Kristallogie Zusammenfassung für STudenten

1. Einführung in die Kristallographie

Definitionen:

Geomaterialien: Geomaterialien sind Materialien geologischem Ursprungs bzw. Deren Bildung mit geologischen, planetaren und extraterrestrischen Prozessen im Zusammenhang stehen

Gestein: Als Gestein bezeichnet man eine feste, natürlich auftretende, in der Regel mikroskopisch heterogene (mit freiem Auge jedoch meist einheitlich erscheinende) Vereinigung von Mineralen, Gesteinsbruchstücken, Gläsern oder Rückständen von Organismen

Mineral: Ein Mineral ist ein natürlich vorkommender Festkörper mit einer definierten chemischen (und meist homogenen) Zusammensetzung und einem geordneten atomaren Aufbau (= Kristallstruktur)

Kristall: Unter einem Kristall versteht man einen Festkörper polyedrischer äusserer Erscheinungsform und einer dreidimensional periodischen Anordnung (= Fernordnung) molekularer bzw. atomarer Bausteine. Ein Kristall ist stofflich wie physikalisch einheitlich (homogen), wobei die physikalischen Eigenschaften mit der Raumrichtung variieren können (Anisotropie)

Wortherkunft: Der Begriff Kristall stammt von dem griechischen Wort krystallos, zu kryos „Eiseskälte, Frost, Eis“. Über das lataeinische crystallus hat sich die althochdeutsche Bezeichnung krystallo gebildet, die sich im Laufe der Zeit zu Kristall (Krystall) gewandelt hat

Historisches:

• Johannes Kepler – Erste Ãœberlegungen zu Symmetrie an Schneeflocken

• Niclaus Steno – Erste Systematische Ãœberlegungen zu geometrischen Kristallographie

• Abbe Rene-Just Hauy – Erste Ãœberlegungen zum periodischen Aufau von Kristallen

• Max von Laue – Erster experimenteller Nachweis des atomaren periodischen Aufbaus von Kristallen durch Röntgeninterferenzaufnahmen

Geometrische Kristallographie

Polyedrische äußere Gestalt

Euler´scher Polyedersatz: Ecke+Fläche-Kante = 2

Kristallographische Bezugsysteme

• Kristallograhische Bezugsysteme sind bestimmt durch die sechs metrischen Parameter a, b, c, alpha, beta, gamma, die sich aus den Basisvektoren im 3-Dimensionalem Raum ergeben

• Alpha = y,z Beta=x,z Gamma=x,y Größe=90 Grad

• Achsenrichtungen: Priorität: z > y > x

• Z: immer vertikal (Fixachse)

• Y in der kartesischen y-z-Ebene

• Aufstellung der x-Achse: beliebig, je nach Beta und Gamma

Kristallographische Achsensysteme

• Kubisch a=b=c , a/b/y = 90 Grad

• Tetragonal a=b, a/b/y = 90 Grad

• Orthorhombisch a/b/y = 90 Grad

• Monoklin (einfach geneigt) a/y = 90 Grad, b>90 Grad

• Triklin (dreifach geneigt) a/b/y > 90 Grad

• Hexagonal a=b, a/b=90 Grad, y = 120 Grad (6-zählige Achse)

• Trigonal a=b=c, a/b/y ungleich 90 Grad (3 zählige Achse)

• 7 Kristallsysteme: davon 3 „niedrig symmetrische“ (trkl, mkl, rhb), 3 „wirtelige“ (tetr, hex, trig)

Achsenabschnitte und Millersche Indizes

• m:n:p = 1:-1:1 hkl = 111

• m:n:p = 1:-1:0.5 hkl = 112

• Rationalitätsgesetz: Millersche Indizes entsprechen nur ganzzahligen Werten

• Das relative Verhältnis der Achsenabschnitte entspricht rationalen Zahlen (1, ½, 1/3, ¼, . 1/n)

Bravais-Miller quadruel hkil

• Miller-Bravais Indizes hkil für hexagonale Systeme mit 3 Achsen in einer Ebene

OB:OA = OC:(OA-OC)

OA = 1/h

OB = 1/k

OC= 1/l

I = -(h+k)

Polyeder und Darstellung von Kristallen

• Wulfenit PbMoO4

• Zirkon ZrSiO4

• Olivin (Mg,Fe)2SiO4

• Bleiglanz PbS

• „Wlufsch´sches Netz“

• „Stereographische Projektion“  Lernen!

• Zone und Zonenachse: auftreten paralleler Kanten am Polyeder – Zonenachsenrichtung, Zonenverband (Zone), Zonenkreis

• Schnittgeraden der Flächen eines Zonenverbandes definieren die Zonenachsenrichtung (uvw) mit dem mit dazugehörigem Zonenkreis senkrecht auf die Zonenachse

• Ein Satz von Kristallflächen, deren Schnittgeraden eine gemeinsame Richtung haben werden als Zone oder Zonenverband bezeichnet

• Eine Flächenform hkl ist die Gesamtheit (symmetrie)äquivalenter kristallographischer Einzelflächen

Begriff „Tracht“ und „Habitur“

• Die Gesamtheit der an einem Kristall entwickelten Formen bezeichnet man als Tracht

• Die relative Flächenentwicklung bestimmt den Habitus eines Kristalles

Symmetrie

Mit dem Begriff Symmetrie (alt-griech. „zusammen“ und metron „Maß“) bezeichnet man die Eigenschaft Objekte und Motive auf sich selbst abzubilden und unverändert erscheinen zu lassen

Symmetrieoperation

Zwei Motive sind symmetrisch zueinander, wenn eine Symmetrieoperation existiert, die das eine in das andere räumlich und/oder zeitlich überführt z.B. Spiegelsymmetrie, Rotationssymmetrie, Translationssymmetrie, Asymmetrie

Symmetrieelement

Als Symmetrieelement wird jenes Raumelement (Punkt, Gerade, Ebene oder eine Kombination dieser Elemente) bezeichnet, das bei der Ausführung der Symmetrieoperation auf sich selbst abgebildet wird

Es umfasst alle bezüglich der Symmetrieoperation invarianten Raumpunkte (= Fixpunkte)

Symmetrieoperationen 1. und 2. Ordnung

Symmetrieoperationen 1. Ordnung sind jene Tyen, die einen Punkt, eine Gerade bzw. eine Ebene als invariante Fixpunkte haben, d.h. Zentrosymmetrie, Drehsymmetrie, Spiegelung

Symmetrieoperationen 2. Ordnung sind jene Typen, die sich aus Kombination der Symmetrieoperationen 1. Ordnung ergeben, d.h. Drehspiegelsymmetrie (Drehung und Spiegelung) oder Drehinversionssysmetrie (Drehung und Inversion)

Der Gruppentheorie in der Mathematik entsprechend ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe der Menge aller Kongruenzabbildungen, die das Objekt auf sich selbst abbilden.

Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typ der Symmetriegrupe eines endlichen Körpers, der sich dadurch auszeichnet, dass es einen invarianten Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen auf sich selbst abgebildet wird

Als „kristallographische Punktgruppe („Kristallklasse“) versteht man Punktgruppen, welche sich auf die kristallographischen Symmetrieoperationen beschränken (Drehachsen mit den Zähligkeiten 2,3, 4 und 6