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Mathematics

University, School

Universität Hildesheim

Grade, Teacher, Year

3 deWiljes 2015

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Hochschule Magdeburg Stendal Fachbereich Sozial- und Gesundheitswese­n Modul: S 9.2 Lehrveranstaltu­ng:­ Psychosoziale Gesundheit und Entwicklungspsy­cho­patholog­ie Wintersemester 2010/2011 Zusammenhänge zwischen Abhängigkeit und Depression vorgelegt am 23.06.2011 Studiengang: Bachelor of Arts Soziale Arbeit, 4. Semester Inhaltsverzeich­nis­ 1. Abstract . . 3 2. Einleitung . 3 2.1 Begriffsbestimm­ung­en . . 4 2.2.1 Abhängigkeit . . 4 2.2.2 Depression . 4 2.2.3 Doppeldiagnose . . 4 2.2 Beschreibung der Literaturrecher­che­…
Einleitung Im Folgenden werde ich die Ergebnisse meiner Untersuchungen zu dem Klima-Boden-Ver­hä­ltnis und dessen Verbindung zur lokalen primärwirtschaf­tl­ichen Nutzung im Raum der Taiga mit besonderem Schwerpunkt auf die Umgebung von Oulu darstellen. Die Untersuchungen wurden im Rahmen einer Projektwoche als eine Klausurersatzle­ist­ung des Erdkundeprofils in der 11. Klasse durchgeführt. Die Zusammenhänge zwischen Klima, Boden und potenzieller natürlicher Vegetation im Raum der Taiga, mit besonderem Schwerpunkt…


Lehrerthema: Visualisierung der Zusammenhänge zwischen besonderen Werten von Ableitungen


Semester 2

5305 Mathematische Anwendersysteme für den Unterricht



Hauptintention und Themeneingrenzung

Wenn im Mathematikunterricht der Umgang mit Funktionen ein Thema wird, ist es oftmals schwierig die Zusammenhänge anschaulich darzustellen. Mit Hilfe meines Arbeitsblattes sollen Lehrpersonen den Zusammenhang zwischen einer Funktion und deren Ableitungen darstellen. Das Arbeitsblatt ist also als Service zu verstehen. Einerseits natürlich für die Schülerinnen und Schüler, die sich die theoretischen Zusammenhänge dadurch besser vorstellen können .Andererseits können die Lehrpersonen damit den Unterricht abwechslungsreich gestalten.

In der Sachanalyse werde ich mich mit Funktionen und deren Ableitungen beschäftigen. Dazu gehören auch wichtige Begriffe, die ich im Laufe der Sachanalyse erklären und definieren werde.

Sachanalyse

Um sich mit dem Thema Ableitungen zu beschäftigen, muss man sich als erstes der Frage zuwenden, was eine Funktion ist. Der Ausdruck Funktion wurde von Leibnitz eingeführt. Die mathematische Schreibweise f(x) wird als „f von x“ gelesen und ist eine Funktion von x. Unter einer Funktion oder Abbildung f von A nach B (f: A→B) versteht man eine Vorschrift, die jedem Punkt xA genau einen Punkt yB zuordnet.

Man schreibt auch x→f(x) um anzudeuten, dass x auf f(x) abgebildet wird. X wird als Variable, da x verschiedene Werte annehmen kann, oder auch Argument der Funktion bezeichnet. Die Menge in der sich x ändern kann wird als Definitionsmenge der Funktion bezeichnet und als D(f) geschrieben. Als Wertebereich W(f) wird die Menge an Funktionswerten bezeichnet, die f(x), in Abhängigkeit von x in D(f), annehmen kann.

Das bedeutet, wenn sich x innerhalb des Definitionsbereiches D(f) ändert, ändern sich die dazugehörigen Werte f(x) in W(f). Man schreibt auch f: D(f)→W(f). Mitunter benutzt man für das Resultat einer Funktion eine Variable, z.B. y = f(x). Damit wird der Wert der Variable y durch den Wert der Funktion f(x), die von x abhängt, bestimmt. Man nennt daher x auch die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.

Die unabhängige Variable x nimmt Werte der Definitionsmenge an, die abhängige Variable y Werte des Wertebereichs. Die Namen der Variablen sind zwar allgemein üblich, können aber auch anders lauten, d.h. z = f(u) bezeichnet dieselbe Funktion wie y = f(x).

Wie oben beschrieben existiert für jedes x aus dem D(f) ein Wert f(x) aus dem W(f). Da f(x) von x abhängt, ändert sich f(x) in den meisten Fällen (ändert es sich nicht handelt es sich um eine konstante Funktion, die für weitere Untersuchungen nur bedingt interessant ist). Gibt es eine Veränderung sucht man nach Möglichkeiten diese zu untersuchen. „Die Ableitung einer Funktion f(x) in Abhängigkeit von x beschreibt die Veränderungsrate von f(x), wenn x sich verändert.“1 Bei der Ableitung einer Funktion f: in einem gegebenen Punkt folgt man der Vorstellung, dass die Ableitung von f(x) ingleich m ist, wenn f(x) sich gut durch die lineare Funktion f(x)+m*(x-) für ein x in der Nähe vonannähern lässt. Geometrisch entspricht dies der Forderung, dass die Gerade y = f()+m(x-) die Tangente zum Graphen y = f(x) in ()) ist.2 Die Steigung m hängt vonab, d.h. m = m().

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Man sagt, dass die Ableitung von f(x) ingleich m(). Man schreibt f‘() = m().

Es gibt in unterschiedlichen Büchern verschiedene Schreibweisen der Ableitung. Hier betrachte ich jetzt eine andere Möglichkeit die Steigung zu berechnen und darzustellen.

Eine andere Möglichkeit ist: Man betrachtet man zwei verschiedene Punkte x,x, so heißt der Ausdruck:=:ein Differenzenquotient von g. Der Differenzenquotient hat den Wert der Steigung der Sekante, die durch die Punkte x und x geht. Existiert nun für ein xI der Grenzwertso ist f im Punkt x differenzierbar.

Differenzierbar bedeutet, dass sich die Funktion in diesem Punkt ableiten lässt. Der Grenzwert heißt Ableitung von f im Punkt x und wird üblicherweise mit f‘(x) bezeichnet. Anschaulich lässt sich die Differenzierbarkeit so darstellen, dass man an einen Graphen eine Tangente anlegen kann.

An dieser Stelle kann man auch auf die Stetigkeit eingehen. Bei der Stetigkeit betrachtet man wieder eine Funktion f in ihrem Definitionsbereich D. f heißt stetig, wenn zu jedemeinexistiert, so dass für alle x mit |x-x|stets |f(x)-f(x)|gilt.3

Das Monotonieverhalten besagt ob eine Funktion steigt oder fällt. Monoton steigen gilt, wenn f eine Funktion ist, die von I auf abbildet und x,yI wobei xy, dann folgt: f(x)f(y). Bei streng monoton steigend heißt es: f(x)f(y). Monoton fallend ist analog, also xy, also f(x)f(y) bzw. streng monoton fallend f(x)f(y).

Die höchsten und tiefsten Punkte einer Kurve, in denen die Tangente horizontal verläuft, nennt man Minima und Maxima. Randstellen und Spitzen einer Kurve schließt man aus. Minima und Maxima fasst man unter Extrema zusammen. Man unterscheidet zwischen globalem und lokalem Extrema. Das globale Extremum bezieht sich auf die gesamte Funktion f, was bedeutet, dass sie jeweils den absolut größten bzw. kleinsten Funktionswert annehmen.

Lokale Extrema f(x) sind in einer Umgebung von x am größten bzw. am kleinsten. Charakteristisch für ein lokales Extremum ist die Änderung des Monotonieverhaltens. Bei einem lokalen Maximum ändert sich das Monotonieverhalten von „Monotonie steigend“ zu „Monotonie fallend“. Bei einem lokalen Minimum ist es umgekehrt.

–lokales Maximum genau dann, wenn es eine Umgebung von x gibt, in der für die Funktionswerte f(x) für xx gilt: f(x)f(x). Der Graph der Funktion hat dann in (x|f(x)) einen relativen Hochpunkt.

–lokales Minimum genau dann, wenn es eine Umgebung von x gibt, in der für die Funktionswerte f(x) für xx gilt: f(x)f(x). Der Graph der Funktion hat dann in (x|f(x)) einen relativen Tiefpunkt.4


Für das Berechnen der Extrempunkte benötigt man eine notwendige und eine hinreichende Bedingung. Für die notwendige Bedingung benötigt man die Ableitung der Funktion. Ist die Funktion f in ihrem Definitionsbereich D(f) differenzierbar und xD(f) eine lokale Extremstelle von f, so gilt: f‘(x)=0.


-f‘(x)=0 und f‘‘(x)0, so hat die Funktion f an der Stelle x ein lokales Maximum.

-f‘(x)=0 und f‘‘(x)0, so hat die Funktion f an der Stelle x ein lokales Minimum.5

Ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt kann man nicht mit Bestimmtheit sagen, ob es sich um einen Extrempunkt handelt.


Funktionsgraphen können bei gleichem Monotonieverhalten unterschiedlich gekrümmt sein. Vergleicht man den Verlauf eines Funktionsgraphen mit einer Straße, so durchfährt man mit steigendem x-Wert entweder eine Rechtskurve oder eine Linkskurve.

Definition: Ist f eine im Intervall I differenzierbare Funktion und ist f‘ in I

-streng monoton fallend, dann bezeichnet man den Graphen von f in I als rechtsgekrümmt.


Der Wendepunkt entspricht einem Punkt, in dem man von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt wechselt.

Definition: Ist die Funktion f in D(f) differenzierbar und besitzt f‘ an der StelleD(f) ein lokales Extremum, so nennt manWendestelle von f und W(;f()) Wendepunkt des Graphen von f.

Für die Berechnung der Wendestelle benötigt man eine notwendige und eine hinreichende Bedingung. Die notwenige Bedingung lautet: Ist die Funktion f in ihrem Definitionsbereich D(f) zweimal Differenzierbar undD(f) eine Wendestelle von f, so gilt: f‘‘()=0. Für die hinreichende Bedingung benötigt man die dritte Ableitung: Gilt fürD(f) f‘‘()=0 und f‘‘‘()0, so hat die Funktion f an der Stelleeine Wendestelle.

Das alternative Computerprogramm: DynaGeo

Das alternative Computerprogramm, auf das ich mich beziehe, nennt sich „EUKLID DynaGeo“. Beim Versuch des Nachkonstruierens fällt einem der ziemlich unübersichtliche Aufbau auf. Man muss erst einmal die Befehle, die man benötigt, suchen. Auch die Bezeichnungen für z.B. die Schieberegler sind anders. In DynaGeo nennt es sich „Zahlobjekt“. Die Anwendung ist etwas anders als bei Geogebra.

Bei Geogebra muss man als erstes die Einstellungen anpassen und bei DynaGeo werden die Zahlobjekte erst erstellt und hinterher kann man die Einstellungen ändern. Der Umgang mit den Reglern ist ähnlich, außer dass man in DynaGeo die Regler auch Minimieren kann und sie so immer in kleinen Schritten und auf bestimmte Werte verändern kann.

Anders als bei Geogebra hat DynaGeo keine Eingabemöglichkeit um Funktionen direkt Abzuleiten. Das ist einerseits etwas umständlich, da man die Funktion umständlich selber eingeben muss, aber andererseits muss man sich in dem Fall noch einmal überlegen, was es eigentlich heißt, dass eine Funktion abgeleitet wird. In diesem Fall muss man also die Funktion f(x)=Z1*x^4-Z2*x^3-Z3*x^2+Z4*x+Z5 (Z:=Schieberegler) in der Art ableiten: f‘(x)=4*Z1*x^3-3*Z2*x^2-2*Z3*x+Z4.

Der große Unterschied zu Geogebra und gleichzeitig ein großer Nachteil von DynaGeo ist, dass man die Extrema, Nullstellen und Wendepunkte nicht mit Punkten markieren kann. Man kann zwar Punkte auf den Linien erstellen, aber selbst wenn man die Punkte z.B. so erstellt, dass sie Nullstellen der einen Funktion sind, kann man die Regler verwenden und schon ist er Punkt keine Nullstelle mehr.

Allgemein finde ich, dass Geogebra in den meisten Bereichen stärker und auch klarer ist, als DynaGeo. Mir fällt keine Aufgabe ein bei der DynaGeo geeigneter wäre als Geogebra.


Argumentation

Die Benutzung von Computerprogrammen im Mathematikunterricht nimmt immer mehr zu. So stellt sich natürlich die Frage, ob das Einsetzen eines DGS im Unterricht aus didaktischer Sicht sinnvoll ist.

Die unterschiedlichen Programme haben auch verschiedene Schwerpunkte, aber die meisten dynamischen Computersysteme werden zur Veranschaulichung eingesetzt. Wenn man die Programme aber benutzt bevor man die eigentlichen mathematischen Prozesse genauer im Unterricht bearbeitet hat, kann es sein, dass die Mathematischen Prozesse in den Computerprogrammen zu schnell ablaufen.

Ein weiterer Punkt ist, dass Schüler sich zu sehr auf das Beweisen durch graphische Plausibilität und Näherungsergebnisse verlassen. Außerdem haben die Schüler zwar die Mathematik „gesehen“ haben aber keine Mitschriften in ihrem Heft und haben somit keine Sicherung. Ein generelles Problem liegt darin, dass die Schulen sehr unterschiedlich mit Computern ausgestattet sind, was Computerräume usw. angeht.

Ein Vorzug ist natürlich die Veranschaulichung von Prozessen und der Gegenüberstellung von Ergebnissen bei Variationen. Als Beispiel kann man dazu mein Arbeitsblatt nehmen, da man dort die Zusammenhänge beobachten soll, die erst bei Veränderungen auffällig werden. Man kann außerdem Vermutungen oder Messergebnisse schnell auswerten und überprüfen und thesenhafte Ergebnisse zum Beurteilen der Konsequenzen gegenüberstellen.

Die Schüler haben die Chance mit dem Programm zu experimentieren und selbstständiges Lernen zu entdecken. Das Benutzen von Computerprogrammen im Matheunterricht kann zur Steigerung der Motivation benutzt werden.

Meiner Meinung ist das Verwenden von DGS im Unterricht sinnvoll. Man sollte es aber nur in Maßen einsetzten und nicht in jeder Unterrichtseinheit. Die Programme haben verschiedene Schwerpunkte und sollten deshalb nur bei bestimmten Einheiten eingesetzt werden. Man sollte aber darauf achten, dass man in der Schulzeit nicht zu viele verschiedene Programme einführt, damit die Schüler auch damit arbeiten können und sich nicht jedes Mal in ein neues Programm einarbeiten müssen.

Mein Thema lässt sich meiner Meinung nach sehr gut mit einem DGS bearbeiten, da man die Zusammenhänge sehr gut beobachten kann, wenn man Variationen einbaut (z.B. mit Hilfe von Schiebereglern). Die Zusammenhänge von Extrema und Nullstellen bei Ableitungen kann man zwar auch in Zeichnungen auf Papier sehen, aber sie fällt doch vor allem auf, wenn man nicht nur eine Funktion beobachtet, sondern verschiedene.

Daher ist dieses Thema sehr gut mit einem DGS zu bearbeiten.


Konstruktionsprotokoll


Vorbereitung

  1. Erstellen Sie vier Schieberegler a,b,c,d mit den Standarteinstellungen.

  2. Geben Sie die Funktion f(x) in der Art: f(x)=ax^4-bx^3-cx^2+dx+2. Hinweis: Die Buchstaben a,b,c,d stehen für die Werte, die die Schieberegler annehmen können.


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