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Mathematics

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Pestalozzi-Gymnasium Graz

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Spezialgebiet für das Fach Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung im Glücksspiel


Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung. 2

2.  Roulette. 2

3.  Black Jack. 6

3.1.  Aktionen: 7

3.2.  Casinovorteil: 8

4.  Lotto 6 aus 45: 10

4.1.  Wahrscheinlichkeiten: 10

5.  Ruinwahrscheinlichkeit: 13


1.  Einleitung

Die Gier nach dem großen Gewinn treibt immer mehr Leute zum Glücksspiel, sei es nun im Casino, im Wettkaffee, an der Trafik für den Kauf von Lottoscheinen oder neuerdings auch öfter ins Internetcasino. Alle wollen Geld gewinnen, doch statistisch verliert jeder, denn jedes Casino oder Wettkaffee müsste auf lange Sicht Konkurs gehen, wenn sie Geld verschenken würden.

Darum müssen die Glücksspiele so konzipiert sein, dass das Casino einen Gewinn macht und dies ist nur mit Wissen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung möglich.


2.  Roulette

Erklärung & Spielablauf: Roulette ist das am weitesten verbreitete Glücksspiel, welches in Casinos angeboten wird. Es geht darum zu erraten, auf welchem Feld der Roulettescheibe die Kugel liegen bleibt. Im klassischen Roulettespiel, dem französischen, gibt es 36 abwechselnd rote und schwarze Felder, die mit Zahlen von 1-36 nummeriert sind. Dazu gibt es noch ein grünes, das 37te Feld, welches mit der Zahl 0 beschriftet ist.

Vor dem Drehen des Kessels (Cuvette) müssen die Spieler ihre Einsätze auf die Zahlen oder Zahlengruppen setzen, wobei die Einsätze zwischen den von den Casinos gewählten Minimal- und Maximaleinsätzen müssen. Gewinner sind jene, die die Zahl oder Zahlengruppe richtig erraten haben.

Alle Einsätze müssen deutlich auf einem Feld bzw. eindeutig auf einer Kante des Tableaus liegen.


Wettmöglichkeiten: Bei den verschiedenen Wettmöglichkeiten wird vor allem zwischen zwei Arten unterschieden, den einfachen und den mehrfachen Chancen. Diese unterscheiden sich vor allem, wenn die Kugel auf der Null stehen bleibt.



Einfache Chancen: Rot und Schwarz, gerade und ungerade,

                            1-18 und 19-36 (Auszahlung 1:1 d.h. bei einem

                            Einsatz von 100€ bekommt man 200€ausgezahlt)


Mehrfache Chancen: z.B. eine Zahl (Plein) (Auszahlung 35:1) oder ein

                              Carre (4 Zahlen die sich am Tableau= Tisch

                              Berühren; Auszahlung 8:1)


Tableau: Weiß umrahmt=einfache Chance

              Schwarz umrahmt= mehrfache Chance


Wenn die Kugel auf Zero fällt: gewinnen natürlich alle Einsätze auf der Zero und auch alle Zahlenkombinationen, die die Null enthalten (z.B. Carre 0/1/2/3). Alle anderen mehrfachen Chancen verlieren. Jedoch die einfachen Chancen werden von der Bank gesperrt, das heißt, dass sie bei dem nächsten Kesseldreh auf demselben Feld liegen bleiben müssen.

Gewinnt dieses Feld (z.B. Rot) dann bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück. Verliert man jedoch, verliert man den gesamten Einsatz. Hier liegt auch der Hauptvorteil des Casinos, weil sie bei diesem Fall sowohl die Hälfte der einfachen Chancen gewinnt als auch den Gewinnern bei der Runde mit gesperrtem Einsatz nichts zusätzlich auszahlen muss. Ebenso gewinnt das Casino viele andere mehrfache Chancen (z.B. erstes Dutzend .....[read full text]

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Daher ist P(man verliert ein Martingalespiel): (18,75/37)^10=0,112%

Folglich ist P(Gewinn bei einem Martingalespiel): 100-0,112%=99,888%


Klingt nach einem beinahe todsicherem System, jedoch muss man berücksichtigen, dass man bei einem Gewinn nur 5€ gewinnt, bei dem Verlieren dieses Spiels 5120€ (Summe aller Einsätze: 5€+10€…+2560€=5120€)verliert. Somit ergibt sich ein Erwartungswert von: 0,99888*(+5)+0,00112*(-5120)=-0,74€ pro Martingalespiel.


Parolispiel: Beim Parolispiel wird der Einsatz nicht nach einem Verlust, sondern nach einem Gewinn erhöht. Der Spieler setzt sich vor Beginn des Spiels ein Ziel, zum Beispiel das Achtfache seines Anfangseinsatzes. Dazu muss er 3 Spiele hintereinander gewinnen. Verliert er ein Spiel, so muss er erneut seinen Anfangseinsatz setzen und das Paroli beginnt von Neuem.

Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Runde gewinnt beträgt 18,25/37. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er 3 Runden hintereinander gewinnt (18,25/37)³~12%. Im günstigen Fall erhält der Spieler den 8-fachen Einsatz und somit entsteht der mittlere Verlust bei einer 2fachen Paroli: 0,88*(-100%)+0,12*700%=-4%


Es gibt von beiden Spielsystemen mehrere Variationen, allerdings gilt es bereits als bewiesen, dass ein dauerhafter Gewinn im Roulette.....

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Wenn er keine weitere Karte mehr wünscht sagt der Spieler dies dem Croupier mit dem Wort „Stay“.

Haben alle Spieler die gewünschte Anzahl an Karten, deckt der Croupier seine zweite Karte auf. Hat er einen Punktewert von 17 oder mehr, so muss er stehen bleiben, bei 16 oder weniger muss er ziehen. Ein Ass zählt bei dem Croupier stets 11Punkte, außer er würde den Wert 21 überschreiten.

Hat der Croupier mehr als 21 Punkte, haben alle Spieler gewonnen, die sich nicht selbst überkauft (mehr als 21 Punkte) haben. Hat der Croupier einen Wert unter 21, so gewinnen nur jene Spieler, die einen höheren Wert haben als der Croupier. Bei einem Gleichstand der Punkte wird der Einsatz zurückgezahlt.


Auszahlungen

Siebener-Drilling: In vielen Casinos wird der Siebener-Drilling im Verhältnis 3:2 ausgezahlt, noch bevor der Croupier seine eigenen Karten aufdeckt. Das hat den Vorteil, dass im Falle eines Black Jack für den Croupier man trotzdem gewinnt.


 Ein Black Jack wird im Verhältnis 3:2 ausgezahlt. Jedoch wird nur der Black Jack so ausgezahlt, dies gilt nicht für andere Kombinationen, die zusammen den Wert 21 ergeben (z.B. Bube+9+2).


Jeder andere Gewinn wird 1:1 ausgezahlt.


3.1.          Aktionen:

Hit: Man fordert eine weitere Karte vom Croupier.

Stay: Man glaubt, ein Blatt erhalten zu haben, welches gut genug ist, um gegen den Croupier zu gewinnen.

Insurance: Bekommt der Croupier als erste Karte ein Ass, so kann man sich gegen einen Black Jack des Dealers versichern. Bekommt der Croupier als zweite Karte eine Zehn oder eine Bildkarte, so wird der Einsatz im Verhältnis 2:1 ausbezahlt. Jedoch ist von einer Insurance eher abzuraten, da der Hausvorteil hierbei sehr hoch liegt. Dadurch, dass meist 6 Kartenstapel mit je 52 Karten im Spiel sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Dealer einen Black Jack hat, wenn er ein Ass erhält (die Karten der Spieler werden hierbei ignoriert) ist 96/311. Somit entsteht ein Erwartungswert von 96/311*(200%)+.....

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3.2.          Casinovorteil:

Dieser entsteht hauptsächlich dadurch, dass der Spieler vor dem Croupier nach Karten verlangen muss. Überkauft sich sowohl der Spieler als auch der Croupier, gewinnt trotzdem die Bank den Einsatz des Spielers.

Jedoch wird der Black Jack eines Spielers 3:2 ausgezahlt, der des Croupiers nur 1:1. Ebenfalls kann der Spieler den Croupier zu der Erhöhung des Einsatzes zwingen, indem er verdoppelt oder splittet.

Bei der perfekten Spielweise entsteht für die Bank jedoch nur ein Hausvorteil von 0,475%. Im Vergleich zu anderen Casinospielen ist dies ein sehr geringer Prozentsatz.

1962 kam jedoch ein Buch auf den Markt, welches eine Veränderung der Casinoregeln für das Black Jack Spiel zufolge hatte. Es war das Buch „Beat the Dealer“ von dem Mathematiker Edward O. Thorp, in welchem beschrieben wurde, wie man durch Kartenzählen einen negativen Casinovorteil hervorrufen kann.

Daraufhin wurden die verwendeten Kartenstapel von einem auf sechs aufgestockt und ebenfalls werden heutzutage die Kartenstapel nicht mehr zu Ende gespielt, sondern es wird nach einem Drittel oder der Hälfte neu gemischt.

Beim Kartenzählen merkt sich der Spieler die vorkommenden hohen Karten und erhöht seinen Einsatz, wenn viele Karten mit hoher Wertigkeit im restlichen Kartenstapel sind.


Regelvarianten: Je nach Casino können die andere Regeln gelten. In manchen Casinos kann man nur doppeln, wenn der Wert der ersten beiden Karten 9,10 oder 11 beträgt. Dies dient vor allem, um das Doppeln bei soften Händen (Händen wo eine Ass sowohl 11 als auch 1 zählen kann) zu verhindern. Diese Regel erhöht den Casinovorteil .....

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5 richtige und Zusatzzahl: p=6* 1/8145060, da 7 Kugeln gezogen werden (6Kugeln + eine Zusatzzahl) und man für einen 5er mit Zusatzzahl 6 davon richtig haben muss, ausgenommen man hat die 6 regulären Zahlen richtig, weil man ansonsten einen 6er hätte. p=0,0000737%

5 richtige ohne Zusatzzahl: p=39/45 * 5/44 * 4/43 * 3/42 * 2/41 * 1/40+6/45 * 39/44 * 4/43 * 3/42 * 2/41 * 1/40+6/45 * 5/44 * 39/43 * 3/42 * 2/41 * 1/40+6/45 * 5/44 * 4/43 * 39/42 * 2/41 * 1/40+6/45 * 5/44 * 4/43 * 3/42 * 39/41 * 1/40+6/45 * 5/44 * 4/43 * 3/42 * 2/41 * 39/40= 234/8145060=0,000028729=0,0028729%

4 richtige und Zusatzzahl:

p={[(39*38*6*5*4*3)*15]/(45*44*43*42*41*40)}*(2/39)=0,00006998=0,006998%


4 richtige ohne Zusatzzahl:

p={[(39*38*6*5*4*3)*15]/(45*44*43*42*41*40)}*(37/39)=0,001295=0,1295%

3 richtige mit Zusatzzahl:

p={[(39*38*37*6*5*4)*20]/(45*44*43*42*41*40)}*(3/39)=0,001726=0,1726%

3 richtige ohne Zusatzzahl:

p={[(39*38*37*6*5*4)*20]/(45*44*43*42*41*40)}*(36/39)=0,02071

=2,071%

0 richtige und Zusatzzahl:

p=(39*38*37*36*35*34)/(45*44*43*42*41*40)*(6/39)=0,061625329=

=6,1625%


gerundete Mittelwerte der Gewinne:

6er: 1.750.000€

5er mit Zusatzzahl:40.000€

5er ohne Zusatzzahl:1.150€

4er mit Zusatzzahl:160€

4er ohne Zusatzzahl:40€

3er mit Zusatzzahl:15€

3er ohne Zusatzzahl:5€

.....

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Deshalb ist eher der Casinobesuch ratsam, sein Glück im Casino zu versuchen als Lotto zu spielen.



Das Motto von Lotto 6 aus 45. „Alles ist möglich“ jedoch eher unwahrscheinlich.


5.  Ruinwahrscheinlichkeit:

Der Ruin des Spielers trifft dann ein, wenn ein Spieler eines Glücksspiels sein gesamtes Kapital verloren hat.

Definition: Die Ruinwahrscheinlichkeit an sich ist der stets sinkende Erwartungswert im Laufe eines Spieles, wenn der Spieler sich dazu entscheidet, seine Gewinne ebenfalls wieder weiter zu setzen. Legt ein Spieler sein gewonnenes Kapital sofort bei Seite bleibt der Erwartungswert gleich.

Das bedeutet, dass bei einem Spiel, bei dem der Hausvorteil 2% beträgt, ein Spieler bei theoretisch nach einem Spiel 98% wieder zurückbekommen würde. Setzt er diese 98% jedoch erneut, so wird der Hausvorteil erneut von den 98% des Anfangseinsatzes abgezogen und ein Spieler bekommt nur noch 96,04% seines Einsatzes. Dies geht so lange weiter, bis der Spieler den Minimaleinsatz des Casinospieles nicht mehr einsetzen kann und somit ist der Spieler bei seinem eigenen Ruin angelangt.

Am leichtesten ist dies mit einem klein.....

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