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Mathematik

Bundesgymnsium Salzburg

Sehr Gut, 2012

Michel H. ©
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ID# 29867







Lernunterlagen
Kegelschnitte


Kreis

Definition:

Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte X, die von einem Punkt M den konstanten Abstand r haben und auf einer Ebene liegen. Wobei der Punkt M der Mittelpunkt des Kreises ist und r der Radius beziehungsweise der halbe Durchmesser d.Diese Punktemenge nennt man Kreis im 2.

Kreisgleichungen + Herleitung:

Der Kreis kann entweder durch die Vektorform oder die Koordinatenform dargestellt werden. Das heißt, bei genauerer Betrachtung gilt für einen Punkt X der auf dem Kreis liegt |M͞X|= r => |X-M| = r. Man könnte jetzt schon auf beiden Seiten quadrieren und man erhält die Vektorform (X-M)2 = r2.

Wenn man aber jetzt für X die Koordinaten (x/y) und für M die Koordinaten (xm/ym) einsetzt, dann erhält man || = r. Jetzt quadrieren wir endgültig und so entsteht die Koordinatenform (x-xm)2 + (y-ym)2 = r2. Als besondere Form gilt, wenn M die Koordinaten (0/0) hat, X2 = r2 und x2 + y2 = r2.


Bestimmen von Radius und Mittelpunkt aus Kreisgleichungen:

Gegeben ist ein Kreis mit x2 + y2 - 8x +6y = 0 und gesucht wird der Mittelpunkt sowie der Radius des Kreises. Durch einfaches Umformen in die Koordinatenform lässt sich schnell beides bestimmen. Wir kennen x-8x und y2+6y = 0 und daraus lässt sich erschließen, dass in unserem Fall (x-x­m), (x+4)2 und (y-ym), (y-3)2 ist.

Unsere Gleichung lautet somit (x+4)2 + (y-3)2 = 25. Damit ist unser Mittelpunkt (4/-3) und der Radius die = 5.


Aufstellen der Kreisgleichung aus verschiedenen Angaben:

Man kann Kreisgleichungen aus Verschiedene Angaben aufstellen. Z.B.:


1) Gegeben ist der Mittelpunkt M (-3/2) und der Radius r = 4. Somit können wir einsetzen |X – (
)| = 4 oder (x+3)2 + (y-2)2 = 16.

2) Gegeben ist der Punkt P (5/10) und wir sollen einen Kreis aufstellen der beide Koordinatenachsen berührt. Dadurch folgt xm = ym und da sie die Achsen berühren ist xm = ym = r. Somit entsteht die Gleichung (5-r)2 + (10-r)2 = r2 und weiterführend 25-10r+r2 + 100-20r+r² =r².

Man streicht links und rechts ein r² und erhält r²-30r+125 = 0. Man setzt in die pq-Formel ein und bekommt r1/2= 15. Erstaunlicherweise erfüllen 2 Kreise diese Bedingung, nämlich r1=25 und r2=5. Somit ist die Kreisgleichung k1…(x-25)² + (y-25)² = 225 und k2…(x-5)² + (y-5)² = 25.

3)Wir haben gegeben x² + y² + 8x - 2y - 32 = 0 und wir sollen die Kreisgleichung erstellen. Dazu formen wir die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x-xm)² bzw. (y-ym)² entstehen. Das heißt, wir bekommen (x+4)² + (y-1)² -32 = 16+1. Wir verschieben die -32 als +32 auf die andere Seite und somit haben wir die Kreisgleichung (x+4)² + (y-1)² = 49.


Schnitt Kreis – Gerade:

Eine Gerade kann mit einem Kreis zwei, einen oder gar keinen Schnittpunkt haben. Je nach Fall nennt man die Gerade anders. Hat sie zwei Schnittpunkte mit dem Kreis heißt sie Sekante, da sie den Kreis schneidet (man erhält 2 Lösungen), hat sie einen Schnittpunkt so heißt sie Tangente, da sie den Kreis berührt (man erhält 1 Lösung bzw. ) und hat sie keinen Schnittpunkt so heißt sie Passante, da sie den Kreis passiert (man erhält keine Lösung bzw. eine negative Wurzel).

Beispiel: Gegeben ist der Kreis k…(x-1)² + (y-1)² = 18 und die Geraden g1: x+y = 6 g2: x+y = 8 und g3:x+y = 10.

Wir Formen g1 um auf die Form y = 6-x und setzten diese in die Kreisgleichung ein (x-1)² + (6-x-1)² = 18. Wir rechnen diese aus und formen um und erhalten x²-6x+4 = 0. Nach einsetzten in die pq-Formel sehen wir es gibt 2 Lösungen für diese Gerade => Sekante.

Für die g3 gilt das Gleiche und man erhält die Gleichung x²-10x+32 = 0. Beim Lösen dieser Gleichung durch die pq-Formel fällt auf das man ausrechnen müsste. Deshalb gibt es keine Lösung => Passante.


Tangente an den Kreis:

Eine Gerade t, die mit einem Kreis nur den Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an den Kreis im Punkt P. Dabei steht die Gerade t normal auf den Radius des Kreises.

Eine Gleichung der Tangente im Punkt P (p1/p2) des Kreises k mit dem Mittelpunkt M(xm/ym)und dem Radius r lautet (X-M) (P-M) = r² bzw. (x-xm) (p1-xm) + (y-ym) (p2-ym) = r².

Beispiel: Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt P (7/y) des Kreises k: (x-2)² + (y+4)² = 169 (wobei y > 0). => M (2/-4)
Man setzt den x-Wert des Punktes P in die Kreisgleichung ein und bekommt (7-2)² + (y+4)² = 169. Durch Ausrechnen erhält man y² + 8y -128 = 0, was wiederum durch einsetzten in die pq-Formel y1=8 und y2=-10 hervorbringt.


Ellipse

Definition:

Eine Ellipse ell ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe aller Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant (=2a > F͞1F͞2) ist. Das heißt ell ={X²|F͞1X + F͞2X =2a}.
Man nennt F1 und F2 die Brennpunkte, M den Mittelpunkt, die Punkte A und A die Hauptscheitel und die Punkte B und B Nebenscheitel der Ellipse.

Die Strecke A͞A heißt Hauptachse, die Strecke B͞B Nebenachse der Ellipse. Die Länge A͞A der Hauptachse ist 2a und die Länge B͞B der Nebenachse wird mit 2b bezeichnet. Man bezeichnet a und b auch als Halbachsenlänge der Ellipse. Der Abstand vom Mittelpunkt zu den Brennpunkten F1 und F2 heißt Brennweite oder e.


Ellipsengleichung:

Dadurch gilt für eine Ellipse mit der Halbachsenlänge a und b und der Brennweite e: e² = a² - b². Liegen der Mittelpunkt im Ursprung und die beiden Brennpunkte auf der 1. Achse, so nennt man sie eine Ellipse in 1. Hauptlage. Aus der Zeichnung und der Formel e² = a² - b² kann man entnehmen, b²x² + a²y² = a²b² bzw. + = 1.


Man kann Ellipsengleichungen aus Verschiedene Angaben aufstellen. Z.B.:
1) Gegeben sind die Halbachsenlängen a=4 und b=
und gesucht wird die Ellipsengleichung. Durch einfaches einsetzten in die Formel b²x² + a²y² = a²b², nämlich 3x² + 16y² = 48, erhält man die Ellipsengleichung.

2) Gegeben ist der Hauptscheitel A(/0) und die Brennweite e= und gesucht wird wieder die Ellipsengleichung. Aus dem Hauptscheitel A(/0) ergibt sich, a=. Nun kann man a und e in die Formel e²=a²-b² einsetzen, nachdem man sie so umformt das b ausgedrückt wird.

Man erhält, a²-e²=b² und in unserem Fall 7-3=b². Daraus folgt b²=4 und somit ist die Ellipsengleichung 4x²+7y²=28.

3)Gegeben ist F1(2,2/0) und F2(-2,2/0) und ein Punkt P(1,4/1,5) auf der Ellipse, gesucht wird abermals die Ellipsengleichung. Wir wissen, P͞F1 + P͞F2 = 2a und deswegen rechnen wir uns einfach P͞F1 und P͞F2 aus. Das heißt, |P͞F1|=|F-P| und bei uns |()-()|=|()|==1,7. Für P͞F2 nach den gleichen Schritten kommt 3,9 heraus.


Schnitt Ellipse-Gerade:

Der Schnitt der Ellipse mit einer Geraden ist analog zu dem Schnitt Kreis-Gerade. Jedoch das Ausrechnungsverfahren variiert von dem des Kreises. Z.B.: Ist die Ellipsengleichung 3x²+2y²=35 gegeben und die Gerade g…X=()+t (), welche man in x=-3+t und y=-2+3t aufspalten kann und in die ell einsetzt.

Somit ergibt sich 3(-3+t)² + 2(-2+3t)² = 35. Nach dem Ausrechnen der Binomischen Formeln und Weiterrechnen, kommt man auf t(t-2)=0. Daher ist t1=0 und t2=2, welche man wieder in die Geradengleichung rückeinsetzt. Man bekommt die beiden Schnittpunkte S1(-3/2) und S2(-1/4).


Tangenten an die Ellipse:

Eine Gerade t, die mit einer Ellipse nur den Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an die Ellipse im Punkt P. Das heißt, analog zum Kreis, hat die Ellipse mit der Geraden nur der Punkt P(p1/p2) gemeinsam.

Beispiel: Gib eine Gleichung der Tangente t im Punkt P der Ellipse ell an. Gegeben ist die Ellipsengleichung ell: 3x² + 2y² = 30 und der Punkt P(x/-3) mit x>0. Da bei der Ellipsengleichung gekürzt wurde(3230) müssen wir zuerst durch 30 dividieren.

Wir erhalten + = 1 und somit a²=10 und b²=15. Wir berechnen uns die x-Koordinate des Punktes P in dem wir in die Ellipsengleichung einsetzten. Nach Umformen und ausrechnen erhalten wir x²=4 und somit x=2, wobei durch die Bedingung x>0 das -2 wegfällt. Nun setzen wir unseren Punkt P und die Halbachsenlängen a und b in die Tangentengleichung.

Die Tangentengleichung lautet t: 30x – 30y = 150. Vereinfacht t: x-y = 5.


Beispiel 1:

Von einer Ellipse in 1.HL kennt man die Punkte P(6/2) und Q(3/-4).
a) Ermittle die Ellipsengleichung.
Dadurch das die Punkte P und Q Elemente der Ellipse sind, können wir sie einfach in die Ellipsengleichung b²x² + a²y² = a²b² einsetzen. Es entsteht für P die Gleichung 36b² + 4a² = a²b² und für Q 9b² + 16a² = a²b².

d)Schneide die Ellipse mit der Geraden g: y=2x-10.
Wir setzen die Gerade in unsere Ellipsengleichung ein und erhalten 4x² + 9(2x-10)² = 180. Nach Ausrechnen und Umformen erhält man x²-9x+18=0. Einsetzten in die pq-Formel und es ergeben sich die Schnittpunkte x1=6 und x2=3.


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