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Specialised paper
Mathematics

University, School

Holzkamp-Gesamtschule, Witten

Grade, Teacher, Year

1-, Sander, 2014

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Text by Jean D. ©
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Also es wurde unglaubl­ich viel abgeschr­ieben ohne zu zitieren­. Das macht den Inhalt schwach,­ weil kaum Eigenlei­stung zu sehen ist. Ich bin maßlos verärge­rt, dass ich dafür 7 Euro bezahlt habe.

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Holzkamp-Gesamtschule Witten
Facharbeit im Fach Mathematik

Spieltheorie am Beispiel eines Strategiespiels

Der mathematische Hintergrund und ihre Bedeutung
für Wissenschaft und Gesellschaft


Inhalt

1. Vorwort

2. Einführung in die Spieltheorie

2.1 Was ist die Spieltheorie?

3. Grundgedanken zu Strategiespielen

3.1 Was ist eine Strategie?

3.2 Das Beispiel des Strategiespiels 'Conways Soldaten'

4. Die Bedeutung der Spieltheorie für die Wissenschaften

5. Entscheidungskonzepte der Spieltheorie & Bedeutung für die Gesellschaft

 5.1 System der Entscheidungskonzepte und deren mathematischer Hintergrund

5.2 Die Einbindung von Entscheidungskonzepten in das menschliche Handeln

6. Fazit   

7. Literaturverzeichnis 

8. Anhang   


1. Vorwort

Schon als kleines Kind habe ich mich oft mit Spielen aller Art beschäftigt und immer wieder viele neue Spiele ausprobiert. Angefangen von Murmelspielen über 'Schere, Stein und Papier' bis hin zu den neusten Spielkonsolen. Das Prinzip war für mich und meine Freunde sowie für die Menschen meiner Umgebung immer klar und der Spaßfaktor stand an erster Stelle.

Mit zunehmendem Alter wurde das Ziel zu gewinnen bedeutender. Ich begann nachzudenken, wie ich am besten und schnellsten meine Gegner besiegen kann. Die Denkweise eine Strategie zu entwickeln und die meiner Gegner zu analysieren bildete sich mit der Zeit. Dieses Prinzip ist ein Grundbaustein aller heutigen Erkenntnisse zur Entwicklung von Spielen. Nicht nur im Bereich der Spielindustrie, sondern in allen Bereichen des Lebens ist die Spieltheorie von entscheidender Bedeutung.

Es geht um das Prinzip einer Problemlösung. In allen Bereichen des Lebens treffen wir täglich auf einen Entscheidungskonflikt. Man denkt nach über die Fragen: welche Vorteile erziele ich mir durch diese Entscheidung? Was für Auswirkungen hat meine Entscheidung auf meine Umgebung und auf meine Mitmenschen? Ich möchte mich mit diesem Thema befassen, weil die Grundideen einer Problemlösung der Spieltheorie im Alltag immer auftauchen.

Dabei werde ich versuchen, eine Verbindung zwischen den mathematischen Grundprinzipien der Spieltheorie und dem Alltag des Menschen zu schaffen und ihre Rolle, Bedeutung und Auswirkung auf die Entscheidungen des Menschen darzustellen. Im folgenden werde ich die Grundprinzipien der Spieltheorie anhand eines Strategiespiels erklären. Dabei setze ich einen Schwerpunkt auf den mathematischen Hintergrund und ihre Bedeutung für die Wissenschaft und Gesellschaft.


2. Einführung in die Spieltheorie

2.1 Was ist die Spieltheorie?

Die Spieltheorie befasst sich mit Grundprinzipien der Sozialwissenschaften und Grundlagen von Entscheidungskonzepten durch mathematische Hintergründe. Der Begriff 'Spieltheorie' wird in vielen Bereichen der Mathematik und Gesellschaft genutzt und als Grundlage verschiedenster Konzepte und Systeme verwendet.

„Die Spieltheorie befasst sich mit Modellen strategischen Handelns in sozialen Interaktionen. Diese sind Grundlage aller Sozialwissenschaften wie Ökonomie, Soziologie, Sozialpsychologie, Politikwissenschaften bis hin zu Ethnologie und empirischer Rechtswissenschaften.“[1]

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Der Spieler kann auf die Eckpunkte der Quadrate in seiner Halbebene ( y≤0 ) beliebig Spielfiguren (Spielstein bzw. „Soldat“) platzieren, jedoch jeweils nur eine pro Eckpunkt. Die Spielfiguren können sich nur fortbewegen, indem sie sich gegenseitig entlang der Achsen überspringen. Dabei wird die jeweils übersprungene Figur aus dem Spielfeld entfernt.“[6]


  

Einige Anfangsschritte zum Spielprinzip: Wir platzieren eine Figur auf der Gerade y=0 und eine direkt darunter auf y=-1. Die zweite Figur kann nun die erste überspringen und landet auf den y-Wert 1. Damit wäre der erste Schritt zum Vordringen auf das gegnerische Spielfeld geschafft.

 Abbildung 1: Spielfeld des Strategiespiels 'Conways Soldaten'[7]     


Eine weitere Möglichkeit um auf das gegnerische Feld zu gelangen, benötigt man vier Spielfiguren. Diese platziert man auf dem y-Wert = 0. Dabei muss eine Figur auf den y-Wert = 1 gebracht werden. Nachdem eine Spielfigur die andere übersprungen hat, liegt sie auf dem y-Wert=1. Nun muss diese Spielfigur auch übersprungen werden, damit die Spielfigur auf den y-Wert = 2 gelangt.

Abbildung 2: Spielfeld des Strategiespiels 'Conways Soldaten'
[8]

Um einen höheren y-Wert zu erzielen, benötigt man immer mehr Spielfiguren und damit auch immer mehr Spielzüge. Um auf y = 3 zu gelangen benötigt man acht Spielfiguren und für y = .....

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Ein wesentlicher Aspekt war, dass in die individuellen Entscheidungen auch die unterschiedlichen Kenntnisse und Vorinformationen der einzelnen Beteiligten über die jeweilige Situation und über die Möglichkeiten des Kontrahenten einfließen. „Mit der seit 1944 bekannten Theorie werden strategische Probleme analysiert und optimale Lösungswege erarbeitet. Sie wird heute in den unterschiedlichsten Fachgebieten angewandt und liefert auch für Manager ein strategisches Rüstzeug.“[9] In der Praxis werden diese Gedankengänge und theoretische Anwendungsbereiche immer häufiger genutzt. „Elektronische Datenverarbeitung: Software, die menschliches Verhalten modelliert, kann Vorhersagen treffen, Konkurrenten überlisten und Verhandlungsverläufe gestalten.“[10] Durch diese entwickelte Software hat Bruce Bueno de Mesquita, Wissenschaftler an der New Yorker Universität, sehr wichtige politische und wirtschaftliche Ereignisse vorhersagen können.

Diese berechnen, wie sich Ereignisse entwickeln werden, da die Menschen und alle Arten von Organisationen und Parteien so handeln, dass es zu ihrem Besten ist. Für die Ziele, Motive, Einflüsse und anderen Faktoren werden Zahlenwerte eingesetzt. verschiedenen Spielern bieten.

Die Software betrachtet dann die Handlungsmöglichkeiten, die sich den verschiedenen Spielern bieten. Anschließend bestimmt sie, welche Vorgehensweise die Menschen wahrscheinlich wählen und bewertet schließlich ihre Fähigkeit, andere zu beeinflussen. Auf dieser Basis trifft die Software eine Vorhersage über den Gang der Ereignisse.

 

5. Entscheidungskonzepte der Spieltheorie und ihre

 Bedeutungen für die Gesellschaft

 „Die Spieltheorie ist ein Spezialgebiet der Entscheidungstheorie, nämlich die Theorie der Entscheidungen in Situationen mit strategischer Interdependenz.“[11]

 

5.1 System der Entscheidungskonzepte und deren mathematischer Hintergrund


In Entscheidungssituationen treffen Individuen ihre Entschlüsse nach bestimmten Regeln, die das Endergebnis für jeden einzelnen Mitspieler beeinflussen. Entscheidungskonzepte werden je nach verschiedenen Faktoren und Einflüssen entwickelt. Dabei spielt die persönliche Profitsteigerung eine wichtige Rolle. Das Ergebnis aber hängt nicht nur von den Entscheidungen des Individuums ab, sondern auch von dem Verhalten anderer Entscheider.

Konzepte und Lösungswege werden mathematisch mod.....

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Ein Beispiel für den zweiten Fall (Entfernung nimmt zu) im Ausschnitt zn zn+1 zn+2 wäre eine Besetzung von zn und zn+1, wobei die Figur von zn nach zn+2 springt. Nun ändert sich der Wert der Gesamtstellung um zn+2 – (zn + zn+1) = zn(z2 - 1 – z). Nach unserer Wahl von z ist aber z2= 1 – z, so dass zn(z2 - 1 – z)= zn(-2z) < 0 folgt, der Wert der Stellung nimmt also ab.

Der dritte Fall (Entfernung bleibt gleich) kann nur auftreten, wenn die Figur eine Achsenparallele durch den Zielpunk t überspringt, wie im Beispiel zn+1 z2 zn+1

vom linken zn+1 über zn zum rechten zn+1. Dabei ändert sich der Wert der Stellung um zn+1 – (zn+1 + zn) = zn (z – z – 1) = -zn < = 0 und ist somit erneut negativ. Zusammenfassend lässt sich sagen: Der Wert der Stellung bleibt entweder gleich oder nimmt ab, kann aber niemals zunehmen. Da der Zielpunkt selbst den Wert 1 hat, muss eine mögliche Stellung, die zum Erreichen des

Zielpunkts führt, mindestens den Gesamtwert 1 haben. 


Der Gesamtwert einer Anfangsstellung kann nach oben leicht abgeschätzt werden, indem alle verfügbaren Plätze der unteren Halbebene summiert werden. Da der Zielpunkt bei y = 5 liegt, hat der erste verfügbare Platz direkt unterhalb des Zielpunkts den Wert z5, und alle verfügbaren Plätze darunter insgesamt den Wert


 

[13]


ergeben, wobei die Formel für die geometrische Reihe benutzt wurde. Die beiden links und rechts benachbarten Spalten haben entsprechend jeweils

den Gesamtwert von , die übernächsten Spalten jeweils und so weiter. Der Gesamtwert der unteren Halbebene ergibt sich somit aus einer weiteren geometrischen Reihe, nämlich:

  [14]

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Ein gutes und bekanntes Beispiel für dieses Zusammenspiel der Faktoren ist das 'Gefangenendilemma'. Person X und Person Y sitzen in Untersuchungshaft und werden beschuldigt, einen Bankraub begangen zu haben. Sie sind in getrennten Zellen inhaftiert und können nicht miteinander kommunizieren. Beide werden nun von der Polizei verhört und haben die Möglichkeiten mit der Polizei zusammenzuarbeiten (zu reden) oder zu schweigen.

Reden beide, so werden sie wegen Bankraub zu zehn Jahren Haft verurteilt. Redet einer und der andere schweigt, wird der Redende freigesprochen und der Schweigende zu 15 Jahren Haft verurteilt. Schweigen beide, so hat die Polizei nicht genügend Beweismaterial und beide werden wegen illegalen Waffenbesitzes zu zwei Jahren Haft verurteilt.


 Person X

Person Y

schweigen

Reden

schweigen

(-2, -2)

15

reden

(0, -15)

(-10, - 10)


1. Fall: Person X schweigt. Schweigt Person Y, so wird er zwei Jahre inhaftiert. Redet Person X, wird er freigesprochen. Es ist für Person Y also besser, zu reden.


2. Fall: Person X redet. Schweigt Person Y, so wird sie15 Jahre inhaftiert. Redet er, wird er nur zehn Jahre inhaftiert. Es ist für Person Y also besser, zu reden. Dasselbe gilt analog für Person X. Aus diesem Grund werden beide reden und jeweils eine Haftstrafe von 10 Jahren verhängt bekommen. Hätten jedoch beide abgesprochen zu schweigen, wären sie nur zwei Jahre inhaftiert worden.

Die im Gefangenendilemma beschriebene Situationen tritt in der Gesellschaft häufig auf. Daher hat man den beiden Strategien feste Namen gegeben. Die Strategie, die für beide das beste wäre (schweigen), wird als "kooperieren" bezeichnet, die Strategie die beide aus Egoismus wählen (reden) als "defektieren".

Ziel der beiden Personen ist es, die Haftstrafe zu minimieren oder erst gar keine Strafe erst zu bekommen. Beide befinden sich in einem schwierigen Entscheidungskonflikt eine Taktik oder ein Entscheidungskonzept zu entwickeln, um bestmöglich für sich zu agieren und eine milde oder gar keine Strafe zu erhalten. Dabei ist stets zu beachten, wie die andere Person entscheiden wird, Person X und Y sind jeweils abhängig von der Ent.....

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Man kann durch diese Entwicklungen präzise Lösungswege in allen Bereichen der Wissenschaft und Gesellschaft entwickeln und Probleme, Ergebnisse und Ereignisse sogar vorhersagen.

Bevor ich mich mit diesem Thema befasst habe, war ich mir nicht im klaren, welche wichtige Rolle der Bereich der Spieltheorie für die Wissenschaft und die Gesellschaften spielt und welche wichtigen Ergebnisse und Entwicklungen dadurch ermöglicht werden. Durch die Auseinandersetzung mit dem Thema der Spieltheorie wurde mir die Verbindung zwischen den mathematischen Grundprinzipien der Spieltheorie und dem Alltag des Menschen deutlich.

Zudem sind mir ihre Rolle, Bedeutung und Auswirkung auf die Entscheidungen des Menschen sind für mich deutlich geworden und nicht mehr nur ein technologischer Grundkonzept der Spielindustrie.


7. L.....


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