2. LGS hat keine Lösung => 0 = -2 falsche Aussage (f. A.)
Lösungsmenge: lL = { }
3. LGS hat unendlich viele Lösungen 0 = 0 wahre Aussage (w. A.)
Lösungsmenge: lL = { (2-t; 2+2t; t ) } (t ∈ lR)
I x1 + 2x2 - 3x3 = 6
II* - 5x2 + 10x3 = -10
III** 0 = 0 Wähle z.B. x3 = t
In II*: - 5x2 + 10t = -10 | -10t / :(-5)
x2 = 2 + 2t
In I*: x1 + 4 + 4t - 3t = 6 | -t / -4
x1 = 2 - t
GTR-Matrix liefert:
GTR:
2ndF => MATRIX => B EDIT - 1 (mat A) Anzahl Gleichungen x Anzahl der Werte
=> ENTER + Werte eingeben (Zahlen nach rechts)
=> Hauptmenü => 2ndF => MATRIX => D MATH - 4 (rrowEF)
=> ENTER => 2ndF => MATRIX => A NAME - 1 (math A) => ENTER
Zeilen der Matrix auswerten
Bestimmen von Funktionsgleichungen
Merke: Man benötigt immer eine Information mehr, als der Grad der Funktion beträgt!
Bsp.: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades hat den Tiefpunkt P(-4/6) und den Wendepunkt Q(4/2) mit waagerechter Tangente. Bestimme den Term von f.
f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e P(-4/6) => Punkt P des Tiefpunkts
=> Wenn eine Information fehlt, kann man dennoch eine Funktion aufstellen.
Eine Variable wird als Parameter bestimmt (= Scharparameter), z.B x3 = t,
in alle übrigen Variablen eingesetzt und umgewandelt, entsteht eine Funktionsschar.
Wiederholung: Lagebeziehung zweier Geraden im Raum
Punkte und Vektoren im Koordinatensystem
Definition „Vektor“: Menge aller Pfeile mit den Eigenschaften: parallel, gleich lang + gerichtet
Mittelpunkt einer Strecke
Länge eines Vektors
Definition: Unter dem Betrag eines Vektorsversteht man die Länge der zugehörenden Pfeile. Bezeichnung: Betrag von
Bsp.: P(1/2/3) und Q(-7/-8/5)
Vektor PQ:
Länge:
Einheitsvektor (= Vektor mit Betrag 1 => Vektor mit der Länge 1)
Modellieren mit Vektoren
=> Wenn die Geradengleichung, bzw. der Richtungsvektor nicht schon auf die Einheit 1 genormt ist, verfährt man wie folgt.
Bsp.: Ein Flugzeug F1 bewegt sich auf einer Gerade vom Punkt P(2/3/1) zum Punkt Q(0/0/1,05) mit einer Geschwindigkeit von 350 km/h. Wie hoch ist es nach 20min?
1. Schritt: Richtungsvektor der Bewegung bestimmen
2. Schritt: Normieren des Bewegungsvektors auf die Länge 1 (= Einheitsvektor)
3. Schritt: Gleichung für die Position von F1 (t in h)
4. Schritt: Aufgabe lösen
nach t = 20 min = 1/3 h
Wann haben zwei Flugzeuge den geringsten Abstand? => Je nach gegebenen Daten, erst Einheitsvektor beider Flugzeuge bestimmen und Allgemeine Geradenpunkte mit dem Parameter t bestimmen. Der Betrag des Vektors aus beiden allg. Geradengleichungen ist dann der allgemeine Abstand über die Gesamte Gerade. GTR-Minimum anzeigen lassen / x = t
Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt
Die Vektorenundsind orthogonal, wenn a1b1 + a2b2 = 0 gilt.
Entsprechendes gilt für Vektoren im Raum.
Satz:
1. Skalarprodukt:
2. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
Normalenvektor
Der Normalenvektorist ein Vektor, orthogonal zu zwei linear unabhängigen Vektorenund.
Bester Lösungsweg:
Beide Vektoren in einem LGS gleich Null setzen, auflösen und somit jedes n aus bestimmen.
I 1n1 + 4n2 + 2n3 = 0
II -3n1 + 1n2 + 0n3 = 0 => n1,2,3 bestimmen, dass gleich Null => n1=1; n2=3 in I n1=-14
Gegebenenfalls mit dem GTR eine Matrix erstellen. Möglicherweise kann nicht jedes n bestimmt werden, dann mit
Zeichnen der Gerade mithilfe ihrer Spurpunkte (= Durchstoßpunkte durch die Koordinatenebenen)
Bsp.:
2. Ebenen
Zeichnen mithilfe der Spurpunkte (=> Punkte, in denen die Koordinatenachse die Ebene schneidet)
Bsp.:
Die s und r-Werte in jeweilige Zeile einsetzen und Spurpunkt berechnen.
Koordinatenebenen
Ebenen in Koordinatenform mit besonderer Lage
Die Ebene ist zur Koordinatenachse des/der fehlenden Spurpunkts/Koordinate parallel.
Aus der Koordinatengleichung kann man die Spurpunkte leicht berechnen, indem man jeden Parameter (x1; x2; x3) einzeln betrachtet und die beiden anderen den Wert 0 annehmen.
Bsp.:
am Bsp. F:
=> Wenn ax1 + bx2 + cx3 = 0, also d = 0 gilt, dann enthalten die dazugehörigen Ebenen den Ursprung. (siehe Bsp. K)
Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren zum einen den Richtungsvektor der Geraden und den Verbindungsvektor zwischen Aufpunkt und dem Punkt.
Ebene durch zwei Parallelen
Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren zum einen den Richtungsvektor einer der beiden Geraden und den Vektor zwischen den beiden Ortsvektoren der Parallelen.
Ebene durch zwei sich schneidende Geraden
Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren die beiden Richtungsvektoren der Geraden.