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Referat
Mathematik

Universität, Schule

Pestalozzi-Gymnasium Graz

Note, Lehrer, Jahr

2011

Autor / Copyright
Walter G. ©
Metadaten
Preis 7.20
Format: pdf
Größe: 0.38 Mb
Ohne Kopierschutz
Bewertung
sternsternsternsternstern_0.25
ID# 14369







Spezialgebiet für das Fach Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung im Glücksspiel


Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung. 2

2.  Roulette. 2

3.  Black Jack. 6

3.1.  Aktionen:7

3.2.  Casinovorteil:8

4.  Lotto 6 aus 45:10

4.1.  Wahrscheinlichkeiten:10

5.  Ruinwahrscheinlichkeit:13


1.  Einleitung

Die Gier nach dem großen Gewinn treibt immer mehr Leute zum Glücksspiel, sei es nun im Casino, im Wettkaffee, an der Trafik für den Kauf von Lottoscheinen oder neuerdings auch öfter ins Internetcasino. Alle wollen Geld gewinnen, doch statistisch verliert jeder, denn jedes Casino oder Wettkaffee müsste auf lange Sicht Konkurs gehen, wenn sie Geld verschenken würden.

Darum müssen die Glücksspiele so konzipiert sein, dass das Casino einen Gewinn macht und dies ist nur mit Wissen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung möglich.


2.  Roulette

Erklärung & Spielablauf: Roulette ist das am weitesten verbreitete Glücksspiel, welches in Casinos angeboten wird. Es geht darum zu erraten, auf welchem Feld der Roulettescheibe die Kugel liegen bleibt. Im klassischen Roulettespiel, dem französischen, gibt es 36 abwechselnd rote und schwarze Felder, die mit Zahlen von 1-36 nummeriert sind. Dazu gibt es noch ein grünes, das 37te Feld, welches mit der Zahl 0 beschriftet ist.

Vor dem Drehen des Kessels (Cuvette) müssen die Spieler ihre Einsätze auf die Zahlen oder Zahlengruppen setzen, wobei die Einsätze zwischen den von den Casinos gewählten Minimal- und Maximaleinsätzen müssen. Gewinner sind jene, die die Zahl oder Zahlengruppe richtig erraten haben.

Alle Einsätze müssen deutlich auf einem Feld bzw. eindeutig auf einer Kante des Tableaus liegen.


Wettmöglichkeiten: Bei den verschiedenen Wettmöglichkeiten wird vor allem zwischen zwei Arten unterschieden, den einfachen und den mehrfachen Chancen. Diese unterscheiden sich vor allem, wenn die Kugel auf der Null stehen bleibt.



Einfache Chancen: Rot und Schwarz, gerade und ungerade,

                            1-18 und 19-36 (Auszahlung 1:1 d.h. bei einem

                            Einsatz von 100€ bekommt man 200€ausgezahlt)


Mehrfache Chancen: z.B. eine Zahl (Plein) (Auszahlung 35:1) oder ein

                              Carre (4 Zahlen die sich am Tableau= Tisch

                              Berühren; Auszahlung 8:1)


Tableau: Weiß umrahmt=einfache Chance

              Schwarz umrahmt= mehrfache Chance


Wenn die Kugel auf Zero fällt: gewinnen natürlich alle Einsätze auf der Zero und auch alle Zahlenkombinationen, die die Null enthalten (z.B. Carre 0/1/2/3). Alle anderen mehrfachen Chancen verlieren. Jedoch die einfachen Chancen werden von der Bank gesperrt, das heißt, dass sie bei dem nächsten Kesseldreh auf demselben Feld liegen bleiben müssen. Gewinnt dieses Feld (z.B. Rot) dann bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück.

Verliert man jedoch, verliert man den gesamten Einsatz. Hier liegt auch der Hauptvorteil des Casinos, weil sie bei diesem Fall sowohl die Hälfte der einfachen Chancen gewinnt als auch den Gewinnern bei der Runde mit gesperrtem Einsatz nichts zusätzlich auszahlen muss. Ebenso gewinnt das Casino viele andere mehrfache Chancen (z.B. erstes Dutzend .....[Volltext lesen]

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Folglich ist P(Gewinn bei einem Martingalespiel): 100-0,112%=99,888%


Klingt nach einem beinahe todsicherem System, jedoch muss man berücksichtigen, dass man bei einem Gewinn nur 5€ gewinnt, bei dem Verlieren dieses Spiels 5120€ (Summe aller Einsätze: 5€+10€…+2560€=5120€)verliert. Somit ergibt sich ein Erwartungswert von: 0,99888*(+5)+0,00112*(-5120)=-0,74€ pro Martingalespiel.


Parolispiel: Beim Parolispiel wird der Einsatz nicht nach einem Verlust, sondern nach einem Gewinn erhöht. Der Spieler setzt sich vor Beginn des Spiels ein Ziel, zum Beispiel das Achtfache seines Anfangseinsatzes. Dazu muss er 3 Spiele hintereinander gewinnen. Verliert er ein Spiel, so muss er erneut seinen Anfangseinsatz setzen und das Paroli beginnt von Neuem.

Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Runde gewinnt beträgt 18,25/37. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er 3 Runden hintereinander gewinnt (18,25/37)³~12%. Im günstigen Fall erhält der Spieler den 8-fachen Einsatz und somit entsteht der mittlere Verlust bei einer 2fachen Paroli: 0,88*(-100%)+0,12*700%=-4%


Es gibt von beiden Spielsystemen mehrere Variationen, allerdings gilt es bereits als bewiesen, dass ein dauerhafter Gewinn im Roulettespiel nicht möglich ist.


3.  Black Jack


Allgemeines: Das Ziel des Spiels ist es mit 2 oder mehr Karten näher an 21Punkten zu kommen, ohne diesen Wert zu überschreiten. Hat man bei den ersten 2 Karten den Wert 21, so hat man einen „Black Jack“.

Die Punk.....

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Hat der Croupier mehr als 21 Punkte, haben alle Spieler gewonnen, die sich nicht selbst überkauft (mehr als 21 Punkte) haben. Hat der Croupier einen Wert unter 21, so gewinnen nur jene Spieler, die einen höheren Wert haben als der Croupier. Bei einem Gleichstand der Punkte wird der Einsatz zurückgezahlt.


Auszahlungen

Siebener-Drilling: In vielen Casinos wird der Siebener-Drilling im Verhältnis 3:2 ausgezahlt, noch bevor der Croupier seine eigenen Karten aufdeckt. Das hat den Vorteil, dass im Falle eines Black Jack für den Croupier man trotzdem gewinnt.


 Ein Black Jack wird im Verhältnis 3:2 ausgezahlt. Jedoch wird nur der Black Jack so ausgezahlt, dies gilt nicht für andere Kombinationen, die zusammen den Wert 21 ergeben (z.B. Bube+9+2).


Jeder andere Gewinn wird 1:1 ausgezahlt.


3.1.          Aktionen:

Hit: Man fordert eine weitere Karte vom Croupier.

Stay: Man glaubt, ein Blatt erhalten zu haben, welches gut genug ist, um gegen den Croupier zu gewinnen.

Insurance: Bekommt der Croupier als erste Karte ein Ass, so kann man sich gegen einen Black Jack des Dealers versichern. Bekommt der Croupier als zweite Karte eine Zehn oder eine Bildkarte, so wird der Einsatz im Verhältnis 2:1 ausbezahlt. Jedoch ist von einer Insurance eher abzuraten, da der Hausvorteil hierbei sehr hoch liegt. Dadurch, dass meist 6 Kartenstapel mit je 52 Karten im Spiel sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Dealer einen Black Jack hat, wenn er ein Ass erhält (die Karten der Spieler werden hierbei ignoriert) ist 96/311. Somit entsteht ein Erwartungswert von 96/311*(200%)+215/311*(-100%)=-7,3955%

Durch den infolgedessen hohen Bankvorteil ist von der .....

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Bei der perfekten Spielweise entsteht für die Bank jedoch nur ein Hausvorteil von 0,475%. Im Vergleich zu anderen Casinospielen ist dies ein sehr geringer Prozentsatz.

1962 kam jedoch ein Buch auf den Markt, welches eine Veränderung der Casinoregeln für das Black Jack Spiel zufolge hatte. Es war das Buch „Beat the Dealer“ von dem Mathematiker Edward O. Thorp, in welchem beschrieben wurde, wie man durch Kartenzählen einen negativen Casinovorteil hervorrufen kann.

Daraufhin wurden die verwendeten Kartenstapel von einem auf sechs aufgestockt und ebenfalls werden heutzutage die Kartenstapel nicht mehr zu Ende gespielt, sondern es wird nach einem Drittel oder der Hälfte neu gemischt.

Beim Kartenzählen merkt sich der Spieler die vorkommenden hohen Karten und erhöht seinen Einsatz, wenn viele Karten mit hoher Wertigkeit im restlichen Kartenstapel sind.


Regelvarianten: Je nach Casino können die andere Regeln gelten. In manchen Casinos kann man nur doppeln, wenn der Wert der ersten beiden Karten 9,10 oder 11 beträgt. Dies dient vor allem, um das Doppeln bei soften Händen (Händen wo eine Ass sowohl 11 als auch 1 zählen kann) zu verhindern. Diese Regel erhöht den Casinovorteil von 0,475% auf 0,56%. Klingt im ersten Moment nicht viel, jedoch ist es auf lange Sicht für ein Casino ein enormer Betrag.


In Amerika ist es üblich, dass der Croupier sofort nachsieht, ob er einen Black Jack hat, wenn er als aufgedeckte Karte eine 10, Bildkarte oder Ass hat. Dies ist ein Vorteil für den Spieler, da er nicht gegen einen Black Jack verdoppeln oder teilen kann. Da es jedoch nicht sonderlich sinnvoll ist, gegen eine 10 oder Ass eines Dealers zu doppeln oder splitten, ist der Vorteil nahezu null.



4.  Lotto .....

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4 richtige und Zusatzzahl:

p={[(39*38*6*5*4*3)*15]/(45*44*43*42*41*40)}*(2/39)=0,00006998=0,006998%


4 richtige ohne Zusatzzahl:

p={[(39*38*6*5*4*3)*15]/(45*44*43*42*41*40)}*(37/39)=0,001295=0,1295%

3 richtige mit Zusatzzahl:

p={[(39*38*37*6*5*4)*20]/(45*44*43*42*41*40)}*(3/39)=0,001726=0,1726%

3 richtige ohne Zusatzzahl:

p={[(39*38*37*6*5*4)*20]/(45*44*43*42*41*40)}*(36/39)=0,02071

=2,071%

0 richtige und Zusatzzahl:

p=(39*38*37*36*35*34)/(45*44*43*42*41*40)*(6/39)=0,061625329=

=6,1625%


gerundete Mittelwerte der Gewinne:

6er: 1.750.000€

5er mit Zusatzzahl:40.000€

5er ohne Zusatzzahl:1.150€

4er mit Zusatzzahl:160€

4er ohne Zusatzzahl:40€

3er mit Zusatzzahl:15€

3er ohne Zusatzzahl:5€

Nur Zusatzzahl:1,10€


Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Einsatz von 1,10€ pro Tipp:

0,000000123*(+1750000€-1,10€)+0,000000737*(40.000€-1,10€)+ 0,000028729*(1150€-1,10€)+0,00006998*(160€-1,10€)+

0,001295*(40€-1,10€)+0,001726*(15€-.....

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Das bedeutet, dass bei einem Spiel, bei dem der Hausvorteil 2% beträgt, ein Spieler bei theoretisch nach einem Spiel 98% wieder zurückbekommen würde. Setzt er diese 98% jedoch erneut, so wird der Hausvorteil erneut von den 98% des Anfangseinsatzes abgezogen und ein Spieler bekommt nur noch 96,04% seines Einsatzes. Dies geht so lange weiter, bis der Spieler den Minimaleinsatz des Casinospieles nicht mehr einsetzen kann und somit ist der Spieler bei seinem eigenen Ruin angelangt.

Am leichtesten ist dies mit einem kleinen Beispiel zu verstehen:

Ein Spieler setzt zu Beginn 10€ und der minimale Einsatz des Casinos beträgt 5€. Der Spieler entscheidet sich dazu, stets beim Roulettespiel auf einfache Chancen zu setzen mit einem Hausvorteil von 1,35%.

Nach dem ersten Spiel hat er theoretisch nur noch 9,865€.


10-[(10*0,0135)*x]<5    /-5

-[0,135)*x]<-5               /:0,135

-x<-37,037                            /*(-1)

x>37,037


Nach 38 Spielen hat dieser Spieler theoretisch den Ruin erreicht, da er zu diesem Zeitpunkt nur noch 4,87€ besitzt.


Das bedeutet, dass es am besten ist, wenn man entweder sofort seinen gesamten Einsatz auf einmal setzt, oder man seinen geplanten Einsatz in gleichgroße Teile spaltet und diese dann nacheinander setzt. Jedoch sollte gewonnenes Geld nicht erneut gesetzt werden.


Zusammenfassung:

Der dauerhafte Gewinn ist aufgrund der derzeitigen Regeln in Casinos nicht möglich. Der Gedanke des sicheren Gewinns bleibt ein Wunsch. Trotzdem fasziniert mich das Glücksspiel noch immer enorm, und ein Casinovorteil auf Dauer bedeutet noch lange nicht, dass ein einzelner Spieler n.....


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