Pädagogische Hochschule Ludwigsburg
Fakultät II: Kultur und Naturwissenschaft
Institut für Mathematik und Informatik
Abteilung: Mathematik
Anwendungsbezogene Mathematik
Herr Prof. Dr. J. Engel
Wintersemester 2011
Projekt 1: Optimales Papierfalten
Projektteilnehmer:*** , **
Abgabedatum: 24.11.2010
Aufgabe1:
Greifen sie das Rechteck am Punkt D an und legen Sie (durch Falten) diesen Punkt irgendwo auf die gegnüberliegende Seite AB. Dadurch entsteht in der linken unteren Ecke des Rechtecks ein rechtwinkliges Dreieck. Messen Grundseite g und die Höhe h dieses Dreiecks und berechnen sie den Flächeninhalt F. Ziel dieser Aufgabe ist es, herauszufinden, in welcher Beziehung die Grundseite g zur Fläche F(g) dieses Dreiecks steht.
(Bild1: 1. Falten)
Skizze:
Erläuterung zur Skizze:
Ein rechteckiges Stück Papier, im vorliegenden Fall ein gewöhnliches DinA4-Blatt mit einer Breite von 21 cm und einer Länge von 29,7 cm wird entsprechend der Skizze gefaltet. Dabei wird der Eckpunkt D irgendwo auf die gegenüberliegende Seite AB gelegt.
Dieser Punkt entspricht dem Punkt K in der Skizze. Dadurch entsteht in der linken unteren Ecke ein Dreieck mit den Eckpunkten AKJ. Es handelt sich hierbei um ein besonderes Dreieck, nämlich um ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seiten des entstandenen Dreiecks werden wie folgt festegelegt:
AJ = Höhe = h
AK = Grundseite = g
KJ = Hypotenuse = x
AD = Blattbreite = b = 21 cm
Allgemeine Flächeninhaltsformel:
Das Projekt hat zum Ziel die Beziehung zwischen der Grundseite g und dem Flächeninhalt F des entstandenen Dreiecks, in Abhängigkeit von g, also F(g) herauszufinden. Damit Aussagen über die Beziehung getroffen werden können, muss der Flächeninhalt ermittelt werden.
Hierzu wird folgende Berechnungsformel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet:
Flächeninhalt = ½ * Grundseite * Höhe
In diesem Fall also:
g = 13cm
h = 6,5cm
F(g) = ½ * Grundseite * Höhe = ½ * 13cm * 6,5 cm = 42,25 cm²
Aufgabe2:
Wiederholen Sie den Vorgang aus 1) ca. 10mal mit jeweils unterschiedlicher Wal der Grundseite g, und notieren Sie den jeweiligen Wert von F(g). Legen sie eine Wertetabelle an.
(Bild2: Wertetabelle)
Hinweise:
Die Wertetabelle umfasst die Daten der Grundseite g, der Höhe h und des daraus resultierenden Flächeninhalts F. Dabei wurde jeweils die Grundseite und die Höhe durch Messung mit einem gewöhnlichen Geodreieck ermittelt und in die Wertetabelle eingetragen.
Aus der oben bereits beschriebenen Formel F = ½ * g * h hat sich der jeweilige .....[Volltext lesen]
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Bitte Dokument downloaden. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt F = ½ *g * h (1) wurde mit Hilfe der Grundseite g und Höhe H berechnet.
(Bild 4: DinA4 Blatt gefaltet)
(Bild 5: DinA4 Blatt geöffnet)
Ausgangsformel:
Bisher konnte der Flächeninhalt F nur mit Hilfe von der Grundseite g und der Höhe h nach folgender allgemeiner Formel berechnet werden:
F = ½ * g * h (1)
Ansatz:
Ziel dieser Teilaufgabe ist es, analytisch einen Ausdruck für den Funktionsterm für F(g) herzuleiten. Das heißt F soll in Abhängigkeit von g berechnet werden. Hierzu muss allerdings die Höhe h mit der Grundseite g ausgedrückt werden
Herleitung der Formel:
Schaut man sich das Din A4 Blatt einmal gefaltet und einmal geöffnet an,, so kann man feststellen, dass sich die breite des Battes b aus der Addition der Höhe h und der Hypotenuse x zusammensetzt:
b= h + x
Umstellung nach x:
x= b-h (2)
Da es sich nach dem falten um ein rechtwinkliges Dreieck handelt wird die Hypertenuse mit dem Satz des Pythagoras ausgedrückt:
g2+h2=x2 (3)
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Bitte Dokument downloaden. Diese minimalen Abweichungen rühren wahrscheinlich von Messungenauigkeiten.
Vergleicht man nun die beiden Modelle aus Aufgabe 3 und Aufgabe 5, so stellt man zunächst fest, dass das Funktionsmodell aus Aufgabe 3 trotz Anpassung noch sehr stark von den Datenwerten abweicht und kein Datenpunkt exakt auf der Kurve liegt.
Ein weiteres Problem des Funktionsgraphen aus Aufgabe 3 gar nicht der Realität entsprechen kann, da für g=0 auch F(g) = 0 sein müsste.
Der Funktionsgraph in Aufgabe 5 scheint damit in allen Punkten geeigneter, da er eine minimale Abweichung der Abweichungsquadrate und der Residuen aufweist und der Graph auch durch (0|0) geht. Allerdings muss man anmerken, das die Beziehung zwischen Flächeninhalt F(g) und Grundseite g immer nur für den Bereich 0=g=b definiert, da die Grundseite g nicht negativ werden kann und b die maximale Blattbreite ist.
à Daraus folgt, dass das Modell aus Aufgabe 5 am besten passt, um die Beziehung zwischen dem Flächeninhalt und der Grundseite zu betrachten.
Aufgabe 7:
Was ist aus theoretischer Überlegung heraus die optimale Wahl von g ?
Das optimale g ist erreicht, wenn der Flächeninhalt f.....
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Bitte Dokument downloaden. Ziel ist es, zunächst Gegenkathete und Hypotenuse des optimalen Dreiecks zu bestimmen und daraus mögliche Schlüsse über den Typ des entstehenden Dreiecks zu ziehen. Durch Umstellung der allgemeinen Flächeninhaltsformel ergibt sich für die Höhe h.
Durch Umstellen der allgemeinen Flächeninhaltsformel ergibt sich:
h = (F*2)/g
Durch einsetzen der Werte erhält man:
h=(42,44*2)/12,12
h= 7cm
Wie in Aufgabe 5 festgestellt erhalten wir die Hypertenuse x durch:
x = b(Blattbreite) – h
x = 21cm – 7cm
x = 14cm
Daraus ergeben sich folgende Werte für das optimale Dreieck:
Grundseite = 12,12cm
Höhe = 7,00cm
x = 14,00cm
(Bild7: optimales Dreieck)
Bei Betrachtung der Skizze und der Werte stellt man fest, dass für die Höhe h gilt:
h = ½ * x
Diese besonderen Werte die sich für Gegenkathete, Ankathete, und Hypotenuse ergeben, verleiten zu folgendem Schluss:
Die Höhe h und die Hypotenuse x werden an der Grundseite g gespiegelt. Daraus ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 14,00 cm. Dies lässt den Schluss zu, dass es sich beim optimalen Dreieck um ein halbes gleichseitiges Dreieck (bei dem Dreieck ist die Hypotenuse doppelt so groß als eine der Katheten.
Es entstehen so die Winkel 90°, 60° und 30 °) mit der Länge der Hypotenuse .....
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