Einsendeaufgabe Mathematik für Ökonomen III. MAÖK03-B-XX1-K05

Fallaufgabe

„Mathematik für Ökonomen III“

MAÖK03-B-XX1-K05

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

1)

Die Kurve y = f(x) = x³ + 3x² - 9x - 27 berührt die x-Achse bei x = - 3

Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades.

x³ + 3x² - 9x – 27 = 0                          (Polynomdivision)

 = -3         → (x + 3) = 0

(x³ + 3x² - 9x – 27) : (x + 3) = x² - 9

 

                      

                     

 

x + 3 = 0 │- 3

x = - 3

 = - 3

 = 0

2)

y = f(x) = 2x² + 1

a)

Die Punkte sind:                     P (x│2x² + 1) und Q (x + ∆x│2 (x + ∆x)² + 1)

Die Steigung der Sekante ist:

  =  = (4x + 2∆x)

Bei dem sich ergebenden Ausdruck, handelt es sich um den Differenzenquotienten.

b)

 =  =  =  = 4x = f `(x)

Der Anstieg der Kurve an einer beliebigen Stelle x wird durch den Differenzialquotienten

 = 4x ausgedrückt. Der Punkt P repräsentiert jeden Punkt auf der Kurve, während Q um ∆x Einheiten von P entfernt auf der Kurve liegt.

Da sich der Differenzialquotient von Punkt zu Punkt ändert, kann keine Konstante herauskommen, sondern eine Funktion mit der unabhängigen Variablen x.

c)

 = - 5

f (x) = 2x² + 1

f (- 5) = 2 ∙ (- 5)Â.....[read full text]

† `(≠) = 4≠

† `(- 5) = 4 ∙ (- 5) = - 20

8∞+ 4≈≈†;∞⊥ ⊇∞+ 9∞+=∞ †;∞⊥† +∞; - 20.

⊇)

6∞⊥∞+∞≈ ;≈† ⊇∞+ 4≈≈†;∞⊥ 12 +∞; ∞;≈∞+ 9∞+=∞.

† (≠) = 2≠² + 1

† `(≠) = 4≠

8;∞ 12 ≠;+⊇ ∋;† ⊇∞+ 4+†∞;†∞≈⊥≈†∞≈∂†;+≈ ⊥†∞;≤+⊥∞≈∞†=† ∞≈⊇ ≈∋≤+ ≠ ∋∞†⊥∞†+≈†.

12 = 4≠ /: 4

≠ = 3

3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞≈ +-3∞+†∞≈.

† (3) = 2 ∙ 3² + 1 = 19

3∞; ∞;≈∞∋ 4≈≈†;∞⊥ =+≈ 12 ;≈† ⊇∞+ 0∞≈∂† 0 (3/19).

3)

+ = 8++∞; ≠ = 3+∞;†∞

2 = ≠² ∙ +

2 = (60 – 2+)² ∙ +

2 (+) = 4+³ - 240+² + 3600+

2 `(+) = 12+² - 480+ + 3600 │ :12

            +² - 40+ + 300 = 0

 = 20 ±

 = 30

 = 10

2 `` (+) = 24+ – 480

2 `` (30) = 240 &⊥†; 0      → 9∞+=∞ † `≈†∞;⊥† +∞;          → 4;≈;∋∞∋ (30/0)

8∞+ 4;≈;∋∋†≠∞+† ;≈† ∞≈++∋∞≤++∋+, ⊇∋ ⊇∋≈ 2+†∞∋∞≈ ⊥†∞;≤+ 4∞†† ;≈†.

2 `` (10) = - 240 &††; 0    → 9∞+=∞ † `†=††† +∞;             → 4∋≠;∋∞∋ (10/16000)

2 (10) &††; 0, ∞≈ †;∞⊥† ∋†≈+ ∞;≈ 4∋≠;∋∞∋ =++. 8∞+ 4∋≠;∋∋†≠∞+† ;≈† ++∋∞≤++∋+.

8;∞ 3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞+ ⊥∞∋⊇+∋†;≈≤+∞≈ 6+∞≈⊇††=≤+∞: 60 – 2 ∙ 10 = 40

8∞+ 9∋+†+≈ +∋† ≈+∋;† ∞;≈∞ 3+∞;†∞ =+≈ 40≤∋ ∞≈⊇ ;≈† 10 ≤∋ ++≤+.

8∋≈ 6∋≈≈∞≈⊥≈=∞+∋+⊥∞≈ †;∞⊥† ⊇∋≈≈ +∞; 16.000≤∋³.

4)

3†+≤∂∂+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈: ∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

∋)

9+≈†∞ 4+†∞;†∞≈⊥ =+≈ ∂ (≠) +;†⊇∞≈

∂ `(≠) = 2≠ – 7 -

4∞††≈†∞††∞≈+∞+∞≤+≈∞≈⊥

2≠ – 7 -   = 0 │ ∙ ≠²

2≠³ - 7≠² - 15 = 0

8∋≈ 6∋∂†++;≈;∞+∞≈ ;≈† ≈;≤+† ∋+⊥†;≤+

4≈≠∞≈⊇∞≈⊥ ⊇∞≈ 4∞≠†+≈ 2∞+†∋++∞≈

=  =  = † (≠) / † `(≠)

† (≠) = 2≠³ - 7≠² - 15

† `(≠) = 6≠² - 14≠

 = 4 ;≈† ⊇∞+ ∞≈†≈+∋∋∞≈∞ 3≤+=†=≠∞+† ⊇∞+ 9∞+=∞

=  = 4 -

= 4 -

= 4 – 0,025

= 3,975

 = 3,975 -

= 3,975 -

= 3,974729432

8;∞ 3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞≈ 3∞+†∞≈ ;≈† ∋;† ⊇+∞; 3†∞††∞≈ ≈∋≤+ ⊇∞∋ 9+∋∋∋ ⊥∞≈∋∞ ⊥∞≈∞⊥. 8;∞ 4∞≈⊥∞≈∋≈⊥∋+∞ +∞≈∋⊥†: 4∞≈⊥∞ = 1.000.

4†≈+ 3,974729432 ∙ 1000  3.975

8;∞ 4∞†=∞≈⊥+∞≈=∞ ;≈† ≈+∋;† ∞++∞;≤+† ∞≈⊇ ⊇∋≈ 3†+≤∂∂+≈†∞≈∋;≈;∋∞∋ ≠;+⊇ +∞; ∞;≈∞+ 4∞≈++;≈⊥∞≈⊥≈∋∞≈⊥∞ =+≈ 3.975 3†+≤∂ ∞++∞;≤+†

0∋ ⊇;∞ 0+∞;≈∞≈†∞+⊥+∞≈=∞ =∞ ∞+∋;††∞†≈, ≠;+⊇  ;≈ ⊇;∞ 3†+≤∂∂+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈ ∞;≈⊥∞≈∞†=†.

∂ (3,975) = 11,74920991

8∞+ 4;≈⊇∞≈†⊥+∞;≈ †;∞⊥† ≈+∋;† +∞; 11,75 9∞++, ∞∋ ⊇;∞ 9+≈†∞≈ ⊇∞+≤+ 9+†+≈.....

+)

2∞++∋††∞≈ ⊇∞+ 3†+≤∂∂+≈†∞≈∂∞+=∞ ⊥∞⊥∞≈ 4∞††

∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

1∞ ≈=+∞+ ⊇;∞ 3∞+†∞ ∋≈ 4∞†† †;∞⊥∞≈, ≈†+∞+† ⊇∞+ 6+∋⊥+ †∋≈† ≈∞≈∂+∞≤+† ≈∋≤+ ++∞≈. 8;∞ +-3∞+†∞ ≈†+∞+∞≈ ⊥∞⊥∞≈ ⊥†∞≈ ∞≈∞≈⊇†;≤+, {∞ ∂†∞;≈∞+ ⊇;∞ 3∞+†∞ ≠∞+⊇∞≈.

8∞+ 6+∋⊥+ ∂+∞∞=† ⊇;∞ +- 4≤+≈∞ ≈;≤+†, ≈+≈⊇∞+≈ ≈=+∞+† ≈;≤+ ;++ ≈∞+ ∋≈. 8;∞ +-4≤+≈∞ ;≈† ⊇;∞ 4≈+∋⊥†+†∞ ∞≈⊇ ≠;+⊇ +;∞+ ∋∞≤+ 0+†⊥∞+∋⊇∞ ⊥∞≈∋≈≈†.

≤)

⊥ (≠) = - 5≠ + 40

0+∞;≈-4+≈∋†=-6∞≈∂†;+≈

8;∞ +-4≤+≈∞ =∞;⊥† ⊇;∞ 4∞≈⊥∞ ∞≈⊇ ⊇;∞ ≠-4≤+≈∞ ⊇∞≈ 0+∞;≈.

Berechnung der Absatzelastizität an der Stelle x = 2

Die Funktion wird p (x) nach x umgestellt

x (p) =  + 8

Berechnung der Elastizität: x `= -

Elastizitätskoeffizient:  ∙

X = 2

Durch das Einsetzen in die Funktion p (x) die y- Koordinate ermitteln

P (2) = - 5 ∙ 2 .....

0 (2/30)

9†∋≈†;=;†=†≈∂+∞††;=;∞≈†:  ∙  = - 3

8∋ ;≈ ⊇∞+ 0+∋≠;≈ ≈∞+ ∋;† ∋+≈+†∞†∞≈ 5∋+†∞≈ ⊥∞+∞≤+≈∞† ≠;+⊇, +∞†+=⊥† ⊇;∞ 9†∋≈†;=;†=† 3 ∋≈ ⊇∞+ 3†∞††∞ ≠ = 2.

8;∞ 4∋≤+†+∋⊥∞ +∞∋⊥;∞+† ≈∞++ ∞†∋≈†;≈≤+.

⊇)

6∞≈∞≤+† ≠;+⊇ ⊇;∞ 6∞≈∋∋†⊥∞≠;≈≈†∞≈∂†;+≈ 6 (≠)

9+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈

∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

∂ (≠) = ≠³ - 7≠² + 20≠ + 15

9+†+≈†∞≈∂†;+≈

⊥ (≠) = - 5≠ + 40

9 (≠) = - 5≠² + 40≠

6 (≠) = 9 (≠) – 9 (≠)

6 (≠) = - 5≠² + 40≠ – (≠³ - 7≠² + 20≠ + 15)

6 (≠) = - 5≠² + 40≠ – ≠³ + 7≠² -20≠ -15

6 (≠) = - ≠³ + 2≠² + 20≠ – 15

.....

6 `(≠) = - 3≠² + 4≠ + 20

4∞††≈†∞††∞≈+∞+∞≤+≈∞≈⊥

-3≠² + 4≠ + 20 = 0 │: (-3)

≠² - ≠ -  = 0

⊥⊥ 6++∋∞†

 =  +  =

 =  -  = - 2 (∞≈††=†††)

3∞≠∞;≈: 5≠∞;†∞ 4+†∞;†∞≈⊥ +;†⊇∞≈

6 `` (≠) = - 6≠ + 4

6 `` ) = - 16 &††; 0 → 4∋≠;∋∞∋

8∞+ ∋∋≠;∋∋†∞ 6∞≠;≈≈ †;∞⊥† ∋≈ ⊇∞+ 3†∞††∞  =  

6∞≠;≈≈

6 (10/3) =

= 36,8518515 │∙ 1.000

= 36.851,85

8∞+ ∋∋≠;∋∋†∞ 6∞≠;≈≈ +∞†+=⊥† 36.851,85 9∞++ +∞; ∞;≈∞+ 4∞≈++;≈⊥∞≈⊥≈∋∞≈⊥∞ =+≈  ∙ 1.000 = 3333 3†+≤∂.

5)

Gegebenen Größen: 1990 = 29.580.300 Menschen

                                   2000 = 30.819.068 Menschen

a)

Allgemeine Exponentialfunktion: y= f (t) = a ∙

q = 1 +

30.819.068 = 29.580.300 ∙  │: 29.580.300

1,041878142 =  │In

0,04102499 = ≤ ∙ 10 ∙ 1≈ ∞

0,004102499 = ≤ ∙ 1

≤ = 0,004102499

+ = 29.580.300 ∙

+)

0,004102499 ∙ 100 = 0,4102499 %

8;∞ {=++†;≤+∞ 3∋≤+≈†∞∋≈+∋†∞ †;∞⊥† ≈+∋;† +∞; 0,4 %.

≤)

† (20) = 29.580.300 ∙  = 29.580.300 ∙

= 32109713,29

9≈ ;≈† ;∋ 1∋++ 2010 ∋;† 32.109.713,29 9;≈≠++≈∞+≈ =∞ +∞≤+≈∞≈.

6∋)      

         

            62,5 0++=∞≈† ⊇∞+ 6;≠∂+≈†∞≈ +∞†+∋⊥∞≈ ⊇;∞ 0∞+≈+≈∋†∂+≈†∞≈.

+)       

         

         

         

         

9≈ ≠∞+⊇∞≈ ;≈≈⊥∞≈∋∋† 264.350 9≈≈∞≈ ⊇∞+ 3++†∞ 4++∋∋†∂+≈†, 15.550 ⊇∞+ 3++†∞ 2+††≠∞+†∂+≈† ∞≈⊇ 31.100 ⊇∞+ 3++†∞ 8;=†∂+≈† ⊥++⊇∞=;∞+†.

≤)         264.350 ∙ 2,50 = 660.875

            15.550 ∙ 2,80 = 43.540

            31.100 ∙ 2,10 = 65.310

            8;∞ 9+≈†∞≈ ⊇∞+ 4++∋∋†∂+≈† +∞†∋∞†∞.....

            8;∞ 9+≈†∞≈ ⊇∞+ 2+††≠∞+†∂+≈† +∞†∋∞†∞≈ ≈;≤+ ∋∞† 43.540 9∞++.

            8;∞ 9+≈†∞≈ ⊇∞+ 8;=†∂+≈† +∞†∋∞†∞≈ ≈;≤+ ∋∞† 65.310 9∞++.

            0≈⊇ ⊇;∞ 6∞≈∋∋†∂+≈†∞≈ ∋††∞+ 9≈≈∞≈ +∞†∋∞†∞≈ ≈;≤+ ∋∞† 769.725 9∞++.

⊇)        6;≠∂+≈†∞≈ 578.200 9∞++, 9≈≈∞≈∂+≈†∞≈ 769.725 9∞++, 6∞≈∋∋†∂+≈†∞≈ 1.347.925 9∞++

                

∞)      

            215.668 + 1.347.925 = 1.563.593

            3∞; ∞;≈∞+ 3†∞;⊥∞+∞≈⊥ ⊇∞+ 6∞≈∋∋†∂+≈†∞≈ ∞∋ 16 0++=∞≈† +∞†∋∞†∞≈ ≈;≤+ ⊇;∞ 9+≈†∞≈ ∋.....