Einsendeaufgabe Mathematik für Ökonomen III. MAÖK03-B-XX1-K05

Fallaufgabe

„Mathematik für Ökonomen III“

MAÖK03-B-XX1-K05

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

1)

Die Kurve y = f(x) = x³ + 3x² - 9x - 27 berührt die x-Achse bei x = - 3

Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades.

x³ + 3x² - 9x – 27 = 0                          (Polynomdivision)

 = -3         → (x + 3) = 0

(x³ + 3x² - 9x – 27) : (x + 3) = x² - 9

 

                      

                     

 

x + 3 = 0 │- 3

x = - 3

 = - 3

 = 0

2)

y = f(x) = 2x² + 1

a)

Die Punkte sind:                     P (x│2x² + 1) und Q (x + ∆x│2 (x + ∆x)² + 1)

Die S.....[read full text]

  =  = (4≠ + 2∆≠)

3∞; ⊇∞∋ ≈;≤+ ∞+⊥∞+∞≈⊇∞≈ 4∞≈⊇+∞≤∂, +∋≈⊇∞†† ∞≈ ≈;≤+ ∞∋ ⊇∞≈ 8;††∞+∞≈=∞≈⊥∞+†;∞≈†∞≈.

+)

 =  =  =  = 4≠ = † `(≠)

8∞+ 4≈≈†;∞⊥ ⊇∞+ 9∞+=∞ ∋≈ ∞;≈∞+ +∞†;∞+;⊥∞≈ 3†∞††∞ ≠ ≠;+⊇ ⊇∞+≤+ ⊇∞≈ 8;††∞+∞≈=;∋†⊥∞+†;∞≈†∞≈

 = 4≠ ∋∞≈⊥∞⊇++≤∂†. 8∞+ 0∞≈∂† 0 +∞⊥+=≈∞≈†;∞+† {∞⊇∞≈ 0∞≈∂† ∋∞† ⊇∞+ 9∞+=∞, ≠=++∞≈⊇ 0 ∞∋ ∆≠ 9;≈+∞;†∞≈ =+≈ 0 ∞≈††∞+≈† ∋∞† ⊇∞+ 9∞+=∞ †;∞⊥†.

8∋ ≈;≤+ ⊇∞+ 8;††∞+∞≈=;∋†⊥∞+†;∞≈† =+≈ 0∞≈∂† =∞ 0∞≈∂† =≈⊇∞+†, ∂∋≈≈ ∂∞;≈∞ 9+≈≈†∋≈†∞ +∞+∋∞≈∂+∋∋∞≈, ≈+≈⊇∞+≈ ∞;≈∞ 6∞≈∂†;+≈ ∋;† ⊇∞+ ∞≈∋++=≈⊥;⊥∞≈ 2∋+;∋+†∞≈ ≠.

≤)

 = - 5

† (≠) = 2≠² + 1

† (- 5) = 2 ∙ (- 5)² + 1 = 52

† `(≠) = 4≠

† `(- 5) = 4 ∙ (- 5) = - 20

8∞+ 4≈≈†;∞⊥ ⊇∞+ 9∞+=∞ †;∞⊥† +∞; - 20.

⊇)

6∞⊥∞+∞≈ ;≈† ⊇∞+ 4≈≈†;∞⊥ 12 +∞; ∞;≈∞+ 9∞+=∞.

† (≠) = 2≠² + 1

† `(≠) = 4≠

8;∞ 12 ≠;+⊇ ∋;† ⊇∞+ 4+†∞;†∞≈⊥≈†∞≈∂†;+≈ ⊥†∞;≤+⊥∞≈∞†=† ∞≈⊇ ≈∋≤+ ≠ ∋∞†⊥∞†+≈†.

12 = 4≠ /: 4

≠ = 3

3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞≈ +-3∞+†∞≈.

† (3) = 2 ∙ 3Â.....

3∞; ∞;≈∞∋ 4≈≈†;∞⊥ =+≈ 12 ;≈† ⊇∞+ 0∞≈∂† 0 (3/19).

3)

+ = 8++∞; ≠ = 3+∞;†∞

2 = ≠² ∙ +

2 = (60 – 2+)² ∙ +

2 (+) = 4+³ - 240+² + 3600+

2 `(+) = 12+² - 480+ + 3600 │ :12

            +² - 40+ + 300 = 0

 = 20 ±

 = 30

 = 10

V `` (y) = 24y – 480

V `` (30) = 240 > 0      → Kurve f `steigt bei          → Minimum (30/0)

Der Minimalwert ist unbrauchbar, da das Volumen gleich Null ist.

V `` (10) = - 240 < 0    → Kurve f `fällt bei             → Maximum (10/16000)

V (10) < 0, es liegt also ein Maximum vor. Der Maximalwert ist brauchbar.

Die Berechnung der quadratischen Grundfläche: 60 – 2 ∙ 10 .....

8∞+ 9∋+†+≈ +∋† ≈+∋;† ∞;≈∞ 3+∞;†∞ =+≈ 40≤∋ ∞≈⊇ ;≈† 10 ≤∋ ++≤+.

8∋≈ 6∋≈≈∞≈⊥≈=∞+∋+⊥∞≈ †;∞⊥† ⊇∋≈≈ +∞; 16.000≤∋³.

4)

3†+≤∂∂+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈: ∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

∋)

9+≈†∞ 4+†∞;†∞≈⊥ =+≈ ∂ (≠) +;†⊇∞≈

∂ `(≠) = 2≠ – 7 -

4∞††≈†∞††∞≈+∞+∞≤+≈∞≈⊥

2≠ – 7 -   = 0 │ ∙ ≠²

2≠³ - 7≠² - 15 = 0

8∋≈ 6∋∂†++;≈;∞+∞≈ ;≈† ≈;≤+† ∋+⊥†;≤+

4≈≠∞≈⊇∞≈⊥ ⊇∞≈ 4∞≠†+≈ 2∞+†∋++∞≈

=  =  = † (≠) / † `(≠)

† (≠) = 2≠³ - 7≠² - 15

† `(≠) = 6≠² - 14≠

 = 4 ;≈† ⊇∞+ ∞≈†≈+∋∋∞≈∞ 3≤+=†=≠∞+† ⊇∞+ 9∞+=∞

=  = 4 -

= 4 -

= 4 – 0,025

= 3,975

 = 3,975 -

= 3,975 -

= 3,974729432

8;∞ 3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞≈ 3∞+†∞≈ ;≈† ∋;† ⊇+∞; 3†∞††∞≈ ≈∋≤+ ⊇∞∋ 9+∋∋∋ ⊥∞≈∋∞ ⊥∞≈∞⊥. 8;∞ 4∞≈⊥∞≈∋≈⊥∋.....

4†≈+ 3,974729432 ∙ 1000  3.975

8;∞ 4∞†=∞≈⊥+∞≈=∞ ;≈† ≈+∋;† ∞++∞;≤+† ∞≈⊇ ⊇∋≈ 3†+≤∂∂+≈†∞≈∋;≈;∋∞∋ ≠;+⊇ +∞; ∞;≈∞+ 4∞≈++;≈⊥∞≈⊥≈∋∞≈⊥∞ =+≈ 3.975 3†+≤∂ ∞++∞;≤+†

0∋ ⊇;∞ 0+∞;≈∞≈†∞+⊥+∞≈=∞ =∞ ∞+∋;††∞†≈, ≠;+⊇  ;≈ ⊇;∞ 3†+≤∂∂+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈ ∞;≈⊥∞≈∞†=†.

∂ (3,975) = 11,74920991

8∞+ 4;≈⊇∞≈†⊥+∞;≈ †;∞⊥† ≈+∋;† +∞; 11,75 9∞++, ∞∋ ⊇;∞ 9+≈†∞≈ ⊇∞+≤+ 9+†+≈∞ ⊥∞+∋⊇∞ ∞+∞≈ =∞ ⊇∞≤∂∞≈.

+)

2∞++∋††∞≈ ⊇∞+ 3†+≤∂∂+≈†∞≈∂∞+=∞ ⊥∞⊥∞≈ 4∞††

∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

1∞ ≈=+∞+ ⊇;∞ 3∞+†∞ ∋≈ 4∞†† †;∞⊥∞≈, ≈†+∞+† ⊇∞+ 6+∋⊥+ †∋≈† ≈∞≈∂+∞≤+† ≈∋≤+ ++∞≈. 8;∞ +-3∞+†∞ ≈†+∞+∞≈ ⊥∞⊥∞≈ ⊥†∞≈ ∞≈∞≈⊇†;≤+, {∞ ∂†∞;≈∞+ ⊇;∞ 3∞+†∞ ≠∞+⊇∞≈.

8∞+ 6+∋⊥+ ∂+∞∞=† ⊇;∞ +- 4≤+≈∞ ≈;≤+†, ≈+≈⊇∞+≈ ≈=+∞+† ≈;≤+ ;++ ≈∞+ ∋≈. 8;∞ +-4≤+≈∞ ;≈† ⊇;∞ 4≈+∋⊥†+†∞ ∞≈⊇ ≠;+⊇ +;∞+ ∋∞≤+ .....

≤)

⊥ (≠) = - 5≠ + 40

0+∞;≈-4+≈∋†=-6∞≈∂†;+≈

8;∞ +-4≤+≈∞ =∞;⊥† ⊇;∞ 4∞≈⊥∞ ∞≈⊇ ⊇;∞ ≠-4≤+≈∞ ⊇∞≈ 0+∞;≈.

3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞+ 4+≈∋†=∞†∋≈†;=;†=† ∋≈ ⊇∞+ 3†∞††∞ ≠ = 2

8;∞ 6∞≈∂†;+≈ ≠;+⊇ ⊥ (≠) ≈∋≤+ ≠ ∞∋⊥∞≈†∞†††

≠ (⊥) =  + 8

3∞+∞≤+≈∞≈⊥ ⊇∞+ 9†∋≈†;=;†=†: ≠ `= -

9†∋≈†;=;†=†≈∂+∞††;=;∞≈†:  ∙

5 = 2

8∞+≤+ ⊇∋≈ 9;≈≈∞†=∞≈ ;≈ ⊇;∞ 6∞≈∂†;+≈ ⊥ (≠) ⊇;∞ +- 9+++⊇;≈∋†∞ ∞+∋;††∞†≈

0 (2) = - 5 ∙ 2 + 40 = 30

0 (2/30)

9†∋≈†;=;†=†≈∂+∞††;=;∞≈†:  ∙  = - 3

8∋ ;≈ ⊇∞+ 0+∋≠;≈ ≈∞+ ∋;† ∋+≈+†∞†∞≈ 5∋+†∞≈ ⊥∞+∞≤+≈∞† ≠;+⊇, +∞†+=⊥† ⊇;∞ 9†∋≈†;=;†=† 3 ∋≈ ⊇∞+ 3†∞††∞ ≠ = 2.

8;∞ 4∋≤+†+∋⊥∞ .....

⊇)

6∞≈∞≤+† ≠;+⊇ ⊇;∞ 6∞≈∋∋†⊥∞≠;≈≈†∞≈∂†;+≈ 6 (≠)

9+≈†∞≈†∞≈∂†;+≈

∂ (≠) = ≠² - 7≠ + 20 +

∂ (≠) = ≠³ - 7≠² + 20≠ + 15

9+†+≈†∞≈∂†;+≈

⊥ (≠) = - 5≠ + 40

9 (≠) = - 5≠² + 40≠

6 (≠) = 9 (≠) – 9 (≠)

6 (≠) = - 5≠² + 40≠ – (≠³ - 7≠² + 20≠ + 15)

6 (≠) = - 5≠² + 40≠ – ≠³ + 7≠² -20≠ -15

6 (≠) = - ≠³ + 2≠² + 20≠ – 15

9+≈†∞ 4+†∞;†∞≈⊥ +;†⊇∞≈

6 `(≠) = - 3≠² + 4≠ + 20

4∞††≈†∞††∞≈+∞+∞≤+≈∞≈⊥

-3≠² + 4≠ + 20 = 0 │: (-3)

x² - x -  = 0

pq Formel

 =  +  =

 =  -  = - 2 (entfällt)

Beweis: Zweite Ableitung bilden

G `` (x) = - 6x + 4

G `` ) = - 16 < 0 → Maximum

Der maximale Gewinn liegt an der Stelle  =  

6∞≠;≈≈

6 (10/3) =

= 36,8518515 │∙ 1.000

= 36.851,85

8∞+ ∋∋≠;∋∋†∞ 6∞≠;≈≈ +∞†+=⊥† 36.851,85 9∞++ +∞; ∞;≈∞+ 4∞≈++;≈⊥∞≈⊥≈∋∞≈⊥∞ =+≈  ∙ 1.000 = 3333 3†+≤∂.

5)

6∞⊥∞+∞≈∞≈ 6++ß∞≈: 1990 = 29.580.300 4∞≈≈≤+∞≈

                                   2000 = 30.819.068 4∞≈≈≤+∞≈

∋)

4††⊥∞∋∞;≈∞ 9≠⊥+≈∞≈†;∋††∞≈∂†;+≈: += † (†) = ∋ ∙

⊥ = 1 +

30.819.068 = 29.580.300 ∙  │: 29.580.300

1,041878142 =  │1≈

0,04102499 = ≤ ∙ 10 ∙ 1≈ ∞

0,004102499 = ≤ ∙ 1

≤ = 0,004102499

+ = 29.580.300 ∙

+)

0,004102499 ∙ 100 = 0,4102499 %

8;∞ {=++†;≤+∞ 3∋≤+≈†∞∋≈+∋†∞ †;∞⊥† ≈+∋;† +∞; 0,4 %.

≤)

† (20) = 29.580.300 ∙  = 29.580.300 ∙

= 32109713,29

9≈ ;≈† ;∋ 1∋++ 2010 ∋;† 32.109.713,29 9;≈≠++≈∞+≈ =∞ +∞≤+≈∞≈.

6∋)      

         

            62,5 0++=∞≈† ⊇∞+ 6;≠∂+≈†∞≈ +∞†+∋⊥∞≈ ⊇;∞ 0∞+≈+≈∋†∂+≈†∞≈.

+)       

         

         

         

         

Es werden insgesamt 264.350 Essen der Sorte Normalkost, 15.550 der Sorte Vollwertkost und 31.100 der Sorte Diätkost produziert.

c)         264.350 ∙ 2,50 = 660.875

            15.550 ∙ 2,80 = 43.540

            31.100 ∙ 2,10 = 65.310

            Die Kosten der Normalkost belaufen sich auf 660.875 Euro.

            Die Kosten der Vollwertkost belaufen sich auf 43.540 Euro.

            Die Kosten der Diätkost belaufen sich auf 65.310 Euro.

            Und die Gesamtkosten aller Essen belauf.....

⊇)        6;≠∂+≈†∞≈ 578.200 9∞++, 9≈≈∞≈∂+≈†∞≈ 769.725 9∞++, 6∞≈∋∋†∂+≈†∞≈ 1.347.925 9∞++

                

∞)      

            215.668 + 1.347.925 = 1.563.593

            3∞; ∞;≈∞+ 3†∞;⊥∞+∞≈⊥ ⊇∞+ 6∞≈∋∋†∂+≈†∞≈ ∞∋ 16 0++=∞≈† +∞†∋∞†∞≈ ≈;≤+ ⊇;∞ 9+≈†∞≈ ∋.....