälle, dass animistische Vorstellungen das stochastische Verständnis mitbestimmen können. Diese Vorstellungen lassen sich als subjektive oder intuitive Vorstellungen einordnen.39 Ein Würfel hat in diesem Alter eine magische Eigenschaft und ein fester Glaube hilft, um eine „Sechs“ bei einem Würfelspiel zu würfeln.

Das Durchführen und Untersuchen von Zufallsexperimenten innerhalb dieser Unterrichtsreihe kann dazu dienen, sich von solchen Fehlvorstellungen zu lösen. Weitere Fehlvorstellungen sind beispielweise, dass Würfelergebnisse durch Erfahrung, Geschick, Alter oder mit der linken Hand würfeln zu beeinflussen sind. So kann die vorliegende Stunde auch dazu beitragen, eine höhere Kritikfähigkeit gegenüber den festgesetzten Fehlvorstellungen zu erlangen.

Analyse der Lernvoraussetzungen

Literatur

Büchter, A./Hußmann, S./Leuders, T./Prediger, S. (2005): Den Zufall im Griff? Stochastische Vorstellungen fördern. In: PM - Praxis der Mathematik, Jg. 47, H. 4, S. 1-7

Eichler, K.-P. (2010) Wahrscheinlichkeit kein Zufall –m Betrachtung rum um Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit. In: Praxis Grundschule Heft 3, S. 7-13.

Hasemann, K./Mirwald, E./Hoffmann, A. (2012). Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit. In: Walter, G./van den Heuvel-Panhuizen, M./Granzer, D/Köller, O (Hrsg.). Bildungsstandard für die Grundschule: Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor, 141-161.

(Abgerufen am 28.03.2019).

(Abgerufen am 30.03.2019).

Lehrplan Mathematik (2012) In: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.): Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen. Ritterbach Verlag: Frechen.

Neubert, B. (2012). Leitidee: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Offenburg: Mildenberger Verlag.

Pratt, D. (2000): Making sense of the total of two dice. In: Journal for Research in Mathematics Education, Jg. 31, H. 5, S. 602-625.

Radatz, H/Rickmeyer, K. (2006) Aufgaben zur Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule. Hannover: Schroedel Schulbuchverl.

Schipper, W/Ebeling, A./Dröge, R. (2015 a). Handbuch für den Mathematikunterricht. 1. Schuljahr, .....

19Vgl. ebd., S. 197.

20Vgl. Ulm 2009, S 11.

21Vgl. Hasemann/Mirwald/Hoffmann 2012, S. 141.

22Vgl. Schippert/Ebeling/Dröge 2017 S. 333.

23Vgl. Grassmann/Eichler/Mirwald/Nitsch 2014, S. 197.

24Vgl. Radatz/Rickmeyer 2006, S. 117.

25Vgl. Grassmann/Eichler/Mirwald/Nitsch 2014, S. 196.

26Vgl. ebd. S. 196.

27Vgl. (Abgerufen am 30.03.2019).

28Vgl. Grassmann/Eichler/Mirwald/Nitsch 2014, S. 196.

29Vgl. ebd., S. 194.

30Vgl. Schippert/Ebeling/Dröge 2017, S. 334.

31Vgl. ebd., S. 335.

32Vgl. Schippert/Ebeling/Dröge 2017, S. 335.

33Vgl. Hasemann/Mirwald/Hoffmann 2012, S. 151.

34Vgl. ebd., S. 160.

35Vgl. Büchter/Hußmann/Leuders/Prediger 2005, S. 5.

36Vgl. Pratt 2000, S. 5 f.

37Vgl. Wollring, 1994, S. 4.

38Vgl. ebd., S. 4.

39Vgl.....


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