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Bericht
Physik

Universität, Schule

HTWG Konstanz - Hochschule für Technik, Wirtschaft und Gestaltung

Note, Lehrer, Jahr

2008

Autor / Copyright
Dominique E. ©
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Preis 5.25
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sternsternsternsternstern_0.25
ID# 1339







Physikalisches Pendel


Bestimmung von Massenträgheitsmomenten


20. November 2008

WS08/09


Inhalt


1Theorie. 1

1.1Aufgabenbeschreibung des Laborversuches. 1

1.2Theorie. 1

1.2.1Bestimmung des Massenträgheitsmoments. 1

1.2.2Der Steinersche Satz. 2

Herleitung des Satzes. 2

1.2.3Die Schwingungsdauer3

2Versuch. 4

2.1Versuchsaufbau. 4

2.2Beschreibung der Versuchsdurchführung. 5

2.3Messmittel und deren systematische Fehler5

2.4Messwerte. 5

2.4.1Masse und Länge. 5

2.4.2Messreihen. 6

3Auswertung. 6

3.1Auswertung der eigenen Messreihen. 6

3.1.1Werte aus Excel6

3.1.2Berechnung der Schwingungsdauer [T]6

3.1.3Berechnung des Massenträgheitsmomentes JA und JS. 7

3.2Fehlerrechnung. 7

3.2.1Fehlerfortpflanzung für JA. 7

3.2.2Fehlerfortpflanzung für JS. 8

3.2.3Fehlerauswertung. 8

3.3Darstellung der Messergebnisse (t,T,JA,JS)8

3.4Ergebnisse der anderen Gruppen. 9

4Erkenntnisse. 9

4.1Warum ist der Fehler der Zeit beim Hammer größer als bei der Felge?. 9

4.2Warum ist der Fehler des Meterstabes beim Tennisschläger größer als bei der Felge?10

4.3Welcher Fehler für die Zeit ist richtig?. 10

4.4Wie kann man den Fehler der Felge unter 10% bringen?. 10

4.5Wie kann man den Fehler beim Hammer unter 10% bringen?. 10

4.6Was sind Gewichtsfaktoren?. 11

4.7Differenz gleich großer Zahlen. 11

5Anhang. 12

1 Theorie

1.1 Aufgabenbeschreibung des Laborversuches

Es soll die Größe des Massenträgheitsmomentes eines Gegenstandes, welcher um seinen Schwerpunkt einer frei wählbaren Hauptachse pendelt, ermittelt werden. Außerdem soll noch eine Bewertung und Betrachtung der Messungen im Hinblick auf Verbesserungsmöglichkeiten gemacht werden


1.2 Theorie

  • Je höher das Massenträgheitsmoment, desto mehr Kraft wird benötigt den Körper in Drehung zu versetzten.
  • Schwere Körper mit gleicher Geometrie lassen sich schwerer in Drehung versetzen wie leichte
  • Kompakte Körper mir ähnlicher Masse lassen sich leichter in Drehung versetzen
  • Bei den meisten Körpern ist die Leichtigkeit der Drehung stark abhängig von der gewählten Drehachse
  • Je weiter die Drehachse vom Schwerpunkt weg ist desto schwerer die Drehung


1.2.1 Bestimmung des Massenträgheitsmoments

Das Massenträgheitsmoment lässt sich über ein Volumenintegral bei bekannter Symmetrie und Material des Körpers berechnen


m: Masse

I: Trägheitsmoment

r: Abstand der Drehachse zum Schwerpunkt


Durch messen der Winkelgeschwindigkeit und dem Moment eines in Drehung versetzten Körpers kann man experimentell das Massenträgheitsmoment über die Beziehung

bestimmen.


M Betrag des Momentes um den Körper in Drehung zu versetzen

aω Winkelbeschleunigung

JA Massenträgheitsmoment um die Drehachse A, J im Allgemeinen ist die Bezeichnung für das Massenträgheitsmoment


Gerade wenn sich die Winkelgeschwindigkeiten bei Drehbewegungen ändern treten Momente und Kräfte auf.


1.2.2 Der Steinersche Satz

Der Steinersche Satzbeschreibt das Trägheitsmoment eines Objektes bezüglich einer Rotationsachse Ra, die sich im Abstand a zu einer Schwerpunktachse R0 befindet, bezüglich welcher wir das Trägheitsmoment J0 bereits kennen; M ist hierbei die Gesamtmasse des Objektes.

Dieser Satz lässt sich aus der Definition des Trägheitsm.....[Volltext lesen]

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Nach Abschluß der Vorbereitungen wird die Felge beliebig weit ausgelenkt und losgelassen. Mittels einer Stoppuhr wird die Zeit für exakt 20 Schwingungen gemessen und dokumentiert. Dieser Vorgang wird 8mal wiederholt.




2.3 Messmittel und deren systematische Fehler

Als Messmittel vorhanden:


·         eine Stoppuhr, mit einer Genauigkeit von 0,2 sec.

·         eine Marktwaage, mit einer Genauigkeit von 1 g

·         ein Zollstock, mit einer Genauigkeit von 5 mm

2.4       Messwerte

2.4.1    Masse und Länge



Masse m [g]

um [g]

Länge a [mm]

ua [mm]

ut [s]

A 1

1839

1

760

5

0,2

A 2

1839

1

650

5

0,2

2.4.2 Messreihen


Aufhängung 1


N

t/s

20

38,4

20

38,8

20

38,6

20

38,6

20

38,6

20

38,6

20

38,8

20

38,7

Aufhängung 2


N

t/s

20

33,5

20

33,7

20

33,5

20

33,8

20

33,8

20

33,9

20

33,7

20

33,9

3 Auswertung

3.1 Auswertung der eigenen Messreihen

3.1.1 Werte aus Excel



a[mm]

T[s]

Δ T[s]

JA[kg·m2]

Δ JA[kg·m2]

JS[kg·m2]

Δ JS[kg·m2]

A 1

760

1,932

0,012

1296

25,74

234,1

22,09

A 2

650

1,686

0,013

844,7

19,78

67,68

18,31





.10-3

3.1.2 Berechnung der Schwingungsdauer [T]


Aufhängung 1

t = (38,64± 0,25)s

T = (1,932± 0,013)s


Aufhängung 2

t = (33,73± 0,26)s

T = (1,687± 0,013)s

3.1.3 Berechnung des Massenträgheitsmomentes JA und JS



Berechnung von JA:

JA1 =1,296

JA2 =0,845


Berechnung von JS:

JS1 =0,234

JS2 =0,068


3.2 Fehlerrechnung

3.2.1 Fehlerfortpflanzung für JA


Schnellformel hier zulässig:


ΔJA1 =0,026

ΔJA2 =0,020


3.2.2 Fehlerfortpflanzung für JS


Schnellformel hier wegen der Summe nicht möglich, daher partielle Ableitung:


ΔJS1 =0,023

ΔJS2 =0,019


3.2.3 Fehlerauswertung


Der relative Fehler für Js bei Aufhängung 1 beträgt 9,546%. Dabei ist die Zeit der größte Fehler, 7,165%. Für Aufhängung 2 gilt das Gleiche: relativer Gesamtfehler 27,282%, Fehler der Zeit: 19.191%.

Detaillierte Ausarbeitung befindet sich in handschriftlicher Form im Anhang.

3.3 Darstellung der Messergebnisse (t,T,JA,JS)

Daraus erhält man die endgültigen Ergebnisse:


Aufhängung 1


t = (38,64 ± 0,25) s

T = (1,932 ± 0,013) s

JA = (1,296 ± 0,026)

JS = (0,234 ± 0,023)


Aufhängung 2


t = (33,73 ± 0,26) s

T = (1,687 ± 0,013) s

JA = (0,845 ± 0,020)

JS = (0,068 ± 0,019)

3.4 Ergebnisse der anderen Gruppen


Kleiner Hammer:

Aufhängung 1 Aufhängung 2

t= 24,06 ± 0,57 s t= 29,23 ± 0,61 s

T= 1,203 ± 0,029 s T= 1,462 ± 0,031 s

JA= 17,4 ± 1,7 10-3 kg.m² JA= 37,2 ± 3,3 .10-3 kg.

JS= 0,7 ± 1,1.10-3 kg.m² JS= 2,0 ± 2,0 .10-3 kg.

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4.2 Warum ist der Fehler des Meterstabes beim
Tennisschläger größer als bei der Felge?


Beim Tennisschläger muss man den Fehler für den Meterstab größer wählen, weil sich der Schwerpunkt zwar genau bestimmen lässt, aber nur schwer abzumessen ist.

Der Schwerpunkt ist an einer Stelle, an der sich kein Material befindet.


4.3       Welcher Fehler für die Zeit ist richtig?


Die Fehler der Zeitmessung wurden von den verschiedenen Gruppen unterschiedlich festgelegt.

Während der Coachingsitzung einigte man sich auf einen Fehler von 0,2s, da die Reaktionszeit von 0,5s für einen Menschen überdimensoniert, da eine Schwingung schon ungefähr 1s dauert.


4.4 Wie kann man den Fehler der
Felge unter 10% bringen?

Der Gewichtungsfaktorsoll möglichst klein werden, daher sollte das Produkt

m*a² = Js werden.


Durch Umstellen ergibt sich:

Für die Aufhängung 1 ergibt sich eine optimales a von 356,7mm.

Für die Aufhängung 2 ergibt sich eine optimales a von 192,3mm.


Opt.....

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Gewichtungsfaktor der Masse m: 1


Gewichtungsfaktor der Zeit t:


4.7 Differenz gleich großer Zahlen

Wird Ja nicht aus den gemessenen Größen, sondern aus der Formel Js= Ja-m.a² berechnet, so kommt es zur Differenz gleich großer Zahlen, was das Ergebnis unbrauchbar macht.


Beispiel kleiner Hammer:

Js= Ja-m.= (17,4.10-³)kg.m²-0,140kg.(0,35m)²

Js= (17,4.10-³)kgm²-(17,15.10-³)kgm²=( 0,25.10-³)kg .m²


Das Ergebnis geht gegen null, ist somit kleiner als der oben errechnete Fehler und unbrauchbar.

5 A.....



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