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Unterrichtsplanung
Mathematik

Universität Hildesheim

2011

Sandra B. ©
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ID# 14732







Unterrichtsmaterialien mit Bezug zu Christian Wolff



Inhaltsverzeichnis


Vorbemerkung 1

Aufgaben . 1

Algebra 1

Trigonometrie 3

Geometrie . 4

Rechen-Kunst . 5

Schlussbemerkung 5

Quellen 5



Vorbemerkung

Ergänzend zur Betrachtung der Bedeutung der Mathematik und des Mathematikunterrichts Christian Wolffs im Vergleich zum heutigen Kerncurriculum[1] soll hier nun ein mathematisch-fachwissenschaftlicher Bezug geschaffen werden.

Dazu werden beispielhaft nach Bereichen[2] geordnet einige Aufgaben aus Christian Wolffs Werk „Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften“ ausgewählt, deren Einsatz im Unterricht sich auch anhand des heutigen Kerncurriculums begründen ließe.

Die Aufgaben werden dann jeweils zusammen mit ihrer Lösung (die in vielen Fällen zum Verständnis der Aufgabenstellung notwendig ist) zunächst im Original wiedergegeben, ggf. mit einer „modernen“ Übersetzung versehen und dann fachlich in Bezug zum heutigen KC gesetzt. Die Betrachtung schließt jeweils mit der Einordnung der Aufgabe in eine bestimme Jahrgangsstufe.

Der besseren Übersicht halber wird bei den Bezugnahmen auf das KC auf genaue Seitenangaben verzichtet, jedoch finden sich sofern nicht anders vermerkt alle angeführten Punkte in den Ausführungen zum inhaltsbezogenen Kompetenzbereich, S. 26-35 (die anderen Kompetenzbereiche wurden bereits in der Hausarbeit angeführt).

Aufgaben

Algebra

Die 1. Aufgabe.

Einerley Grösse mit einerley und verschiedenen Zeichen zu addiren.

Auflösung.

1. Wenn sie einerley Zeichen haben, so zählet sie wie in der Rechenkunst zusammen.

2. Sind aber die Zeichen verschieden, so ziehet von der grösseren die kleinere ab, und setzet zu dem, was überbleibet, das Zeichen der grösseren.

Exempel

Die Aufgabe zielt darauf ab, vorbereitend auf das Lösen von Gleichungssystemen das Addieren von Gleichungen zu lernen. Im konkreten Fall handelt es sich jedoch noch um die reine Addition einiger verschiedener Größen oder z.B. Mengen die zwei verschiedene Personen von etwas besitzen.

Der Fall, dass „Größen mit einerley Zeichen“ addiert werden sei hier vernachlässigt (normale Addition) Mögliche Formulierung in modernerer Sprache wäre daher z.B.


„Kristin besitzt einen Hund, zwei Hamster und ein Meerschweinchen, Markus hat keinen

Hund, einen Hamster und drei Meerschweinchen. Wieviele Tiere welcher Art besitzen die beiden insgesamt ?“


Dies wäre vom Schwierigkeitsgrad her eine sehr einfache Aufgabe, wie sie eher Grundschulniveau eintsprechen würde. Mögliche Formulierung für die Realschule:


„Addiere die beiden Gleichungen a+2b-3c-5d=12 und 3a-2b+6c+2d=-4“


Hier wird die Aufgabe nur insofern abgeändert, als aus den beiden einzelnen Zeilen zwei Gleichungen werden. Probleme der Lösbarkeit werden erst einmal ausgeblendet, da es Wolff lediglich um das Erlernen der Rechenschritte geht. Im KC finden sich etliche Ansatzpunkte für den Einsatz einer solchen Aufgabe.


Schülerinnen und Schüler Ende Klasse 6:

ñ     lösen einfache lineare Gleichungen durch Probieren und Rückwärtsarbeiten

ñ     erkennen und verwenden Variablen als Platzhalter für bestimmte Zahlen und Zahlenmengen

ñ     beurteilen, ob die gestellten Fragen mit Hilfe der gesammelten und ausgewerteten Daten beantwortet werden können


Ende Klasse 10:

ñ     verwenden lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen zur Darstellung von Problemen

ñ     lösen lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen durch Probieren, grafisch und algebraisch und untersuchen die Anzahl der Lösungen

ñ     stellen Zusammenhänge durch Gleichungssysteme dar


Diese Aufgabe ließe sich also z.B. als Einführung in das Rechnen mit linearen Gleichungssysteme einsetzen. Auf einfacher Ebene (erstes Aufgabenbeispiel) ließe sich das so schon in der 6. Klasse oder früher durchführen. Das zweite Beispiel macht aufgrund der höheren Komplexität in der 10. Klasse Sinn, dann möglicherweise auch verknüpft mit der Frage nach der Lösbarkeit des Gleichungssystems.


Trigonometrie

Die 1. Aufgabe.

32. Eine Höhe AB (z. E. eines Thurms)

zu messen, zu der man aus einem angenommenen Stande E kommen kan.

Auflösung.

2. So wisset ihr auch den Winkel A, weil bey C ein rechter Winkel ist (§. 75. Geom.).

3. Suchet alsdenn die Linie AC (§. 20.), und

4. addiret dazu die Höhe des Instruments DE (= BC, weil die Linien CD und BE parallel, und CB und ED auf BE perpendicular sind); so kommet die Höhe AB heraus. Wäre aber BE nicht horizontal; so müste man das Stücke BC besonders messen. (§. 171. Geom.).


Diese Aufgabe bedient sich der Trigonometrie um die Höhe eines Gebäudes zu messen und ist ein gutes Beispiel dafür, dass Wolff stets versucht hat, seine Mathematik möglichst praxisnah und anschaulich zu gestalten.

Mögliche Aufgabenstellung in modernerer Fassung:

„Überlege dir (anhand der nebenstehenden Skizze) eine Möglichkeit, die Höhe unseres Schulgebäudes zu messen. Schreibe eine Anleitung für dieses Verfahren und probier es mit einigen Mitschülern gemeinsam aus.“

ñ     stellen reelle Zahlen durch Wurzeln und sachangemessen gerundet dar

ñ     rechnen mit reellen Zahlen in geometrischen Zusammenhängen

ñ     berechnen Streckenlängen mit dem Satz des Pythagoras und Ähnlichkeitsbeziehungen

ñ     berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mit trigonometrischen Beziehungen

ñ     lösen geometrische Probleme konstruktiv (Satz des Thales, Strahlensätze, Satz des Pythagoras)


Diese Aufgabe ist sicher gut geeignet, um nach erfolgter Einführung in die Trigonometrie und das Konstruieren und Berechnen von Dreiecksgrößen ein praktisches Anwendungsproblem zu zeigen. Das Schreiben der Anleitung fördert das analytische Denken und das Schaffen klarer Strukturen in der gefundenen Lösung.

Geometrie

Die 5. Aufgabe.

54. Aus zwey gegebenen Linien AB und BC einen gleichschenkelichten Triangel zu machen.

Auflösung.

1. Setzet an das Ende A der einen Linie AB, welche die Grund-Linie des Triangels geben soll, den Cirkel, und beschreibet mit der Eröffnung nach der Länge der andern gegebenen Linie einen Bogen.

2. Mit eben dieser Eröffnung beschreibet aus B einen andern Bogen, der den ersten in C durchschneidet.

[82] 3. Ziehet aus C in A und B gerade Linien; so ist der begehrte Triangel fertig.


Eine klassische Geometrieaufgabe, die durch leichte Abwandlungen in der Aufgabenstellung in mehr oder weniger geöffneter Form gestellt werden kann. Mögliche modernere Formulierungen mit unterschiedlichem Grad der Offenheit:


„Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem genau eine Seite die Länge 5cm hat.“

„Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 5cm und 9cm.“


Oder etwas abgewandelt:


„Wieviele gleichschenklige Dreiecke gibt es bei denen je mindestens eine Seite die Länge 5cm und mindestens eine die Länge 9cm (2cm) hat ?
Bonusaufgabe: Was muss erfüllt sein, damit es mehr als eine Möglichkeit gibt ?“


Bezug zum KC, Ende Klasse 6:

ñ     bestimmen die Anzahl an Möglichkeiten durch systematische Überlegungen (Kombinatorik)

ñ     unterscheiden Längen, Flächeninhalte und Volumina

ñ     führen Längen- und Winkelmessungen durch

ñ     erkennen und benennen Eigenschaften einfacher ebener Figuren (Rechteck, Quadrat, Dreieck, Kreis)

ñ     konstruieren achsensymmetrische Figuren und setzen Muster fort

Ende Klasse 8:

ñ     konstruieren geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware


Diese Aufgabe kann je nachdem in welcher Formulierung sie gestellt wird zwischen Klasse 6 und 8 gestellt werden. Einfache Konstruktionen mit Lineal und Geodreieck sind in Klasse 6 durchaus leistbar. Insbesondere die abgewandelte Aufgabe mit der Bonusaufgabe ließe sich sehr gut für die Lösung mittels dynamischer Geometriesoftware einsetzen.

Gerade der zusammenhang der Seitenlängenverhältnisse mit der Anzahl der möglichen Dreiecke ließe sich so veranschaulichen.


Rechen-Kunst

Die 10. Aufgabe.

Auflösung.

1. Bringet die Brüche unter Eine Benennung (§. 65.), wenn sie verschiedene Nenner haben.

2. Subtrahiret den Zähler des einen von dem Zähler des andern, und lasset den Nenner unverändert.

Z. E.


Klassische Bruchrechenaufgabe. Subtraktion eines Bruches von einem anderen. Mögliche Formulierungen für den heutigen Schulunterricht:

„Beschreibe wie man einen Bruch von einem anderen subtrahiert.“

„Eine Torte, die vom Geburtstag übrig ist, ist schon zu einem Drittel aufgegessen. Nun wird
nochmals ein Stück abgeschnitten, dass
der Größe der ursprünglichen Torte hat. Wieviel ist danach noch von der ursprünglichen Torte übrig ? Ist es noch mehr oder weniger, als ein Viertel ?“

ñ     erläutern die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die Bruchzahlen anhand von Beispielen

ñ     benennen Handlungen, die Bruchzahlen erzeugen

ñ     verwenden verschiedene Darstellungen von Bruchzahlen und beziehen sie aufeinander

ñ     wenden die vier Grundrechenarten auf Brüche mit überschaubaren Nennern in Sachsituationen an


Schlussbemerkung

Wie hier beispielhaft gezeigt wurde, sind viele von Christian Wolffs Aufgaben auch im heutigen Mathematikunterricht der Realschule noch ohne große Änderungen einsetzbar. Auf der einen Seite ist dies nur wenig verwunderlich, sind doch die Grundlagen der Mathematik, die er hier behandelt seit dem 18. Jahrhundert keinen großen Veränderungen unterlegen.

Umsomehr fällt die Art auf, auf die Wolffs Aufgaben gestellt sind. Fast alle seiner Aufgaben sind auf sehr offene Art gestellt, stets mit dem Ziel, nicht nur diese spezielle Aufgabe zu lösen, sondern daraus auch gleich eine allgemeine Regel für diesen Typ von Problem abzuleiten.

Statt einfach zwei Brüche voneinander abzuziehen, zielt beispielsweise die letzzte vorgestelle Aufgabe darauf ab, ein allgemeines Verfahren zu entdecken, wie man generell die Subtraktion von Brüchen zu bewerkstelligen hat.

Hier werden also zum einen offene Aufgaben gestellt, wie sie in letzter Zeit gerade wieder in den Fokus der Mathematikdidaktik gekommen sind. Zum anderen legt Wolff jedoch viel Wert auf die explizite Ergebnissicherung der neu gelernten Verfahren, was an seinen Lösungsformulierungen deutlich wird.

ñ     Auszug aus den Anfangsgründen aller mathematischen Wissenschaften, online verfügbar über Zugriff am 30.09.2011

ñ     Niedersächsischens Kultusministerium - Kerncurriculum für die Realschule Schuljahrgänge 5-10, Online verfügbar über Zugriff am 01.10.2011




[1] Im Folgenden „KC“ abgekürzt

[2] Die Bereiche sind benannt nach den Kapiteln der Anfangsgründe, in denen die jeweils präsentierten Aufgaben zu finden sind. Das Original bietet leider keinerlei Seitenzahlen zur genaueren Orientierung.


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