Schallgeschwindigkeit in Gasen mit Frequenzsynthesizern
EinführungÂ
In diesen Versuch werden die Methoden der Spektroskopie verdeutlicht. Das Modell für Molekülresonanzen wird durch die Resonanzen in der Luftsäule und im Resonator-Glasrohr dargestellt. Hierbei ist die Beschreibung der Schallwellen und EM Wellen gleich.
Grundlagen
Das Oszilloskop, welches die zeitliche Veränderung einen elektrischen Signals graphisch darstellt, wird bei Amplitudenmessung einer Sinusfunktion verwendet.
Von einer Quelle ausgehend breitet sich ein Schallwellen als Welle in Raum aus. An jedem Ort des Feldes ist einen Intensität der Welle festgestellbar. Diese Intensität kann als eine Lautstärke von einem Mikrofon als elektrische Feldstärke gemessen werden.
Die häufigste Wellenform ist die sinusförmige Welle. Der Schall breitet sich in Gasen als Longitudinalwelle aus. Wird die Longitudinalwelle als sinusförmige Wechselspannung gemessen, so wird die Welle wie folgt beschreiben:
u(x,t)= u0 cos(ωt+kx−φ)
u0 gibt die Amplitude, ω die Kreisfrequenz, k dir Kreiswellenzahl, φ die Phase an. T (in Sekunden) die Schwingungsdauer und die Frequenz f in 1/s = Hz sind so verknüpft:
ω=2πf=2π/T
Der Zusammenhang zwischen Kreiswellenzahl und Wellenlänge λ :
k=2π/λ
Es gilt:                                                 v = ω/k = fλ = λ/T
v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und diese Parameter sind in der unteren sinusförmigen Welle veranschaulicht.
Stehende Wellen
Eine stehende Welle ensteht durch die Überlagerung zweier gegenläufigen Wellen, die mit gleicher Geschwindigkeit fortschreiten und die gleiche Frequenz und Amplitude haben. Aus den Überlagerung dieser Wellen folgt:
u(x,t) = u+ (x,t) + u- (x,t)
                                       = u0 cos(ωt−kx−φ) + u0 cos(ωt+kx−φ)
                  =2 u0 cos(kx) cos(ωt−φ∗)
Abb. Stehende Welle (hierbei ist y = u )
Diese Gleichung oszilliert mit der Kreisfrequenz ω, allerdings ist die Amplitude 2 u0 cos(kx) nicht mehr konstant sondern von der x-Koordinate abhängig und variiert mit cos(kx).
Bei kx = ±nπ mit n∈N0  hat die Amplitude ein Maximum. Und bei kx = ±(n+12)π hat die Welle einen Knotenpunkt. Die Differenz zwischen zwei gleich hohen Amplituden liegen also um kx = π auseinander.
Bei der stehenden Welle sind die benachbarten Knoten bzw. Maxima um die halbe Wellenlänge getrennt. Daraus folgt:       Â
Durch die Ãœberlagerung zweier harmonischer, rechtwinkelig zueinander stehender Schwingungen entstehen Kurvengraphen, die auch Lissajous Figuren genatnnt werden.
Die X-Achse des Oszilloskops wird von einer sinusförmigen Spannung abgelenkt.
Die Ablenkung der vertikalen Achse erfolgt ebenfalls von einem Sinussignal. Diese beiden Sinussignale sind synchron und bilden zusammen elliptische Figuren. Aus den elliptischen Figuren wird die Phasenverschiebung und die oberwellenhaltige Zusammenhänge ermittelt.
Eine diagonale Gerad als Lissajous Figur entsteht nur dann, wenn die Ablenkungen der horizontalen und der vertikalen Achse die gleicher Frequenz und Phasenlänge haben.
Mit sich verändernder Phasenlage zwischen den zwei Frequenzen, öffnet sich die Gerade und es erscheint eine Ellipse bei 45° und 135° Phasenunterschied. Bei 90° Phasenunterschied bildet sich ein Kreis.
Schallausbreiten
Durch die Einwirkung äußerer Kräfte werden die Atome oder Moleküle eines Stoffes aus der Gleichgewichtslage gebracht und daraus entstehen Schwingungen, die den Schall bilden.
Die Ausbreitung von Schall erfolgt in ausgedehnten Flüssigkeit und Gasen gleich, und zwar durch Longitudinalwellen. In Festkörpern und an Oberflächen von Flüssigkeiten erfolgt die Schallausbreiten sowohl als Longitudinalwellen als auch als Transversalwellen.
Die Schallgeschwindigkeit (v) eines idealen Gases wird durch diese Formel berechnet:
v2 = γRT/ M
T ist die Temperatur, M ist die Molmasse, R die Gaskonstante, γ ist die Kompressibilität
Â
Die Schallgeschwindigkeit der Luft beträgt im Idealfall:
 v2 = (1,4 *8,3145 J/mol K * 293,15 K ) / 0,02896 kg/mol
 v ~ 343 m/s
Experimenteller Aufbau und Durchführung
Aufbau
Durchführung
Die Schallgeschwindigkeit eines Schallrohrs, welches mit Luft gefüllt ist, soll zuerst durch die Methode der Phasendifferenz und anschließend durch die Methode der stehende Welle bestimmt werden.
Methode der Phasendifferenz
Mit dem Funktionsgenerator und dem Oszilloskop werden bei fünf verschiedenen Frequenzen die Wellenlänge der stehenden Welle durch die Gerade der Lissajous Figuren gemessen. Pro Frequenz werden 2 Positionen gemessen und um eine bessere Genauigkeit zu erzielen werden die 2 Positionen jeweils 5 mal überprüft.
Anschließend werden die Wellenlänge ( λ ) λ = 2Δx für jede Messung berechnet.
Die Wellenlänge λ wird gegen 1/f ausgetragen und mit der Steigung linearen Regression wird die schallgeschwindigkeit in der Luft ermittelt.
Methode der stehende Welle
Durch die Phasendifferenz, die vom Lautsprecher , wird bei dieser Methode die Wellenlange der stehenden Welle berechnet.
Die Spannung, die am Lautsprecher angelegt wird, ist:
Die Spannung, die vom mikrofon ausgeht, wird beschleunigt mit:
Diese beiden Spannungen u und u haben die gleiche Frequenz und werden am Oszilloskop gegeneinander aufgetragen, wodurch die Lissajous Figuren entstehen. Diese Lissajous Figuren verändern sich mit der Phasendifferenz.
Die Lissajous Figuren werden durch die änderung der Rohrlänge L und n*Lambda verursacht, hierbei verläuft die die Phasendifferenz periodisch mit der Wellenlänge. Die Phasendifferenz n* pi ist durch eine Gerade als Lissajous Figur am besten erkennbar. Bei der Messung wird in einer bestimmten Frequenz die Rohrlänge so variiert, dass eine Gerade als eine Lissajous Figur entsteht.
Aus der wird mit der Formel v = 2 delta x*f die Schallgeschwindigkeit berechnet.
Messergebnisse – Resultate
Methode der stehende Welle
Für 700 Hz:
Für 1000 Hz
Für 3000 Hz
Für 5000 Hz
Für 6000 Hz
Methode der stehende Welle:
Fehler Discussion
Bei der Methode der stehenden Welle soll der Abstand vom Lautsprecher bis zum Stempel gemessen werden. Da aber der Lautsprecher sich in einem Hülse befindet, wird die genaue Position des Lautsprechers nicht identifiziert.
Als alternative wird duch das Glasrohr geguckt um eine annähernde Position des Lautsprechers zu erreichen. Mit diesem Messfehler werden die Schallgeschindikeiten berechnet.