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Lesson plan
Mathematics

University, School

WBK des Kreises Olpe

Grade, Teacher, Year

1,3; 2014

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Text by Regina B. ©
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2. Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik

Ausbildungsschule: Weiterbildungskolleg des Kreises Olpe Abendgymnasium Attendorn


Thema der Unterrichtsreihe:

Bestimmung von Funktionsvorschriften ganzrationaler Funktionen


Thema der Unterrichtsstunde:

Wanted: Übertragen der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben auf   differenzierte kontextbezogene Aufgaben mit dem Schwerpunkt auf Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ der Aufgabenstellung

1. Didaktische Analyse


1.1     Curriculare Anbindung

Die Legitimation der heutigen Unterrichtsstunde kann auf den Lehrplan und die Richtlinien für die Sekundarstufe II Gymnasium/GesamtschuleGrundkurs Analysis“ , Runderlass des  Ministeriums für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein – Westfalen von 1999 zurückgeführt werden.

Die aus den landesweiten Rahmenvorgaben abgeleitete didaktische Jahresplanung sieht das erste Jahr der Oberstufe die Bestimmung ganzrationaler Funktionen in Sachzusammenhängen als Fortführung der Differentialrechnung vor.


1.2 Einbettung der Unterrichtseinheit in den unterrichtlichen Kontext


Die Unterrichtsreihe „Bestimmung von Funktionsvorschriften ganzrationaler Funktionen“ greift die Anwendung der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben auf differenzierte kontextbezogene Aufgaben als abschließende Themeneinheit auf. Die folgende Aufstellung ermöglicht einen Einblick in die Segmentierung dieser Unterrichtsreihe.



Einheit


                                             Thema


1.

 


Gaußsches Eliminierungsverfahren -  Verstehen und Anwenden des

Gauß-Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme



2.



    Wanted: Der Weg zur Funktion – Problemorientierte Entwicklung einer    Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben anhand eines innermathematischen Problems


                          3.

                          4.

                      

Wanted: Anwendung der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben

                 auf innermathematische Aufgaben

                          5.

                      


 Wanted:  Übertragen der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben  auf differenzierte kontextbezogene Aufgaben mit dem Schwerpunkt auf Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ der Aufgabenstellung


                        6.


Aufgabenmarathon  zu Steckbriefaufgaben mit den Zielen: Wiederholung, Übung, Festigung und Aufzeigen der Grenzen der Mathematisierbarkeit bei Steckbriefaufgaben


2. Hausaufgaben

2.1 Hausaufgaben zur Stunde

Da viele Studierende des Abendgymnasiums berufstätig sind, ist der Umfang der Hausaufgaben stark eingeschränkt. Jedoch sind sich auch die Lernenden dessen bewusst, dass Wiederholungen und vertiefende Übungen außerhalb des Unterrichts unabdingbar sind. Aus diesem Grund haben wir eine Vereinbarung über Hausaufgaben von Donnerstag bis Montag getroffen.

So sieht diese Stunde keine Hausaufgabenbesprechung vor.  


2.2 Hausaufgaben zur nächsten Stunde

Um den Kontext der Steckbriefaufgaben unter möglichst verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten gibt es zur nächsten Stunde als Hausaufgabe Blütenaufgaben zu diesem Thema.

Außerdem dienen diese Blütenaufgaben der Übung und Vorbereitung auf den Aufgabenmarathon zu Steckbriefaufgaben in der nächsten Stunde.  

3. Unterrichtsziele

3.1 Stu.....[read full text]

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Am Weiterbildungskolleg des Kreises Olpe ist in der Hauptphase des Abendgymnasiums/Kollegs nur eine sehr eingeschränkte Kurswahl durch die Studierenden möglich. Das hat zur Folge, dass die Studierenden sich am Ende der Einführungsphase nur zwischen dem Leistungskurs Biologie und Mathematik entscheiden können, wobei der Deutsch-Leistungskurs für alle verpflichtend ist.

Der Kurs H2b hat somit seit September 2013 die Leistungskurse Deutsch und Biologie.


Die Voraussetzungen, die 13 von 15 Studierenden des Grundkurses Mathematik aus dem ersten Bildungsweg mitbringen, reichen vom Hauptschulabschluss bis zur Fachhochschulreife.

Zwei Studierenden kamen ohne jeglichen Schulabschluss an unser Weiterbildungskolleg.

 

Aufgrund dieser unterschiedlichen Zugangsqualifikationen und der eingeschränkten Wahlmöglichkeit am Weiterbildungskolleg des Kreises Olpe besteht in diesem Kurs ein sehr heterogenes Lernniveau.

Die meisten Studierenden kommen aus bildungsfernen Familien und haben in ihrer bisherigen Schullaufbahn äußerst negative Erfahrungen mit dem Fach Mathematik gemacht.


Das Fach Mathematik wird mit zwei Wochenunterrichtseinheiten unterrichtet, wobei eine Einheit

70 Minuten dauert.  


4.2. Bemerkungen zum Lern- und Arbeitsverhalten

Grundsätzlich herrscht im Kurs ein offenes, freundliches Arbeitsklima und die Studierenden gehen respektvoll miteinander um. Sie unterstützen sich gegenseitig und kooperieren in vielen Unterrichtssituationen miteinander.  


Neben teilweise erheblichen Schwächen in den Grundfertigkeiten (insbesondere im Bereich algebraischer Fertigkeiten) haben einige Studierenden deutliche Schwierigkeiten Sachkontexten

(sowohl eingekleideten Textaufgaben als auch offenen Anwendungsaufgaben) die relevanten mathematischen Informationen zu entnehmen und diese in formale mathematische Notation umzusetzen.

Nach wie vor bestehen bei einigen Studierenden Probleme bei der präzisen Versprachlichung mathematischer Sachverhalte.


Daher habe ich den Schwerpunkt der heutigen Stunde auf eine selbstständige Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ von Au.....

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Diese für die Studierenden wichtigen Anregungen bzw. notwendigen Hilfestellungen werden durch stufenweise angelegte Hilfekarten am Lehrerpult gewährleistet.   


5.3 Überlegungen zur Gruppenbildung


Den Kurs H2b unterrichte ich seit Beginn des Schuljahres und habe feststellt, dass den Studierenden sowohl das selbstständige Arbeiten als auch die zielorientierte Gruppenarbeit im Fach Mathematik Schwierigkeiten bereitet. Zudem herrscht hier ein sehr heterogenes Lernniveau.

Aus diesen Gründen wurden die Gruppen nach einer bestimmten Formel (Rangreihe) zusammengestellt, sodass in jeder Gruppe (sowohl in der Stamm- als auch in der Expertengruppe) jedes „Leistungsniveau“ vertreten ist.

Die Gruppenzuordnungen der Studierenden sind unter Berücksichtigung von kulturellen Hintergründen, Geschlecht, sozialen Beziehungen und Abwesenheitsproblemen arrangiert worden. Gerade in dieser heterogenen Lerngruppe sollen so die schwächeren Studierenden in sicherer Lernatmosphäre ermutigt werden sich einzubringen und Ideen zu äußern.


6. Geplanter Unterrichtsverlauf

Unterrichtsschritte

                       Inhalt

           Didaktisch-methodischer Kommentar

Aktions- und Sozialform

Medien

Einstieg

Begrüßung und Vorstellung der Gäste;

Wiederholung und Festhalten der Schritte der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben

Aktivierung der St;

Die Wiederholung dient der persönlichen Vergegenwärtigung des Gelernten und ermöglicht den St. eine Einordnung der heutigen Stunde in den Verlauf der Unterrichtssequenz.

      gUG


      Plenum

Einstiegsfolie

      Tafel

Konfrontation mit dem Stundenthema

L erklärt den St, dass in dieser Stunde die bereits erarbeitete Strategie zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen an verschiedenen Anwendungsaufgaben geübt und vertieft werden soll;

L betont den Schwerpunkt der Stunde: Entwicklung von Lösungsstrategien für versch. Steckbriefaufgaben im Sachzusammenhang 

Die Anwendungsaufgaben lassen sich in drei Typen unterteilen:

1.         Die Informationen müssen aus einem Graphen/Tabelle entnommen werden.

2.         Die Informationen müssen aus einem Text entnommen werden.

3.         In eine Abbildung muss zuerst ein Koordinatensystem sinnvoll gezeichnet werden, sodass daraus Informationen entnommen werden können.

        LV


     Plenum

      Tafel

Organisation des weiteren Vorgehens

L weist auf den Ablaufplan des weiteren Vorgehens hin;

Klärung offen gebliebener Fragen


          Transparenz der Arbeitsmethode

                                              

          LV

     Plenum

 Ablaufplan

  für  die St

Erarbeitung der Anwendungsaufgaben

Die St bearbeiten die Aufgabe ihrer Stammgruppe

Die St lösen kontextbezogene Steckbriefaufgaben, indem sie die in den letzten Stunden erarbeitete Strategie auf Anwendungsaufgaben übertragen.

      

          GA

AB 1 – 3

HK A - C

Evtl. AB 5

Vorstellen und Diskussion der Arbeitsergebnisse

Die St arbeiten in Expertengruppen:

  1. Vorstellung der jeweiligen Aufgaben
  2. Diskussion über Unterschiede der Aufgabenformen
  3. Auf STK werden „Schwierigkeiten“ und „Tipps“ notiert

Die St sollen fachlich erläutern, wie spezielle Steckbriefaufgaben gelöst werden können, indem sie die Aufgabe ihrer Stammgruppe in der Expertengruppe vorstellen und erklären;   

Die St lernen Lösungsmöglichkeiten weiterer Aufgabentypen kennen, indem sie die Erklärungen  ihrer Mitstudierenden                                                                                                                                                                in der Expertengruppe nachvollziehen;

Die St sollen für das Entwickeln von Techniken für das „Lesen“ von Auf-gabenstellungen sensibilisiert werden, indem sie für die drei verschiedene Aufgabentypen jeweils Schwierigkeiten und Tipps formulieren. 


          GA

AB 1 – 3

STK A – C

Sicherung durch Sammeln der Lösungs-strategien

Diskussion der drei verschiedenen Aufgabenformen;

STK aus der Expertengruppe werden diskutiert und ggf. ergänzt

Zentral an dieser Stelle ist die Diskussion über Strategien bei der Bearbeitung kontextbezogener Anwendungsaufgaben


      StV

   Plenum

    STK

   Tafel

Reflexion

Die St reflektieren gemeinsam mit der L den Inhalt der Stunde, äußern organisatorisch-methodische Probleme, aber auch inhaltliche Erkenntnisse,  die gewonnen wurden;

L  würdigt die geleistete Arbeit

Bezug zum Unterrichtseinstieg wird mit dem Ziel der „Abrundung“ der UE thematisiert;

Stellungnahme der St zur Methode und zum Lernerfolg mit dem Ziel der Entwicklung einer Feed-back-Kultur.


     gUG

  Plenum


Fakultative Phase

Besprechung der Zusatzaufgabe

     gUG

  AB 5

Hausaufgabe

Blütenaufgaben zu Steckbriefaufgaben

Die Aufgaben dienen der Vorbereitung auf die nächste Stunde


  AB 4

L = Lehrerin                       St = Studierenden                    gUG = gelenktes Unterrichtsgespräch                           LV = Lehrerinvortrag                                                StV = Studierendenrvortrag    

           GA=Gruppenarbeit HK=Hilfskarten AB=Arbeitsblatt STK=Schwierigkeiten-Tipps-Karten

.....

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       Stellen Sie dazu die notwendigen Bedingungen bzw. Gleichungen auf und lösen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem.

 Geben Sie auch den Definitionsbereich von f an.   

Arbeitsblatt 2:

Kontextbezogene Steckbriefaufgaben (reine Textaufgaben)

H2b  GK

Gruppe B


       Quelle:

                                        Bau einer Rutsche

    
  

Das Bild zeigt die vorgesehenen Maße einer Metallrutsche (Höhe: 4m,        Breite: 4m), die ein Spielgerätefabrikant für Spielplätze konstruieren will.

Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion f  3. Grades festgelegt und durch dessen Extrempunkte begrenzt sein.


    

      Aufgabe:


       Bestimmen Sie die notwendigen Bedingungen bzw. Gleichungen für eine  ganzrationale Funktion f  3. Grades aus dem Graphen von f, indem Sie die "Rutschbahn" sinnvoll in ein Koordinatensystem legen.


       Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem  auf und bestimmen Sie die gesuchte Funktion, indem Sie das Gleichungssystem lösen.

Arbeitsblatt 3:

Kontextbezogene Steckbriefaufgaben (Koordinatensystem anlegen)

H2b  GK

Gruppe C


   Quelle:

Arbeitsblatt 4: Zusatzaufgabe


Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y - Achse verläuft:

                               I.     a +   b +  c =  3

                              II.   4a + 2b        = -2 

                             III. 12a + 2b        =  0


Notieren Sie die zugehörigen Bedingungen und bestimmen Sie die gesuchte Funktionsvorschrift.


Zusatzaufgabe:


Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y - Achse verläuft:

                               I.     a +   b +  c =  3

                              II.   4a + 2b        = -2 

                             III. 12a + 2b        =  0


Notieren Sie die zugehörigen Bedingungen und bestimmen Sie die gesuchte Funktionsvorschrift.




.....

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5. Gegeben ist eine Funktion
   unbekannten Grades.



Arbeitsblatt 5: Blütenaufgaben zu Steckbriefaufgaben (Hausaufgabe) 

                                                           


Gruppe A:

                                                                Hilfskarte 1

 


           Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion f  3. Grades lautet:

                        mit

           Schauen Sie sich den Funktionsterm an. Was wird gesucht?

           Wie viele Informationen benötigt man dafür?


                          

                                                               Hilfskarte 2


          Es müssen vier Koeffizienten  bestimmt werden.

Der Wertetabelle der Funktion f  kann man folgende entscheidende Punkte  entnehmen:

                      (1) A(0|0);  (2) und (3) B(10|7) ist ein Extrempunkt; (4) C(9|7,2)

           Diese Punkte lassen sich als Gleichungen schreiben.

           Achten Sie dabei darauf, wann von  f und wann von die Rede ist!          


                                                        Hilfskarte 3


              Aus den Punkten der Wertetabelle bzw. dem Text ergibt sich:

               (1) f (0) = 0
               (2) f (10) = 7

               (3) f '(10) = 0
               (4) f (9) = 7,2

                                                                 Wobei  lautet.

               Aus den vier Gleichungen gewinnt man ein LGS mit vier Unbekannten.


                                                                  Hilfskarte 4

             Das LGS lautet:


             (1) d = 0                       Tipp: dieses Ergebnis in die Gleichungen  (2) und (4) einsetzen!
             (2) 1000a + 100b + 10c + d = 7

             (3) 300a  + 20b + c = 0
             (4) 729a + 81b + 9c + d = 7,2


           

            Ergebnis:  

Gruppe B:

                                                                Hilfskarte 1

            Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion f  4. Grades lautet:

                        mit

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(5)   16a + 8b + 4c +2d + e = 0


Ergebnis:

           Aus der Bedingung (5) folgt, dass die gesuchte Funktion f nur im Bereich [0 ; 2 ]  definiert ist.

Gruppe C:

                                                                Hilfskarte 1

Zunächst müssen Sie die "Rutschbahn" sinnvoll in ein Koordinatensystem legen, zum Beispiel folgendermaßen:

                                                  

           Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion f  3. Grades lautet:

                        mit

             Schauen Sie sich den Funktionsterm an. Was wird gesucht?

             Wie viele Informationen benötigt man dafür?

                                                          Hilfskarte 2

          Es müssen vier Koeffizienten  bestimmt werden.

           Aus der Analyse des "Rutschbahn" - Übertragens in ein geeignetes Koordinatensystem bzw. aus  dem Graphen von f lassen sich nun vier Bedingungen gewinnen:

                                 (1) und (2) A(0|4) ist ein Hochpunkt; 

                                 (3) und (4) B(4|0) ist ein Tiefpunkt

           Diese Punkte lassen sich als Gleichungen schreiben.

           Achten Sie dabei darauf, wann von  f und wann von die Rede ist! 

                                                               Hilfskarte 3

              Aus den Bedingungen ergibt sich:

               (1) f (0) = 4
               (2) f '(0) = 0

               (3) f (4) = 0
               (4) f ' (4) = 0

                                                                 Wobei  lautet.

               Aus den vier Gleichungen gewinnt man ein LGS mit vier Unbekannten.


                                                                  Hilfskarte 4

        .....

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