<
>
Download

Fachbereichsarbeit
Mathematik

Mallinckrodt Gymnasium Dortmund

4+,Küsgen,2017

Sandra A. ©
8.50

1.06 Mb
sternsternsternsternstern_0.2
ID# 71834







Theorie der Linearen Gleichungssysteme im Hinblick auf ihren Unterrichtsbezug

Inhaltsverzeichnis

1.      Motivation zum Thema. 7

2.      Was sind lineare Gleichungssysteme?. 7

2.1        Vom linearen Gleichungssystem über die Matrix/  Vektormultiplikation hin zur vereinfachten Koeffizientenmatrix. 7

2.1.1          Die allgemeine Form des linearen Gleichungssystems:7

2.1.2          Zerlegung in die Koeffizientenmatrix, den Lösungsvektor und den Ergebnisvektor. 7

2.1.3          Weitere Vereinfachung der Schreibweise: Die vereinfachte Koeffizientenmatrix. 8

2.2.       Bekannte mathematische Fragestellungen, die das Aufstellen  eines linearen Gleichungssystems erfordern. 8

3.      Bezeichnungen von linearen Gleichungssystemen. 10

3.1.       Ein homogenes lineares Gleichungssystem . 10

3.2.       Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem . 10

3.3.       Ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem . 10

3.4.       Ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem . 10

4.      Definitionen für die Zeilenstufenform . 11

4.1.       Nullzeile. 11

4.2.       Nichtnullzeile. 11

4.3.       Zeilenführer. 11

4.4.       Zeilenstufenform . 11

4.5.       Normierte Zeilenstufenform . 11

5.      Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme. 12

5.1.       Rang einer Matrix. 12

5.2.       Anzahl der Lösungen. 12

5.2.1.         Keine Lösung. 12

5.2.2.         Eindeutige Lösung. 13

5.2.3.         Unendlich viele Lösungen. 13

5.2.4.         Triviale Lösung. 13

5.2.5.         Überleitung zum Gauß Algorithmus. 14

6.      Theorie des Gauß Algorithmus (Gaußsches  Eliminationsverfahren)14

6.1.       Der Entdecker Johann Carl Friedrich Gauß. 14

6.2.       Algorithmus. 14

6.2.1.         Einzelvorschriften des Gaußalgorithmus. 14

6.2        Durchführung des Gaußalgorithmus mit seinen  Handlungsvorschriften an einem Beispiel16

6.3.       Erweiterung zum Gauß Jordan Algorithmus (von der Stufenform zur  Einheitsmatrix)19

6.3.1.         Weiterbearbeitung am oben gewählten Beispiel19

7.      Cramersche Regel21

7.1.       Der Entdecker. 21

7.2        Determinanten. 21

7.2.1.         Berechnung von Determinanten. 21

7.3.       Anwendung der Cramerschen Regel mit Hilfe eines Beispiels. 22

8.      Lösen von linearen Gleichunssystemen mit Hilfe des Casio fx  9860II23

8.1        EQUA-Menü. 23

9.      Fazit. 26

10.        Literaturverzeichnis. 27

11.        Erklärung. 29

1.        Motivation zum Thema

Meine Facharbeit schreibe ich in dem Fach Mathematik, da Mathematik einer meiner Leistungskurse ist. Dazu wird mir mit der Facharbeit die Chance geboten, meine Note zu verbessern, da diese eine Klausur ersetzt. Außerdem ist lineare Gleichungssysteme ein sinnvolles Thema, da bei diesem Thema eine große Schwierigkeit bei den meisten Schüler/innen besteht.

2.        Was sind lineare Gleichungssysteme?

Definition: "Ein
lineares Gleichungssystem
ist eine Menge linearer
Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen." Bei einer linearen Gleichung stehen alle Unbekannten in der ersten Potenz.

(


2.1      Vom linearen Gleichungssystem über die Matrix/             Vektormultiplikation hin zur vereinfachten Koeffizientenmatrix

2.1.1     Die allgemeine Form des linearen Gleichungssystems:



Abb.1 Darstellung lineares Gleichungssystem in allgemeine r Form            Quelle:

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten , . . . , . Die Faktoren werden Koeffizienten des linearen Gleichungssystems genannt. Ihre Indizes geben an, in welcher Zeile und vor welcher Unbekannten (bzw. in welcher Spalte) sie stehen. (Bsp.:  ist der Faktor, der in der dritten Zeile vor der fünften Unbekannten bzw. in der fünften Spalte steht) Die Elemente … geben das Ergebnis der  entsprechenden Zeile an.


2.1.2     Zerlegung in die Koeffizientenmatrix, den Lösungsvektor und den Ergebnisvektor

Wir schreiben nun alle Koeffizienten in die Koeffizientenmatrix A, die Unbekannten in den Lösungsvektor x und die Ergebnisse in den Ergebnisvektor b. Wir stellen nun mit Hilfe dieser Matrix A, des Vektors x und des Vektors b das lineare Gleichungssystem als Matrix/Vektorprodukt dar.




Abb.2 Darstellung lineares Gleichungssystem Matrix-Vektor-Schreibweise Quelle:

Da die Matrix/ Vektormultiplikation vorsieht jeden Koeffizienten aus jeder Zeile mit jedem Element aus dem Vektor zu multiplizieren und aus den Produkten die Summen zu bilden, stellt das Produkt  das gleiche, wie das lineare Gleichungssystem dar.


2.1.3     Weitere Vereinfachung der Schreibweise: Die vereinfachte Koeffizientenmatrix

Da im linearen Gleichungssystem und bei der Matrix/ Vektormultiplikation jeder Koeffizient in der gleichen Spalte auch immer mit der gleichen Unbekannten multipliziert wird, hat man sich darauf geeinigt, den Vektor x beim Aufschreiben wegzulassen und den Vektor b durch einen Strich abgetrennt, mit als letzte Spalte in die Koeffizientenmatrix zu schreiben.

Diese Schreibweise wird vereinfachte Koeffizientenmatrix genannt.

Abb.3 Darstellung lineares Gleichungssystem erweiterte Koeffizientenmatrix     Quelle:


2.2.    Bekannte mathematische Fragestellungen, die das Aufstellen             eines linearen Gleichungssystems erfordern

Erstmals kam ich mit dem Aufstellen linearer Gleichungssystem in Berührung, als die Schnittpunkte von Geraden berechnet wurden. Es musste ein Punkt gefunden werden, der sowohl die erste, als auch die zweite Geradengleichung erfüllt. Dieses wurde damals aber meist mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.

Schnittpunkte zwischen einer Geraden und einer Parabel kann man nicht mit einem linearen Gleichungssystem lösen, da die Parabelgleichung eben nicht linear ist. Danach musste ich bei dem Thema Steckbriefaufgaben wieder lineare Gleichungssysteme aufstellen. Da es hier um das Berechnen der Koeffizienten ging und diese alle linear waren, konnte man hier auf lineare Gleichungssysteme zurückgreifen, auch wenn es um Funktionen mit höheren Potenzen als 1 gab.

Die Potenzen bezogen sich ja hier auf die Variablen, die bekannt und somit berechenbar waren.

Da das Thema Steckbriefaufgaben ein Oberstufenthema ist, zeige ich am Beispiel einer Steckbriefaufgabe, wie man ein lineares Gleichungssystem aus gegebenen Informationen aufstellt. Hier ein Beispiel aus dem Unterricht:

Ein Baum produziert bei Sonnenlicht durch Photosynthese Sauerstoff. Zur Mittagszeit, etwa sechseinhalb Stunden nach Sonnenaufgang, ist die Produktionsrate mit ca. 133  am größten. Insgesamt produziert der Baum im Verlauf von 12 Stunden 1152l Sauerstoff. Bestimmen Sie eine Funktion, mit der sich die Gesamtsauerstoffproduktion des Baumes in Abhängigkeit von der Zeit seit Sonnenaufgang berechnen lässt.

Gegeben:

12h → 1152 l Sauerstoff

nach 6 h am höchsten → 133

f : t → Menge (Volumen)

 

 

                       f'' beschreibt die Produktionsrate

 

Allgemeine Funktionsvorschrift für ganzrationale Funktionen 3. Grades, sowie die erste und zweite Ableitung.

 

 

 


3.        Bezeichnungen von linearen Gleichungssystemen

3.1.     Ein homogenes lineares Gleichungssystem

liegt vor, wenn kein Element des Vektors b von Null verschieden ist.


3.2.     Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem

liegt vor, wenn eins, oder mehrere Elemente von Null verschieden sind.


3.3.     Ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

liegt vor, wenn das Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte hat. (m<n)


3.4.     Ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem

liegt vor, wenn das Gleichungssystem mehr Gleichungen als Unbekannte hat. (m>n)


4.        Definitionen für die Zeilenstufenform

4.1.     Nullzeile

Eine Nullzeile liegt vor, wenn jedes Element in einer Zeile einer Matrix Null ist.


4.2.     Nichtnullzeile

Eine Nichtnullzeile liegt vor, sobald ein Element in einer Zeile einer Matrix von Null verschieden ist.


4.3.     Zeilenführer

Der Zeilenführer ist das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile einer Matrix.


4.4.     Zeilenstufenform

Eine Matrix befindet sich in der Zeilenstufenform, wenn alle Nullzeilen der Matrix unterhalb der Nichtnullzeilen stehen und die Zeilenführer von Zeile zu Zeile immer eine Spalte weiter nach rechts rücken. Somit kann in jeder Spalte nur ein Zeilenführer vorhanden sein.



5.        Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

Unter dem Rang einer Matrix versteht man

Die Größe der Lösungsmenge, also die Anzahl der Lösungen für ein Gleichungssystem lässt sich relativ einfach in der letzten Zeile der vereinfachten Koeffizientenmatrix ablesen, wenn diese in die Zeilenstufenform überführt wurde.

Abb.4 Darstellung lineares Gleichungssystem erweiterte Koeffizientenmatrix in Dreiecksform          Quelle:


5.1.     Rang einer Matrix

Unter dem Rang einer Matrix versteht man die Anzahl der Zeilen, die Elemente haben, die von Null verschieden sind. Man schreibt es:   Bsp.:  rang(A)= 5


5.2.     Anzahl der Lösungen    

5.2.1.    Keine Lösung

Ist das Element  in der letzten Zeile auch gleich null,  aber von Null verschieden, besitzt diese Zeile und somit das komplette lineare Gleichungssystem keine Lösung. Man nennt diese Lösung auch entartet, da diese Gleichung nicht zu erfüllen ist.

Erklärung durch den Vergleich des Ranges der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Da  gleich Null ist, hat die Koeffizientenmatrix einen Rang von m-1. Da  aber ungleich Null ist, hat die erweiterte Koeffizienttenmatrix eine Zeile, in der nicht alle Elemente Null sind, mehr, nämlich m. Somit ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix auch m.

Wenn gilt: rang(A)≠rang() hat ein Gleichungssystem keine Lösung.

5.2.2.    Eindeutige Lösung

Ist das Element  von Null verschieden, hat die Gleichung in der letzten Zeile eine eindeutige Lösung und somit hat auch das gesamte lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.

Erklärung durch den Vergleich des Ranges der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Da  von Null verschieden ist, haben Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix den gleichen Rang, nämlich m.

Wenn gilt: rang(A)=rang()=n, stimmen nicht nur die Ränge überein, sondern die Ränge sind auch noch gleich der Anzahl der Unbekannten. Es gibt eine eindeutige Lösung.


5.2.3.    Unendlich viele Lösungen

Befindet sich nach der Überführung in die Zeilenstufenform doch noch ein weiteres Element neben  in der letzten Zeile, so gibt es unendlich viele Lösungen für das lineare Gleichungssystem. Dieses setzt aber voraus, dass es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. Dieses ist aber nicht schon sofort erkennbar, wenn man die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten vergleicht.

Ist nämlich die Gleichung in einer Zeile ein Vielfaches einer Gleichung in einer anderen Zeile, würde uns diese Zeile keine weiteren Informationen zum Lösen der Gleichung bringen und man könnte diese zwei Zeilen als „gleich“ bezeichnen. Gleich wären sie natürlich nicht, da sie unterschiedliche Koeffizienten und Ergebnisse haben. Man spricht hier deswegen von linear abhängig.

Erklärung durch den Vergleich des Ranges der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Da ein weiteres Element neben amn ungleich Null ist, müssen Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix den gleichen Rang haben. Wenn gilt: rang(A)=rang()≠n, stimmen nur die Ränge der Matrizen überein, der Rang ist aber nicht gleich der Anzahl der Unbekannten. Es gibt unendlich viele Lösungen.



5.2.5.    Überleitung zum Gauß Algorithmus

Wie man erkennen kann ist es wichtig, in der Lage zu sein, die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Stufenform zu bringen, um zu erfahren, wie groß eine Lösungsmenge ist, oder wie diese Lösungen dann tatsächlich aussehen,. Um diese zu bewerkstelligen, gibt es diverse Verfahren, von denen ich mir den Gauß Algorithmus und dessen Erweiterung, den Gauß- Jordan Algorithmus ausgesucht habe.

Da es auch noch andere Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen gibt als es in die Stufenform zu bringen, werde ich auch noch kurz die Cramersche Regel vorstellen.


6.        Theorie des Gauß Algorithmus (Gaußsches             Eliminationsverfahren)

6.1.     Der Entdecker Johann Carl Friedrich Gauß

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten lineare Algebra und Numerik. Es verdankt seinen Namen seinem EntdeckerJohann Carl Friedrich Gauß, einem der bedeutendsten deutschen Mathematiker. Gauß, am 30.04.1777 in Braunschweig geboren, entwickelte bereits im Alter von 18 Jahren die Grundlagen der modernen Ausgleichsrechnung und die Methode der kleinsten Quadrate.

Diese und unzählige weitere mathematische Entwicklungen brachten ihm schon zu Lebzeiten den Titel „Princeps Mathematicorum“ („Fürst der Mathematiker“) ein. Wie dieser Titel zeigt, war das Ansehen Gauß schon zu Lebzeiten sehr hoch, doch die wahre Tragweite seines Schaffens wurde erst bekannt, als lange nach seinem Tode, am 23.02.1855, im Jahr 1898, seine Tagebücher entdeckt und ausgewertet wurden.


6.2.     Algorithmus

Unter einem Algorithmus versteht man eine eindeutig definierte Handlungsvorschrift zum Lösen eines Problems. Diese Handlungsvorschrift ist in Einzelvorschriften unterteilt.


6.2.1.    Einzelvorschriften des Gaußalgorithmus

Ziel des Gaußalgorithmus ist es durch elementare Umformungen ein Gleichungssystem in die Stufenform zu bringen. Diese elementaren Umformungen verändern zwar das Aussehen des Gleichungssystems, nicht aber seine Lösungsmenge. Diese elementaren Umformungen stellen die Einzelvorschriften des Gaußalgorithmus da und sind:


6.2.1.1. Äquivalenzumformung

Man kann jede einzelne Gleichung eines linearen Gleichungssystems durch Äquivalenzumformungen so sortieren, dass alle Unbekannten mit ihren Koeffizienten auf der einen Seite und Zahlen, die keine Koeffizienten einer Unbekannten sind, auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen. Da bei Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche getan wird, verändert dies nicht die Lösungsmenge der einzelnen Gleichung und somit auch nicht die Lösungsmenge des linearen Gleichunssystems.


6.2.1.2  Vertauschen der Reihenfolge

Beim Vertauschen der Reihenfolge von einzelnen Gleichungen innerhalb des linearen Gleichungssystems wird das Aussehen des Gleichungssystems zwar verändert, dies hat aber keinerlei Einfluss auf die Lösungsmenge. Manchmal ist es zwingend notwendig, die Reihenfolge zu vertauschen. Wenn z.B. beim ersten Schritt der Koeffizient  eine Null ist, wäre es überhaupt nicht möglich, damit weiter zu rechnen und die ersten Koeffizienten der folgenden Zeilen zu Null zu machen.

Manchmal ist es aber nicht zwingend erforderlich die Zeilen zu vertauschen, sondern nur einfacher. Wenn z.B. in einer Zeile der Koeffizient in der ersten Spalte gleich eins ist, macht es Sinn, diese Zeile als Zeile I für die weiteren Rechnungen zu verwenden, da man dadurch ohne Brüche weiter rechnen kann, was die Rechnung vor allem im Kopf deutlich vereinfacht.


6.1.2.3. Addieren einzelner Gleichungen bzw. Vielfache der Gleichungen

Wie schon bei den Äquivalenzumformungen erwähnt, führen Multiplikationen mit einem Skalar aus der Menge der reellen Zahlen, der ungleich Null ist, zu keinen Veränderungen der Lösungsmenge. Durch Multiplikation mit verschiedenen Zahlen einer Gleichung kann man erreichen, dass der Zeilenführer einer jeden Zeile den negativen Wert der Koeffizienten in der Spalte unter ihm annimmt.

Addiert man nun die erweiterte Gleichung mit den darunter stehenden Gleichungen, werden alle Koeffizienten unter dem Zeilenführer der erweiterten Gleichung in der entsprechenden Spalte zu Null. Führt man diese Prozedere danach mit allen folgenden Gleichungen durch, überführt man das lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform, um es dann lösen zu können.


Abb.5 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem umgestellt, um alle Handlungsvorschriften durchführen zu können      Quelle: Lambacher Schweizer  Analytische Geometrie, S.10   selbst geschrieben

Um das lineare Gleichungssystem zu sortieren, müssen Äquivalenzumformungen an den Gleichungen I bis III vorgenommen werden. Sie sind der Art, das ganze Terme bestehend aus Koeffizient und Unbekannter auf die linke und Zahlen, die nicht Koeffizient einer Unbekannten sind, auf der rechten Seite der Gleichheitszeichen stehen.

Es handelt sich hierbei um Additionen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens, was keine Veränderung der Lösungsmenge nach sich zieht. Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.6 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Es fällt auf, dass in der ersten Zeile kein  vorkommt, bzw. der Koeffizient vor dieser Unbekannten gleich Null ist. Da man nun nicht mehr weiter rechnen könnte, muss eine Vertauschung der Zeilen vorgenommen werden. Zum Tauschen kämen nur die Zeilen II und IV in Frage, da Zeile II auch nicht mit allen Unbekannten besetzt ist, dies aber für das Lösen des Gleichungssystems erforderlich ist.

Abb.7 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Die erste Zeile ist nun in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings benötigen wir sie, um in der Spalte unter ihrem Zeilenführer Nullen zu erzeugen. Man führt dazu folgende Rechenoperationen durch, die die Lösungsmenge nicht verändern und nummeriert die entstehenden Gleichungen mit römischen Ziffern fortlaufend durch.

-2I+II=V         und      -8I+III =VI                

Da in Gleichung IV schon kein mehr vorkommt, wird sie einfach abgeschrieben. Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.8 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Um in Gleichung V den Koeffizienten vor gleich eins zu bekommen, multipliziert man diese Gleichung mit -0,5. Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.9 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Die zweite Zeile, also Gleichung V ist nun auch in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings wird auch mit ihr weiter gerechnet, um in der Spalte 2 unter ihr Nullen zu erzeugen. Hierfür werden folgende Rechenoperationen durchgeführt:

Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.10 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Um in Gleichung VII den Koeffizienten vor gleich eins zu bekommen, multipliziert man diese Gleichung mit -0,25. Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.11 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Die dritte Zeile, also Gleichung VII ist nun auch in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings wird auch mit ihr weiter gerechnet, um in der Spalte 3 unter ihr die Null zu erzeugen. Hierfür werden folgende Rechenoperationen durchgeführt:

3VII+VIII=IX

Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.12 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Hiermit ist das Gaußsche Eliminationsverfahren im Prinzip beendet. Das Lösen des Gleichungssystems erfolgt über die Rückwärtseinsetzung der gelösten Unbekannten in die darüber liegenden Gleichungen.

             

In VIII eingesetzt      

                                      =  120

In V eingesetzt               /-240

                                    = -127

In I eingesetzt              /226

                                    = 50

6.3.     Erweiterung zum Gauß Jordan Algorithmus (von der Stufenform zur             Einheitsmatrix)

Der Gauß Jordan Algorithmus ist eine Erweiterung des Gaußschen Eliminationsverfahren. Er endet nicht damit das lineare Gleichungssystem in Stufenform gebracht zu haben, sondern geht noch einen Schritt weiter. Unter Berücksichtigung der gleichen Handlungsvorschriften wird die bereits vorhandene Stufenform noch einmal nach oben gerechnet, um auch hinter den jeweiligen Zeilenführern Nullen in den Gleichungen zu erzeugen.

Da alle Zeilenführer den Wert eins haben, formt man im Prinzip die Koeffizientenmatrix zur Einheitsmatrix um. Dies hat den Vorteil, dass die Lösungen automatisch im Vektor b ablesbar sind.


6.3.1.    Weiterbearbeitung am oben gewählten Beispiel

Abb.13 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Um in Gleichung IX den Koeffizienten vor gleich eins zu bekommen, multipliziert man diese Gleichung mit -0,25. Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Die vierte Zeile, also Gleichung IX ist nun auch in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings wird auch mit ihr weiter gerechnet, um in der Spalte 4 über ihr die Nullen zu erzeugen. Hierfür werden folgende Rechenoperationen durchgeführt:

-3∙IX+VIII =X -1∙IX+V= XI               -3∙IX+I=XII

Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.15 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Die dritte Zeile, also Gleichung X ist nun auch in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings wird auch mit ihr weiter gerechnet, um in der Spalte 3 über ihr die Nullen zu erzeugen. Hierfür werden folgende Rechenoperationen durchgeführt:

-2∙X+XI=XIII -4∙X+XII=XIV

Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.16 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Die zweite Zeile, also Gleichung XIII ist nun auch in dem Zustand, in dem sie nicht mehr verändert wird. Allerdings wird auch mit ihr weiter gerechnet, um in der Spalte 2 über ihr die Null zu erzeugen. Hierfür werden folgende Rechenoperationen durchgeführt:

Das Gleichungssystem sieht nun folgendermaßen aus:

Abb.17 Darstellung eines Beispiels für ein lineares Gleichungssystem bearbeitet   Quelle: siehe Abb.5

Wie man sehen kann befinden sich jetzt in der Koeffizientenmatrix in der Diagonalen ausschließlich Einsen, alle anderen Koeffizienten sind Null. Eine Matrix dieser Form wird Einheitsmatrix genannt.


7.        Cramersche Regel

7.1.     Der Entdecker

Die Cramersche Regel, oder Determinatenmethode ist eine weitere Methode, oder besser Formel, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Sie verdankt ihren Namen Gabriel Cramer, einem Schweizer Mathematiker, der am 31.07.1704 in Genf geboren wurde. Im Jahr 1750 veröffentlichte er das Buch „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques“.

In einem der Anhänge erscheint eine Formel zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die als Cramersche Regel bekannt wird. Wissenschaftler sind sich aber sicher, dass diese Formel schon früher von Gottfried Wilhelm Leibniz entdeckt und angewandt wurde.


7.2      Determinanten

Eine Determinante ist eine Zahl, die einer Matrix zugeordnet wird.



Abb.18 Darstellung der Schreibweise einer Determinaten   Quelle: /insensitive/tutorial/en.lproj/matrix.html


7.2.1.    Berechnung von Determinanten

Grundsätzlich ist die Determinante von jeder Matrix jeglicher Größe zu berechnen. Hierfür gibt es verschiedene Methoden, z.B. die Regel von Sarrus für 3x3 Matrizen, oder der Entwicklungsansatz von Laplace, der Matrizen immer weiter verkleinert, um dadurch die Determinanten zu berechnen. Diese Methoden erfordern einen sehr großen Zeitaufwand, so dass die Berechnung wesentlich länger dauert als die Berechnung mit dem Eliminationsverfahren.

Die Cramersche Regel lässt sich auf 2x2 Matrizen anwenden und analog dazu auch auf größere Matrizen. Ich beschränke mich deswegen auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.     


7.2.1.1. Determinante einer 2x2 Matrix

Bei 2x2 Matrizen ist die Berechnung der Determinanten einfach die Differenz aus den Produkten der beiden Diagonalen.


Abb.19 Darstellung Berechnung der Determinaten   Quelle:


7.3.     Anwendung der Cramerschen Regel mit Hilfe eines Beispiels

 Gewähltes Beispiel in Matrix- Vektorschreibweise

∙=


| | | | |
Tausche dein Hausarbeiten

G 2 - Cached Page: Thursday 28th of March 2024 04:36:29 AM