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Unterrichtsplanung
Mathematik

Universität, Schule

WBK des Kreises Olpe

Note, Lehrer, Jahr

1,3; 2014

Autor / Copyright
Sabine B. ©
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Preis 5.50
Format: pdf
Größe: 0.85 Mb
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ID# 41662







2. Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik

Ausbildungsschule: Weiterbildungskolleg des Kreises Olpe Abendgymnasium Attendorn


Thema der Unterrichtsreihe:

Bestimmung von Funktionsvorschriften ganzrationaler Funktionen


Thema der Unterrichtsstunde:

Wanted: Übertragen der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben auf   differenzierte kontextbezogene Aufgaben mit dem Schwerpunkt auf Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ der Aufgabenstellung

1. Didaktische Analyse


1.1     Curriculare Anbindung

Die Legitimation der heutigen Unterrichtsstunde kann auf den Lehrplan und die Richtlinien für die Sekundarstufe II Gymnasium/GesamtschuleGrundkurs Analysis“ , Runderlass des  Ministeriumsfür Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein – Westfalen von 1999 zurückgeführt werden.

Die aus den landesweiten Rahmenvorgaben abgeleitete didaktische Jahresplanung sieht das erste Jahr der Oberstufe die Bestimmung ganzrationaler Funktionen in Sachzusammenhängen als Fortführung der Differentialrechnung vor.


1.2 Einbettung der Unterrichtseinheit in den unterrichtlichen Kontext


Die Unterrichtsreihe „Bestimmung von Funktionsvorschriften ganzrationaler Funktionen“ greift die Anwendung der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben auf differenzierte kontextbezogene Aufgaben als abschließende Themeneinheit auf. Die folgende Aufstellung ermöglicht einen Einblick in die Segmentierung dieser Unterrichtsreihe.



Einheit


                                             Thema


1.

 


Gaußsches Eliminierungsverfahren -  Verstehen und Anwenden des

Gauß-Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme



2.



    Wanted: Der Weg zur Funktion – Problemorientierte Entwicklung einer    Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben anhand eines innermathematischen Problems


                          3.

                          4.

                      

Wanted: Anwendung der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben

                 auf innermathematische Aufgaben

                          5.

                      


 Wanted:  Übertragen der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben  auf differenzierte kontextbezogene Aufgaben mit dem Schwerpunkt auf Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ der Aufgabenstellung


                        6.


Aufgabenmarathon  zu Steckbriefaufgaben mit den Zielen: Wiederholung, Übung, Festigung und Aufzeigen der Grenzen der Mathematisierbarkeit bei Steckbriefaufgaben


2. Hausaufgaben

2.1 Hausaufgaben zur Stunde

Da viele Studierende des Abendgymnasiums berufstätig sind, ist der Umfang der Hausaufgaben stark eingeschränkt. Jedoch sind sich auch die Lernenden dessen bewusst, dass Wiederholungen und vertiefende Übungen außerhalb des Unterrichts unabdingbar sind. Aus diesem Grund haben wir eine Vereinbarung über Hausaufgaben von Donnerstag bis Montag getroffen.

So sieht diese Stunde keine Hausaufgabenbesprechung vor.  


2.2 Hausaufgaben zur nächsten Stunde

Um den Kontext der Steckbriefaufgaben unter möglichst verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten gibt es zur nächsten Stunde als Hausaufgabe Blütenaufgaben zu diesem Thema.

Außerdem dienen diese Blütenaufgaben der Übung und Vorbereitung auf den Aufgabenmarathon zu Steckbriefaufgaben in der nächsten Stunde.  

3. Unterrichtsziele

3.1 Stundenziel:

Die Studierenden können mit Hilfe der im Unterricht entwickelten Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben ganzrationale Funktionen aus verschiedenen Anwendungskontexten heraus bestimmen und erweitern ihre strategischen Kompetenzen beim Lesen von Aufgabenstellungen.


.....[Volltext lesen]

Download Unter­richts­pla­nung Mathe­ma­tik: Bestim­mung der Funk­ti­ons­vor­schrift ganz­ra­tio­naler Funk­tio­nen: Über­tragen der Strategie zur Lösung von Steck­brief­auf­gaben auf diffe­ren­zierte kontext­be­zo­gene Aufgaben mit dem Schwer­punkt auf Entwick­lun[...]
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Der Kurs H2b hat somit seit September 2013 die Leistungskurse Deutsch und Biologie.


Die Voraussetzungen, die 13 von 15 Studierenden des Grundkurses Mathematik aus dem ersten Bildungsweg mitbringen, reichen vom Hauptschulabschluss bis zur Fachhochschulreife.

Zwei Studierenden kamen ohne jeglichen Schulabschluss an unser Weiterbildungskolleg.

 

Aufgrund dieser unterschiedlichen Zugangsqualifikationen und der eingeschränkten Wahlmöglichkeit am Weiterbildungskolleg des Kreises Olpe besteht in diesem Kurs ein sehr heterogenes Lernniveau.

Die meisten Studierenden kommen aus bildungsfernen Familien und haben in ihrer bisherigen Schullaufbahn äußerst negative Erfahrungen mit dem Fach Mathematik gemacht.


Das Fach Mathematik wird mit zwei Wochenunterrichtseinheiten unterrichtet, wobei eine Einheit

70 Minuten dauert.  


4.2. Bemerkungen zum Lern- und Arbeitsverhalten

Grundsätzlich herrscht im Kurs ein offenes, freundliches Arbeitsklima und die Studierenden gehen respektvoll miteinander um. Sie unterstützen sich gegenseitig und kooperieren in vielen Unterrichtssituationen miteinander.  


Neben teilweise erheblichen Schwächen in den Grundfertigkeiten (insbesondere im Bereich algebraischer Fertigkeiten) haben einige Studierenden deutliche Schwierigkeiten Sachkontexten

(sowohl eingekleideten Textaufgaben als auch offenen Anwendungsaufgaben) die relevanten mathematischen Informationen zu entnehmen und diese in formale mathematische Notation umzusetzen.

Nach wie vor bestehen bei einigen Studierenden Probleme bei der präzisen Versprachlichung mathematischer Sachverhalte.


Daher habe ich den Schwerpunkt der heutigen Stunde auf eine selbstständige Entwicklung von Techniken zum „Lesen“ von Aufgabenstellungen gelegt.


5. Bemerkungen zur gewählten Methode

5.1 Allgemeines

Das Gruppenpuzzle ist eine Form von Gruppenunterricht, kombiniert mit der Unterrichtsmethode „Lernen durch Lehren“.

Es ist eine Form eigenverantwortlichen Arbeitens, die den Studierenden über einen längeren Zeitraum hinweg selbstständiges und selbstorganisiertes H.....

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6. Geplanter Unterrichtsverlauf

Unterrichtsschritte

                       Inhalt

           Didaktisch-methodischer Kommentar

Aktions- und Sozialform

Medien

Einstieg

Begrüßung und Vorstellung der Gäste;

Wiederholung und Festhalten der Schritte der Strategie zur Lösung von Steckbriefaufgaben

Aktivierung der St;

Die Wiederholung dient der persönlichen Vergegenwärtigung des Gelernten und ermöglicht den St. eine Einordnung der heutigen Stunde in den Verlauf der Unterrichtssequenz.

      gUG


      Plenum

Einstiegsfolie

      Tafel

Konfrontation mit dem Stundenthema

L erklärt den St, dass in dieser Stunde die bereits erarbeitete Strategie zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen an verschiedenen Anwendungsaufgaben geübt und vertieft werden soll;

L betont den Schwerpunkt der Stunde: Entwicklung von Lösungsstrategien für versch. Steckbriefaufgaben im Sachzusammenhang 

Die Anwendungsaufgaben lassen sich in drei Typen unterteilen:

1.         Die Informationen müssen aus einem Graphen/Tabelle entnommen werden.

2.         Die Informationen müssen aus einem Text entnommen werden.

3.         In eine Abbildung muss zuerst ein Koordinatensystem sinnvoll gezeichnet werden, sodass daraus Informationen entnommen werden können.

        LV


     Plenum

      Tafel

Organisation des weiteren Vorgehens

L weist auf den Ablaufplan des weiteren Vorgehens hin;

Klärung offen gebliebener Fragen


          Transparenz der Arbeitsmethode

                                              

          LV

     Plenum

 Ablaufplan

  für  die St

Erarbeitung der Anwendungsaufgaben

Die St bearbeiten die Aufgabe ihrer Stammgruppe

Die St lösen kontextbezogene Steckbriefaufgaben, indem sie die in den letzten Stunden erarbeitete Strategie auf Anwendungsaufgaben übertragen.

      

          GA

AB 1 – 3

HK A - C

Evtl. AB 5

Vorstellen und Diskussion der Arbeitsergebnisse

Die St arbeiten in Expertengruppen:

  1. Vorstellung der jeweiligen Aufgaben
  2. Diskussion über Unterschiede der Aufgabenformen
  3. Auf STK werden „Schwierigkeiten“ und „Tipps“ notiert

Die St sollen fachlich erläutern, wie spezielle Steckbriefaufgaben gelöst werden können, indem sie die Aufgabe ihrer Stammgruppe in der Expertengruppe vorstellen und erklären;   

Die St lernen Lösungsmöglichkeiten weiterer Aufgabentypen kennen, indem sie die Erklärungen  ihrer Mitstudierenden                                                                                                                                                                in der Expertengruppe nachvollziehen;

Die St sollen für das Entwickeln von Techniken für das „Lesen“ von Auf-gabenstellungen sensibilisiert werden, indem sie für die drei verschiedene Aufgabentypen jeweils Schwierigkeiten und Tipps formulieren. 


          GA

AB 1 – 3

STK A – C

Sicherung durch Sammeln der Lösungs-strategien

Diskussion der drei verschiedenen Aufgabenformen;

STK aus der Expertengruppe werden diskutiert und ggf. ergänzt

Zentral an dieser Stelle ist die Diskussion über Strategien bei der Bearbeitung kontextbezogener Anwendungsaufgaben


      StV

   Plenum

    STK

   Tafel

Reflexion

Die St reflektieren gemeinsam mit der L den Inhalt der Stunde, äußern organisatorisch-methodische Probleme, aber auch inhaltliche Erkenntnisse,  die gewonnen wurden;

L  würdigt die geleistete Arbeit

Bezug zum Unterrichtseinstieg wird mit dem Ziel der „Abrundung“ der UE thematisiert;

Stellungnahme der St zur Methode und zum Lernerfolg mit dem Ziel der Entwicklung einer Feed-back-Kultur.


     gUG

  Plenum


Fakultative Phase

Besprechung der Zusatzaufgabe

     gUG

  AB 5

Hausaufgabe

Blütenaufgaben zu Steckbriefaufgaben

Die Aufgaben dienen der Vorbereitung auf die nächste Stunde


  AB 4

L = Lehrerin                       St = Studierenden                    gUG = gelenktes Unterrichtsgespräch                           LV = Lehrerinvortrag                                                StV = Studierendenrvortrag    

           GA=Gruppenarbeit HK=Hilfskarten AB=Arbeitsblatt STK=Schwierigkeiten-Tipps-Karten

7. Anhang

7.1 Mögliches Tafelbild

   Graphen/Tabellen –Aufgaben

       Reine Textaufgaben

Koordinatensystem sinnvoll anlegen

Schwierig-keiten

     Tipps

Schwierig-keiten

      Tipps

Schwierig-

keiten

     Tipps

Welche

Punkte soll ich wählen?

Möglichst „einfache“, z. B.

(0|f(x))


Doppelte Informationen

Wie viele Informationen braucht man?

Wo gehört das

KOS hin?

KOS so wählen, dass entscheidende Punkte auf den Koordinatenachsen liegen

Wie viele

Punkte werden

benötigt?


Wie viele Informationen braucht man?

( Anzahl der Unbekannten)

Entscheiden: was braucht man, was nicht?

Alle Infos rausschreiben, dann aussortieren!

Das Ablesen der

Werte

Punkte/Eigenschaften so wählen, dass diese zu einem möglichst „einfachem“ LGS führen

Gefahr: „geschätzte“

Koordinaten von Punkten abzulesen

- Nur „genaue“

Punkte verwenden!

- Punkte aus der Wertetabelle verwenden

„Übersetzung“  in mathema-tische

Gleichungen

Erarbeitete „Vokabeln“ nutzen

Welcher „Bereich“ des Bildes soll als Funktion dar-gestellt werden?

Auf Angaben in der Aufgabenstellung achten!

7.2 Ablaufplan für die Studierenden


Phase:

Zeitvorgabe:

Arbeit in den Stammgruppen:

  1. Schritt: Bearbeiten Sie in Ihrer Gruppe die gestellten Aufgaben.

ð Sollten Sie Schwierigkeiten beim Lösen der Aufgaben haben, so    können Sie sich nach 5 Minuten vom Pult die erste Hilfekarte holen.

   Aber: Erst einen Hinweis nachvollziehen und dann die nächste Hilfekarte anschauen!

  1. Schritt: Stellen Sie sicher, dass jedes Gruppenmitglied die Ergebnisse Ihrer Gruppe verstanden und festgehalten hat – denn jeder von Ihnen soll im nächsten Schritt diese Ergebnisse in der Expertengruppe vermitteln können.

      JFür die „Schnellen“ gibt es am Pult eine Zusatzaufgabe J





ca. 15 min.

Arbeit in den Expertengruppen:

       3.   Schritt: Stellen Sie sich gegenseitig Ihre Stammgruppen-Aufgaben

             und die Lösungswege vor.

             Klären Sie gegebenenfalls Fragen!

       4.   Schritt: Notieren Sie die „Schwierigkeiten“, die beim Bearbeiten  der jeweiligen Aufgabentypen entstanden sind/entstehen können auf Ihre bunten Karten. Überlegen Sie sich auch „Tipps“ für die Lösung einzelner Aufgabentypen und schreiben Sie diese ebenfalls auf die Karten.     




    ca. 20 min

Im Plenum:

       5.  Schritt: Diskussion offen gebliebener Fragen. Besprechung der drei Aufgabentypen – Schwierigkeiten und  Tipps.


    ca. 20 min

7.3 Arbeitsblätter

Arbeitsblatt 1: „Artenreproduktionskurve“ (Gruppe A)

Arbeitsblatt 2: „Düngung eines Erdbeerfeldes-Ertragskurve“ (Gruppe B)

Arbeitsblatt 3: „Bau einer Rutsche“ (Gruppe C)

Arbeitsblatt 4: „Zusatzaufgabe“ (für alle Gruppen)

Arbeitsblatt 5: „Blütenaufgaben zu Steckbriefaufgaben“ (Hausaufgabe)


7.4 Hilfskarten

Gruppe A: Hilfskarten 1-4

Gruppe B: Hilfskarten 1-4

Gruppe C: Hilfskarten 1-4


7.5 Schwierigkeiten-Tipps - Karten

Gruppe A: Graphen/Tabellen-Aufgaben

Gruppe B: reine Textaufgaben

Gruppe C: Koordinatensystem sinnvoll anlegen

                                Artenreproduktionskurve
  

Viele natürliche Ressourcen wie z. B. Fisch- oder Waldbestände erneuern sich von selbst. Waldbesitzer oder Fischzüchter möchten aber einen möglichst großen Ertrag erwirtschaften. Dabei ist darauf zu achten, dass sie nicht zu viel Holz schlagen oder zu viele Fische der Zucht entnehmen.

Unten ist nun eine sogenannte Reproduktionskurve einer Art abgebildet. Sie ist der Graph einer Funktion f, die der Populationsgröße der gegenwärtigen Generation die Populationsgröße der darauffolgenden Generation zuordnet. Auch wenn diese Kurve von Art zu Art variiert, so hat sie unter vernünftigen biologischen Annahmen immer eine ähnliche Form wie die abgebildete Reproduktionskurve für einen Fischbestand.

    

Aufgabe:

      Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der  Reproduktionskurve f unter Beachtung folgender Tabelle, wobei f eine ganzrationale Funktion 3. Grades sein soll.


Größe der gegenw. Generation in t

  0

    9

  10  

Größe der darauff. Generation in t

  0

  7,2

   7

Stellen Sie dazu die notwendigen Bedingungen bzw. Gleichungen auf und lösen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem.     

Beachten Sie: Für 10 Tonnen liegt .....

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                               I.     a +   b +  c =  3

                              II.   4a + 2b        = -2 

                             III. 12a + 2b        =  0


Notieren Sie die zugehörigen Bedingungen und bestimmen Sie die gesuchte Funktionsvorschrift.


Zusatzaufgabe:


Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y - Achse verläuft:

                               I.     a +   b +  c =  3

                              II.   4a + 2b        = -2 

                             III. 12a + 2b        =  0


Notieren Sie die zugehörigen Bedingungen und bestimmen Sie die gesuchte Funktionsvorschrift.


Zusatzaufgabe:


Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y - Achse verläuft:

                               I.     a +   b +  c =  3

                              II.   4a + 2b        = -2 

                             III. 12a + 2b        =  0


Notieren Sie die zugehörigen Bedingungen und bestimmen Sie die gesuchte Funktionsvorschrift.

    


1.         Eine ganzrationale Funktion 3. Grades soll im Punkt T (1|2) einen Tiefpunkt haben und im Punkt W (0|0) einen Wendepunkt. Max hält diese Aufgabe für unlösbar. Untersuchen Sie, ob Max Recht hat.

2.      Bei einem Glas wurde gemessen, in welcher Höhe bestimmte Radien vorliegen:


Höhe h   (in cm)

                 0

                1

                 2

              3

Radius r  (in cm)

                 1

               1,5

               1,8   

              2

Bestimmen Sie die Funktion, welche den Radius in Abhängigkeit von der Höhe angibt.


3.        Die Funktion  ist gegeben. Geben Sie ausreichend viele Bedingungen an, so dass der Funktionsterm mit Hilfe eines Gleichungssystems bestimmt werden könnte.
Stellen Sie das Gleichungssystem in Matrixschreibweise auf, ohne es zu lösen.

4.      Mia wirft einen Ball. Die Flugbahn verläuft annähernd parabelförmig. Der Ball erreicht nach einem Meter eine Höhe von 2,94 m, nach 2m eine Höhe von 3,94m und nac.....

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                        mit

             Schauen Sie sich den Funktionsterm an. Was wird gesucht?

             Wie viele Informationen benötigt man dafür?

                                                                 Hilfskarte 2

            Es müssen fünf Koeffizienten  bestimmt werden.

              Der Text der Aufgabe enthält fünf wichtige Bedingungen:

(1)   „… Dabei soll für Null Tonnen Dünger eine waagerechte Tangente angenommen       werden…“

(2)   „ … dass das ungedüngte Feld ca. 4 t Erdbeeren erbringt…“

(3)   „… bei Ausbringung von 1 t biologischem Dünger der Ertrag verdreifacht…“

(4)   In (2) liegt der maximale Ertrag des Erdbeerfeldes vor.

(5)   „…Bei Verwendung von 2 t Dünger sinkt der Ertrag […] auf Null ab…“

 

Diese Bedingungen lassen sich als Gleichungen schreiben. Achten Sie dabei darauf, wann von f und wann von die Rede ist!          


                                                                    

                                                           Hilfskarte 3


Aufgrund des Aufgabentextes ergeben sich folgende 5 Gleichungen:


                     (1)  f '(0) = 0
                     (2)  f (0) = 4
                     (3)  f (1) = 12
                     (4)  f '(1) = 0
                     (5)  f (2) = 0

                                                                       Wobei  lautet!


            Aus den fünf Gleichungen gewinnt man ein LGS mit fünf Unbekannten.


                                                            Hilfskarte 4

             Das LGS lautet:


(1)   d = 0                               Tipp: diese Ergebnisse in die Gleichungen

(2)   e = 4                                         (3), (4) und (5) einsetzen!

(3)   a + b + c + d + e = 12

(4)   4a + 3b + 2c + d = 0

(5)   16a + 8b + 4c +2d + e = 0


.....

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            Ergebnis:  


Schwierigkeiten-Tipps-Karte:

Gruppe A: Graphen/Tabellen – Aufgaben


               Schwierigkeiten

            Tipps

























Schwierigkeiten-Tipps-Karte:

Gruppe B: reine Textaufgaben


               Schwierigkeiten

            Tipps
























Schwierigkeiten-Tipps-Karte:

Gruppe C: Koordinatensystem anlegen


               Schwierigkeiten

       .....

























Quellen & Links

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