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Kurzfassung: Die Lösung zur Einsendeaufgabe MatS-11a/0217-K06 umfasst detaillierte Antworten zu zwei Aufgabentypen: Analyse von Parabeln und das Lösen quadratischer Gleichungen. In der ersten Aufgabe werden verschiedene Parabeln mit ihren Eigenschaften und Scheitelpunkten beschrieben. Die zweite Aufgabe beinhaltet das Vereinfachen und Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisierung und die Anwendung der quadratischen Ergänzung. Studierende erhalten durch den Download ein tiefes Verständnis für die Thematik, können ihre Fähigkeiten im Umgang mit quadratischen Funktionen verbessern und ihre eigenen Lösungsansätze überprüfen.
Einsendeaufgabe:
MatS
11a / 0217 K06
Aufgabe
1:
y
= 8x2
—>
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestreckt und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(0/0).
b)
y = 0,5x2
+ 1
—>
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestaucht und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(0/1).
c)
y = 6x2
- 3
—>
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestreckt und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(0/-3).
d)
y = -(x+5)2
—>
Dies ist eine Normalparabel, welche nach unten geöffnet ist; ihr
Scheitelpunkt liegt bei S(-5/0).
e)
y = -(x-7)2
+ 3
—>
Dies ist eine Normalparabel, welche nach unten geöffnet ist; ihr
Scheitelpunkt liegt bei S(7/3).
f)
y = 1/2 (x+31)2
- 111
—>
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestaucht und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(-31/-111).
g)
y = 47 (x + 1/2)2
- 9
—>
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestreckt und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(-1/2 / -9).
h)
y = -0,8 (x-14)2
+ 4,5
—>
Die Parabel ist nach unten geöffnet, gestaucht und hat ihren
Scheitelpunkt bei S(14/4,5)
Aufgabe
2:
a)
y = -2x2
+ 12x - 15 | : (-2)
<=>
1/2y = x2
- 6x +9 -9 + 7,5
<=>
1/2y = x2
- 6x +9 - 1,5
<=>
1/2y = (x -3)2
- 1,5 | ∙ (-2)
<=>
y = -2 (x -3)2
+ 3
—>
S(3/3)
Anwenden
des vereinfachten Zeichenverfahrens:
Vom
Scheitelpunkt S(3/3)
-2
nach unten, denn (-2) ∙ 1 = -2
-8
nach unten, denn (-2) ∙ 4 = -8
b)
y = 1,5x2
- 6x +2 | :1,5
<=>
2/3y = x2
- 4x + 4 -4 + 4/3
<=>
2/3y = x2
-4x + 4 - 8/3
<=>
2/3y = (x -2)2
- 8/3 | ∙ 1,5
<=>
y = 1,5 (x -2)2
-4
—>
S(2/-4)
Anwenden
des vereinfachten Zeichenverfahrens:
Vom
Scheitelpunkt S (2/-4) aus
1,5
nach oben, denn 1,5 ∙ 1 = 1,5
6
nach oben, denn 1,5 ∙ 4 = 6
Aufgabe
3:
a)
12x +2x2
= 54 |-54
<=>
2x2
+12x -54 = 0 | :2
<=>
x2
+6x +9 -9 -27 = 0
<=>
(x +3)2
- 36 = 0 | +36
<=>
(x +3)2
= 36 | √
<=>
x + 3 = ± 6 | -3
<=>
x = -3 ± 6
<=> x
= 3 ∨ x = -9
b)
x2
= 40 -18x | +18x
<=>
x2
+18x = 40 | -40
<=>
x2
+ 18x -40 = 0
<=>
x2
+18x +81 -81 -40 = 0
<=>
(x +9)2
- 121 = 0 | +121
<=>
(x+9)2
= 121 | √
<=>
x + 9 = ± 11 | -9
<=>
x = -9 ± 11
<=>
x = 2 ∨ x = -20
c)
0,5x (x+24) = 56
<=>
0,5x2
+ 12x = 56 | :0,5
<=>
x2
+ 24x = 112 | -112
<=>
x2
+ 24x -112 = 0
<=>
x2
+24x +144 -144 -112 = 0
<=>
(x+12)2
- 256 = 0 | +256
<=>
(x+12)2
= 256 | √
<=>
x +12 = ±16 | -12
<=>
x = -12 ± 16
<=>
x = 4 ∨ x = -28
d)
56 -2x2
= -24x | +24x
<=>
56 -2x2
+24x = 0 | :(-2)
<=>
x2
-12x -28 = 0
<=>
x2
-12x +36 -36 -28 = 0
<=>
(x +6)2
-64 = 0 | +64
<=>
(x -6)2
= 64 | √
<=>
x -6 = ± 8 | +6
<=>
x = 6 ± 8
<=>
x = 14 ∨ x = -2
e)
x (x +34) = 35
<=>
x2
+34x = 35 | -35
<=>
x2
+34x -35 = 0
<=>
x2
+34x +289 -289 -35 = 0
<=>
(x +17)2
-324 = 0 | +324
<=>
(x +17)2
= 324 | √
<=>
x +17 = ± 18 | -17
<=>
x = -17 ± 18
<=>
x = 1 ∨ x = -35
f)
47 +46x = x2
|
-46x
<=>
x2
- 46x = 47 | -47
<=>
x2
-46x -47 = 0
<=>
x2
-46x +529 -529 -47 = 0
<=>
(x -23)2
- 576 = 0 | +576
<=>
(x -23)2
= 576 | √
<=>
x -23 = ± 24 | +23
<=>
x = 23 ± 24
<=>
x = 47 ∨ x = -1
g)
2x (x -66) = 560
<=>
2x2
-132x = 560 | -560
<=>
2x2
-132x -560 = 0 | :2
<=>
x2
- 66x -280 = 0
<=>
x2
-66x +1089 -1089 -280 = 0
<=>
(x -33)2
- 1369 = 0 | +1369
<=>
(x -33)2
= 1369 | √
<=>
x -33 = ± 37 | +33
<=>
x = 33 ± 37
<=>
x = 70 ∨ x = -4
h) 78x
-160 = -x2 |
+x2
<=>
x2
+78x -160 = 0
<=>
x2
+78x +1521 -1521 -160 = 0
<=>
(x +39)2
- 1681 = 0 | +1681
<=>
(x +39)2
= 1681 | √
<=>
x + 39 = ± 41 | -39
<=>
x = -39 ± 41
<=>
x = 2 ∨ x = -80