Zusammenfassung Induzier­te Oszillat­ionen und ihre Auswirku­ngen 426 Wörter / ~4½ Seiten Autor Norbert P. im Mai. 2012

Erzwungene Schwingungen

 

Wenn ein schwingungsfähiges System durch periodisch wirkende Kräfte zum Schwingen angeregt wird, spricht man von einer erzwungenen Schwingung.

1)    Erzwungene Schwingung ohne Dämpfung

 

Abbildung 1: Erzwungene Schwingung

Ohne Dämpfung gibt es die Erregeramplitude r und die Erregerschwingung.

Die Bewegung von A verursacht eine periodische Kraft in der Feder, die sie auf den an ihr befestigten Körper mit der Masse m überträgt. Hat der Körper zurzeit t die Auslenkung y aus der Nulllage und ist im gleichen Augenblick der Weg des Aufhängepunkts y₁, beträgt die Verlängerung der Feder, und auf den Körper wirkt die Federrückstellkraft.

Das Grundgesetz der Dynamik liefert:

 oder  

Mit eingesetzter Kreisfrequenz:

Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Als Erregerkraft wirkt eine sich mit der Kreisfrequenz periodisch ändernde Federkraft auf den Pendelkörper.

Als Lösungsansatz für die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung ohne Dämpfung wird verwendet.

Die Konstante kann durch zweimaliges Differenzieren bestimmt werden:

Mit Summensatz :

Diese Gleichung muss für alle gelten, was nur möglich ist, wenn die Werte in den eckigen Klammern 0 sind:

Somit ergeben sich zwei Bestimmungsgleichungen für  und:

Amplitudengröße:

Eingesetzt in den Lösungsansatz ergibt sich das endgültige Weg-Zeit-Gesetz:

Die erzwungene Schwingung verläuft harmonisch mit der Kreisfrequenz ,wie die erregende Kraft. Ihre Amplitude hängt von der erregenden Kreisfrequenz ab. Betrachtet man die angeführte Amplitude  ,sieht man, dass ein Sonderfall auftritt, wenn die erregende Kreisfrequenz den Wert  annimmt. Der Nenner wird 0, was bedeutet, dass die Amplitude theoretisch unendlich groß wird, es besteht Resonanz.

 

Abbildung 2: Resonanzkurve bzw. Phasenverschiebung bei kinetischer Erregung

Abbildung 9 zeigt die Resonanzkurve einer kinetischen Erregung in Abhängigkeit von. Der Ausschlag bei Resonanz wird je nach Größe der Dämpfung stets begrenzt, wenn er auch sehr groß bleibt. Ohne Dämpfung würde der Ausschlag theoretisch unendlich groß werden.  Alle Resonanzkurven beginnen mit horizontaler Tangente und nähern sich bei sehr großem  asymptotisch dem Wert 0. Der Nullphasenwinkel berechnet sich aus:

 

Abbildung 3: Dynamische Erregung

Erfolgt die erzwungene Schwingung durch eine Fliehkrafterregung (à dynamische Erregung), ergibt sich nach Abbildung 10 ergibt sich für die Bewegung der

der Masse m:                       der Masse m₁:

Durch Addieren der Gleichungen erhält man:

Da die statische Vorspannkraft der Feder mit den Gleichgewichtskräften der Massen m₁ und m der Feder im Gleichgewicht steht, verkürzt sich die obige Gleichung. Berücksichtigt man, dass  und sind, und differenzieren man den Ausdruck zweimal, erhält man:

Mit den Abkürzungen

Bekommt die Bewegungsgleichung die Form

Den Nullphasenwinkel berechnet sich mit

 

 

Abbildung 4: Resonanzkurve bei dynamischer Erregung

 

2)    Erzwungene Schwingung mit Dämpfung

 

Abbildung 5: Erzwungene Schwingung

Zusätzlich kommt in die Bewegungsgleichung das Glied hinzu. Dadurch ergibt sich die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung mit Dämpfung:

Nach Lösung der Differentialgleichung ergeben sich folgende Gleichungen:

Amplitudengröße

Wert als Frequenzgang der Amplitude, kur Amplitudengang