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Abiturvorbereitung / Maturavorbereitung

LGS, Vektoren, Skalar­pro­dukt & Ebenen­glei­chung

1.255 / ~14 stern_0.75stern_0.3stern_0.3stern_0.3stern_0.3 Kurt Z. . 2014
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Abiturvorbereitung
Mathematik

Ernst-Abbe Gmynasium Oberkochen

2014

Kurt Z. ©
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stern_0.75stern_0.3stern_0.3stern_0.3stern_0.3
ID# 39476







Mathe


LGS, Vektoren, Skalarprodukt & Ebenengleichung


LGS lösen mit dem Gauß-Verfahren


Bsp.:


Pyramidenform: Randüberlegungen:


I 2x1 + 3x2 - x3 = 1 I 2x1 + 3x2 - x3 = 1

II x1 + 3x2 + x3 = 2 | •(-2)II -2x1 - 6x2 - 2x3 = -4

III -2x1 - 2x2 + 4x3 = 4 ______

______ - 3x2 - 3x3 = -3 => II*


I 2x1 + 3x2 - x3 = 1

III -2x1 - 2x2 + 4x3 = 4

______

x2 + 3x3 = 5 => III*


I 2x1 + 3x2 - x3 = 1 II* - 3x2 - 3x3 = -3

II* - 3x2 - 3x3 = -3 | •3 III* 3x2 + 9x3 = 15

III* x2 + 3x3 = 5 ______

______ 6x3 = 12 => III**


I 2x1 + 3x2 - x3 = 1

II* - 3x2 - 3x3 = -3

III** 6x3 = 12


III**: 6x3 = 12 | :6

x3 = 2


In II*: - 3x2 - (3 • 2) = -3 | +6 / :(-3) lL = { ( 3; -1; 2 ) }

x2 = -1


In I: 2x1 + (-3) - 2 = 1 | +5 / :2

x1 = 3

Lösbarkeit und Lösungsmenge eines LGS


1. LGS hat genau eine Lösung

Lösungsmenge: lL = { ( 1; 2; -2 ) }


2. LGS hat keine Lösung => 0 = -2 falsche Aussage (f. A.)

Lösungsmenge: lL = { }


3. LGS hat unendlich viele Lösungen 0 = 0 wahre Aussage (w. A.)

Lösungsmenge: lL = { (2-t; 2+2t; t ) } (t lR)


I x1 + 2x2 - 3x3 = 6

II* - 5x2 + 10x3 = -10

III** 0 = 0 Wähle z.B. x3 = t


In II*: - 5x2 + 10t = -10 | -10t / :(-5)

x2 = 2 + 2t


In I*: x1 + 4 + 4t - 3t = 6 | -t / -4

x1 = 2 - t


GTR-Matrix liefert:


GTR:


2ndF => MATRIX => B EDIT - 1 (mat A) Anzahl Gleichungen x Anzahl der Werte

=> ENTER + Werte eingeben (Zahlen nach rechts)

=> Hauptmenü => 2ndF => MATRIX => D MATH - 4 (rrowEF)

=> ENTER => 2ndF => MATRIX => A NAME - 1 (math A) => ENTER


Zeilen der Matrix auswerten

Bestimmen von Funktionsgleichungen


Merke: Man benötigt immer eine Information mehr, als der Grad der Funktion beträgt!


Gegebene Funktion der ganzrationalen Funktion y = f(x)

Umsetzung in eine Gleichung

1) x0 ist Nullstelle; P(x0; 0) ist Schnittpunkt mit x-Achse.

f(x0) = 0

2) E (x1; y1) ist Extrempunkt.

f(x1) = y1 / f’(x1) = 0 / f’’(x1)

3) P (x2; y2) ist beliebiger Punkt der Funktion; m sei Anstieg der Tangente in diesem Punkt an f.

f(x2) = y2 / f’(x2) = m

4) W (x3; y3) ist Wendepunkt; m sei Anstieg der Wendetangente.

f(x3) = y3 / f’(x3) = m / f’’(x3) = 0

5) S (x4; y4) ist Sattelpunkt.

f(x40) = y4 / f’(x4) = 0 / f’’(x4) = 0

Bsp.: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades hat den Tiefpunkt P(-4/6) und den Wendepunkt Q(4/2) mit waagerechter Tangente. Bestimme den Term von f.


f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e P(-4/6) => Punkt P des Tiefpunkts

f’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d Q(4/2) => Punkt Q des Wendepunkts

f’’(x) = 12ax2 + 6bx + c f’(-4) = 0 => Bedingung für den TP

f’(4) = 0 => Waagerechte Tangente des WP

f’’(4) = 0 => 2. Bedingung für den WP


P(-4/6) | f(-4) = 256a - 64b + 16c - 4d + e = 6

Q(4/2) | f(4) = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 2

f’(-4) = 0 | f’(-4) = -256a + 48b - 8c + d = 0

f’(4) = 0 | f’(4) = 256a + 48b + 8c + d = 0

f’’(4) = 0 | f’’(4) = 192a + 24b + 2c + d = 0


GTR-Matrix liefert: f(x) = -0,003x4 + 0,015x3 + 0,094x2 - 0,75x + 3,25


=> Wenn eine Information fehlt, kann man dennoch eine Funktion aufstellen.

Eine Variable wird als Parameter bestimmt (= Scharparameter), z.B x3 = t,

in alle übrigen Variablen eingesetzt und umgewandelt, entsteht eine Funktionsschar.


Wiederholung: Lagebeziehung zweier Geraden im Raum


Punkte und Vektoren im Koordinatensystem


Definition „Vektor“: Menge aller Pfeile mit den Eigenschaften: parallel, gleich lang + gerichtet


Mittelpunkt einer Strecke


Länge eines Vektors


Definition: Unter dem Betrag eines Vektorsversteht man die Länge der zugehörenden Pfeile. Bezeichnung: Betrag von


Bsp.: P(1/2/3) und Q(-7/-8/5)

Vektor PQ:

Länge:


Einheitsvektor (= Vektor mit Betrag 1 => Vektor mit der Länge 1)


Modellieren mit Vektoren


=> Wenn die Geradengleichung, bzw. der Richtungsvektor nicht schon auf die Einheit 1 genormt ist, verfährt man wie folgt.


Bsp.: Ein Flugzeug F1 bewegt sich auf einer Gerade vom Punkt P(2/3/1) zum Punkt Q(0/0/1,05) mit einer Geschwindigkeit von 350 km/h. Wie hoch ist es nach 20min?


1. Schritt: Richtungsvektor der Bewegung bestimmen


2. Schritt: Normieren des Bewegungsvektors auf die Länge 1 (= Einheitsvektor)


3. Schritt: Gleichung für die Position von F1 (t in h)


4. Schritt: Aufgabe lösen


nach t = 20 min = 1/3 h

Wann haben zwei Flugzeuge den geringsten Abstand? => Je nach gegebenen Daten, erst Einheitsvektor beider Flugzeuge bestimmen und Allgemeine Geradenpunkte mit dem Parameter t bestimmen. Der Betrag des Vektors aus beiden allg. Geradengleichungen ist dann der allgemeine Abstand über die Gesamte Gerade. GTR-Minimum anzeigen lassen / x = t



Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt


Die Vektorenundsind orthogonal, wenn a1b1 + a2b2 = 0 gilt.


Entsprechendes gilt für Vektoren im Raum.



Satz:


1. Skalarprodukt:


2. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.


Normalenvektor


Der Normalenvektorist ein Vektor, orthogonal zu zwei linear unabhängigen Vektorenund.


Bester Lösungsweg:

Beide Vektoren in einem LGS gleich Null setzen, auflösen und somit jedes n aus bestimmen.

I 1n1 + 4n2 + 2n3 = 0

II -3n1 + 1n2 + 0n3 = 0 => n1,2,3 bestimmen, dass gleich Null => n1=1; n2=3 in I n1=-14


Gegebenenfalls mit dem GTR eine Matrix erstellen. Möglicherweise kann nicht jedes n bestimmt werden, dann mit

einem Parameter. Lösung:

Normalengleichung


Parametergleichung:


: Normalengleichung


bzw.




Bsp.: ges.: Koordinatengleichung


1. Normalenvektor bestimmen:


I n1 - 3n3 = 0

II 2n1 -3n2 = 0 => n1 = 3; n3 = 1


In II: 6 - 3n2 = 0

n2 = 2


2. Normalengleichung:


3. Koordinatengleichung:


3x1 + 2x2 + x3 = 3 + 2 + 1

3x1 + 2x2 + x3 = 6 => Normalenvektor sofort ablesbar


Lage von Ebenen erkennen und Ebenen zeichnen


1. Geraden


Zeichnen der Gerade mithilfe ihrer Spurpunkte (= Durchstoßpunkte durch die Koordinatenebenen)


Bsp.:


2. Ebenen


Zeichnen mithilfe der Spurpunkte (=> Punkte, in denen die Koordinatenachse die Ebene schneidet)


Bsp.:


Die s und r-Werte in jeweilige Zeile einsetzen und Spurpunkt berechnen.


Koordinatenebenen

Ebenen in Koordinatenform mit besonderer Lage


Die Ebene ist zur Koordinatenachse des/der fehlenden Spurpunkts/Koordinate parallel.


Aus der Koordinatengleichung kann man die Spurpunkte leicht berechnen, indem man jeden Parameter (x1; x2; x3) einzeln betrachtet und die beiden anderen den Wert 0 annehmen.


Bsp.:



am Bsp. F:

=> Wenn ax1 + bx2 + cx3 = 0, also d = 0 gilt, dann enthalten die dazugehörigen Ebenen den Ursprung. (siehe Bsp. K)


Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen


Lage: Gerade - Ebene

LGS

Normalenvektor

Richtungsvektor

(1) g und E haben einen gemeinsamen Punkt, also g schneidet E.

Schnittpunkt = Durchstoßpunkt


Sonderfall: gE


(2) g und E haben keinen Punkt gemeinsam, also g||E


(3) g und E haben unendlich viele Punkte gemeinsam, also gE


genau eine

Lösung





keine

Lösung


unendlich viele

Lösungen





undsind Vielfache


Punktprobe: P E


Punktprobe: P E


Koordinatengleichung + Geradengleichung => ineinander einsetzen


Parametergleichung + Geradengleichung => LGS


Ebenen definiert durch andere Bedingungen


Ebene durch eine Gerade und einen Punkt


Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren zum einen den Richtungsvektor der Geraden und den Verbindungsvektor zwischen Aufpunkt und dem Punkt.


Ebene durch zwei Parallelen


Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren zum einen den Richtungsvektor einer der beiden Geraden und den Vektor zwischen den beiden Ortsvektoren der Parallelen.





Ebene durch zwei sich schneidende Geraden


Als Aufpunkt/Ortsvektor wählt man den Ortsvektor der Gerade g; als Richtungsvektoren die beiden Richtungsvektoren der Geraden.


Gegenseitige Lage von Ebenen


(1) Gemeinsame Punkte von E1 und E2 => liegen auf einer Schnittgeraden


Sonderfall: E1E2


(2) keine gemeinsamen Punkte von E1 und E2 => E1||E2



(3) E1 und E2 fallen zusammen => E1 = E2


LGS hat unendlich viele Lösungen

Lösungsmenge hat einen Parameter



LGS hat keine Lösung

=> Normalenvektorenund sind Vielfache voneinander

(Lösungsmenge hat theoretisch drei Parameter)


LGS hat unendlich viele Lösungen

Lösungsmenge enthält zwei Parameter

Bsp.:


Zu (11)


I 3x1 - 4x2 + x3 = 1

II 5x1 + 2x2 - 3x3 = 62 | •2

______

13x1 - 5x3 = 13 => x3 = 13t


13x1 (- 5 • 13t) = 13 |+65t

13x1 = 13 + 65t |:13

x1 = 1+5t


In II: 5•(1+5t)+2x2-3•13t = 6 => 2x2 = 1 + 14t |:2 => x2 = 0,5 + 7t


=> Schnittgerade von E1 und E2


Zu (12)


Matrix:


GTR liefert:


=> Schauen, wo keine Parameter beider Gleichungen enthalten sind

I r - 4x2 - 3u = -3

II 5x1 + s + u = 4

III t + u = 1 => t = 1 - u in E2


=> Schnittgerade von E1 und E2


Zu (13)

oder: x1 = 8 - 4r + 5s

x2 = r

x3 = 2 + r - s


In E1: (8-4r+5s) - r + 3•(2+r-s) = 12

14 - 2r + 2s = 12 |-14 / +2r

s = r - 1 => In E2


Zu Sonderfall (Orthogonalität zweier Ebenen)


E1 ist nichtzu E2


Zu (2)

=> k ist überall gleich, d.h. die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander = E1||E2


Zu (3) echt parallel oder identisch?


Punktprobe: Ansatz wie für die Schnittgeraden:


____

0 = 6 f. A. E1 ist nicht identisch mit E2 => E1E2


Oder: Für E1 einen Punkt ausrechnen und in E2 einsetzen:


=> z.B. (-2 • 0) + (1 • 2) + (1 • 3) = 5 => P(0/2/3)


inf. A. E1E2


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