Installiere die Dokumente-Online App

word image
Arbeitsblätter

Newton Verfahren Erklärung und Übungsaufgaben

2.345 Wörter / ~20 Seiten sternsternsternsternstern_0.2 Autorin Leyla C. im Apr. 2014
<
>
Download
Dokumenttyp

Arbeitsblätter
Mathematik

Universität, Schule

Helene-Lange Schule Mannheim

Note, Lehrer, Jahr

1-, , 2013

Autor / Copyright
Leyla C. ©
Metadaten
Preis 5.30
Format: pdf
Größe: 0.29 Mb
Ohne Kopierschutz
Bewertung
sternsternsternsternstern_0.2
ID# 39083







Newton-Verfahren

-Näherungsweise Berechnung von Nullstellen


Quelle:


Name:

Klasse: 12c

Fach: Mathematik

Lehrer: Herr Bergmann

Schuljahr: 2012/ 20131

Inhaltsverzeichnis

1.Meine Gedanken beim Erstellen der Ausarbeitung 3

2.Einführung ins Thema 4

3.Isaac Newton 5

3.1Wer war Isaac Newton? 5

3.2Newton als Mathematiker 6

4.Das Newton Verfahren 7

4.1Allgemiens zum Verfahren 7

4.2Historisches über das Newton-Verfahren 7-8

4.3Vorraussetzungen zur Anwendung des Newton-Verfahrens 9

4.4 Herleitung der Formel des Newton-Verfahrens 10

4.5 Schritte zur rechnerischen Bestimmung der Nährungslösung 11

4.6Anwendung des Verfahrens an einem Beispiel 12

4.7Anwendung des Verfahrens am GTR 14-15

5.Weitere Anwendungsaufgaben 16

5.1Berechnung der Quadratwurzel 16

5.2Schnittpunkt zweier Funktionen 17-18

5.3Trigonometrische Funktion 19

6.Quellenangabe 20

6.1Literaturverzeichnis 20

6.2Quellen aus dem Internet 20

2

1.Meine Gedanken beim Erstellen der Ausarbeitung

Zu Beginn der Ausarbeitung habe ich mir überlegt, wie ich mein Thema verständlich und ordentlich meinen Zuhörern vermitteln kann. Deshalb habe ich mich in die Schuhe meiner Mitschüler gesteckt und habe mir die folgende Frage gestellt: Was für ein Zusammenhang hat das Newton-Verfahren mit dem was wir bis jetzt gelernt haben?

Da ich mich selbst informieren muss, habe ich mir zuerst einen kurzen Überblick über das Thema gemacht. Nachdem ich mehr oder weniger wusste worum es beim Newton - Verfahren ging, setzte ich mich nochmal hin und suchte in meinen Schulunterlagen nach. Um meinen Mitschülern zu erklären, wieso das Verfahren ab jetzt notwendig ist, fasste ich den gelernte Stoff zusammen und stellte das Problem dar.

Mein zweiter Schritt ins Thema ist die Präsentation seines Erfinders, Isaac Newton als erfolgreicher Naturwissenschaftler und Mathematiker. Ich hab mir folgendes gedacht: Wenn ich mehr über die Person weiß, die das Verfahren entwickelt hat, dann entwickle ich auch eine bestimmte Sympathie zum Verfahren und weiß vielleicht auch, was er sich dabei gedacht hat.

Nun komm ich zu meinem Hauptteil meiner Ausarbeitung und zwar zum eigentlich Thema, das Newton – Verfahren. Ich habe versucht das Verfahren so gut wie es geht verständlich zu erklären, sodass ich selbst und auch meine Mitschüler es verstehen.

Zum Schluss habe ich einige Aufgaben zum Thema ausgesucht, um sie mit meinen Mitschülern gemeinsam zu lösen, damit ich das Gefühl habe, dass meine Arbeit getan ist und alles geklappt hat.

3

2.Einführung ins Thema


In den vergangenen Jahren haben wir uns öfters mit den Eigenschaften von Funktionen beschäftigt. Zu diesen Eigenschaften gehört auch die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f, an der Stelle x, für die gilt f(x) = 0.

Im ersten Schritt haben wir unterschiedliche Lösungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen ganz-rationaler Funkti.....[Volltext lesen]

Download Newton Verfahren Erklärung und Übungsaufgaben
• Download Link zum vollständigen und leserlichen Text
• Dies ist eine Tauschbörse für Dokumente
• Laden sie ein Dokument hinauf, und sie erhalten dieses kostenlos
• Alternativ können Sie das Dokument auch kаufen
Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.
  • De analysi per aequationes numero terminorum infinitas - Über die Rechenkunst mittels der der Zahl ihrer Glieder nach unendlichen Gleichungen (1669)

  • Methodus fluxionum et serierum infinitarum“ - Von der Methode der Fluxionen und unendlichen Folgen (1671)

  • Philosophiae naturalis principia mathematica - Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaft (1687)

  • Arithmetica universalis - Allgemeine Algebra (1707)


5

3.2Newton als Mathematiker

In der Zeit nach 1700 verdanken wir vieles Newton von der damals bekannten Mathematik. Newton arbeitete erstmals mit Begriffen wie Variable, Funktion und Grenzwert. Zu seinen frühesten Leistungen in die Mathematik zählt die Ausdehnung des Binomischen Lehrsatztes (= ermöglicht die Potenzen eines Binoms x + y in der Form von (x + y)n , n ϵ als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken ) auf Potenzen mit einem Bruch als Exponenten (gebrochenen Exponenten), die zu binomischen Reihen führt.

Später verallgemeinerte er diese und bewies, dass es für sämtliche reellen Zahlen (also auch negative und Brüche) gültig ist. Sein Hauptbeitrag zur Mathematik ist die Entwicklung der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrecnhung) und erbrachte auch wichtige Beiträge zur Algebra.

1670 arbeitete Gottfried Wilhelm Leibniz am gleichen Verfahren,der „Differentialrechnung“, wie Newton, jedoch völlig unabhängig voneinander, da sie unterschiedliche Ziele verfolgten: Newton ging vom physikalischen Prinzip der Momentangeschwindigkeit aus und ermöglichte zeitlich veränderliche Größen wie physikalische Kräfte oder Geschwindigkeiten in Zahlen auszudrücken.

Während Leibniz versuchte eine mathematische Beschreibung des geometrischen Tan.....

Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.

Durch den Einfluss der Mathematiker in seiner Zeit entwickelte Newton ein Näherungsverfahren für die Lösung von Polynomgleichnungen.

Er erklärte dieses Verfahren in seinem Werk Methodus fluxionum et serierum infinitarum“ am Beispiel :

x3 -2x -5 = 0

7


Wertetabelle

x

    Die Wertetabelle zeigt welcher x-Wert nah n der gesuchten Nullstelle ist.

  • X0 = 2 ist der Startwert

f(x)

0

-5,00

1

-6,00

2

-1,00

3

16,00

Newton machte den Ansatz x = 2 + p und setzte ihn in die Gleichung ein.

0= ( 2+ p)3 – 2 (2 + p) - 5


Nebenrechnung :

x 3 = ( 2 + p) 3 = ( 2 + p) * ( 2 + p) * ( 2 + p)

= ( 4 + 4p + p 2 )( 2 + p)

= 8 + 12p + 6p 2 + p 3


2 x = 2 * ( 2 + p) = 4 +2p


  • 0 = (8 + 12p + 6p 2 + p 3 ) - ( 4 + 2p) - 5

    = -1+ 10p + 6p 2 + p 3

Angenommen wird, dass p wie „petit“ klein ist, deshalb können die Terme höherer Ordnung gegen den linearen und konstanten vernachlässigt werden, womit 10p -1 bzw. p= 0,1 übrig bleibt. Nun wiederholen wir dieses Vorgehen, indem wir diesmal p = 0,1 + q

ansetzten und sie in die zweite Gleichungp 3 + 6p 2 + 10p -1 einsetzten, um q zu berechnen: q = -0,061 / 11,23 = - 0,0054318789


1690 beschrieb Joseph Raphson diesen Rechenvorgang formal und zeigte den Formalismus an der allgemeinen Gleichung 3. Grades und fand somit die nachfolgende Iterationsvorschrift. Thomas Simpson formulierte die abstrakte Form des Verfahrens mit .....

Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.

Im ersten Schritt legen wir eine Tangente t beim Startwert x0 an, der durch den Punkt P ( x0 / f( x0)) geht. Die Tangente hat die Steigung f `( x0 ), d.h dass m = f `( x0 ) und

f `( x0 ) ist die Ableitung der Funktion. Ein anderer Weg, um die Tangentensteigung zu bestimmen, ist die Bildung eines Steigungsdreicks:= f ( x0 ) / ( x0 -x1 ).

Da f `( x0 ) das selbe wie f ( x0 ) / ( x0 -x1 ) ist, setzen wir es gleich:

f `( x0 ) = f ( x0 ) / ( x0 -x1 )


Da alles andere außer x1gegeben ist, müssen wir nach x1 auflösen, indem wir erstmal die ganze Gleich mit ( x0 -x1 ) multiplizieren :

f `( x0 ) * ( x0 -x1 ) = f ( x0 )


Nun lösen wir die Klammern auf, indem wir die Klammern miteinander Mal nehmen:


f `( x0 ) * x0 - f `( x0 ) * x1 = f ( x0 ) I +f `( x0 ) * x1


f `( x0 ) * x0 = f ( x0 ) + f `( x0 ) * x1 I - f ( x0 )


f `( x0 ) * x0 - f ( x0 ) = f `( x0 ) * x1 I / f `( x0 )


  • x1 =x0 - f ( x0 ) / f `( x0 )


10


Eine andere Variante, die Formel des Newton-Verfahrens herzuleiten, wäre mit der Tangentengleichung:

  • t: y = f `( x0 ) * (x1- x0) + f ( x0 )


y=0

0 = f `( x0 ) * (x1- x0) + f ( x0 )

0 = f `( x0 ) * x1 - f `( x0 ) *x0 + f ( x0 ) I + f `( x0 ) *x0 - f ( x0 )

Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.

4.6Anwendung des Verfahrens an einem Beispiel

Aufgabe:

Bestimmen sie die Nullstelle der Funktion f mit f(x) = x3 - 2x -2 mit dem Newton-Verfahren.

Aus der Wertetabelle kann man sehen, zwischen welchen ganzzahligen x-Werten f(x) das Vorzeichen wechselt. Die Nullstelle der Funktion f liegt zwischen diesen x-Werten:

xN liegt im Intervall [1;2]

    xN 1,5

Ps: Rahmung hat keine Bedeutung

Wertetabelle

x

f(x)

-1

-1,000

0

-2,000

1

-3,000

2

2,000

3

19,000

Da xN 1,5 sehr ungenau ist, werde ich versuchen durch die Anwendung des Newton-Verfahrens an die gesuchte Nullstelle näherungsweise zu gelangen.

Wir legen eine Tangente t am Startwert x0 an, der durch den Punkt P (1,5/ f (1,5)) geht. Diese Tangente schneidet die x-Achse in der Nähe der Nullstelle von f und diese Schnittstelle x1 lässt sich berechnen. Wenn wir x1 berechnet haben, legen wir erneut eine Tangente im Kurvenpunkt P1 ( x1 / f ( x1) und berechnen x2 nach dem selben Prinzip.

X2 liegt wiederrum näher an der gesuchten Nullstelle als x1.

Gegeben:

Newtonformel :x1 =x0 - f ( x0 ) / f `( x0 )

Startwert : x0 = 1,5

Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x4 -x3-2x+1.

Das Newton-Verfahren mit dem Startwert 0 führt auf die Nullstelle x1, mit dem Startwert 2 erhält man x2. Bestimmen Sie die beiden Nullstellen.


Auch der GTR benutzt Näherungsverfahren, um Gleichungen zu lösen. Dabei bietet sich die folgende Vorgehensweise an:


  1. Eingeben von f(x) und f `(x) im y-Editor

  2. Wieder in den Haupbildschirm wechseln: 2nD – MODE

  3. Eingeben des Startwertes, falls sie nicht gegeben ist, ließt man sie entweder aus dem Scaubild raus oder entnimmt sie aus der Wertetabelle. Hier in diesem Fall ist sie gegeben x0 = 0.Dieser Wertwird in eine Variable gespeichert:

    0 – STO – ALPHA – MATH – ENTER-Taste A=0

  4. Berechnen des ersten Näherungswertes mit der Rekursionsformel :

    x1 =x0 - f ( x0 ) / f `( x0 )

    x1 = A – Y1 (A) / Y2 (A) =0,49999975

    Das Ergebnis wird wieder in die Variable A gespeichert:

    STO – ALPHA – MATH – ENTER-Taste A = .....

Dieser Textabschnitt ist in der Vorschau nicht sichtbar.
Bitte Dokument downloaden.
Quellen & Links

Swop your Documents

G 2 - Cached Page: Friday 29th of March 2024 02:00:58 AM