Fallaufgabe
„Mathematik für Ökonomen III“
MAÖK03-B-XX1-K05
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
1)
Die Kurve y = f(x) = x³ + 3x² - 9x - 27 berührt die x-Achse bei x = - 3
Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades.
x³ + 3x² - 9x – 27 = 0 (Polynomdivision)
= -3 → (x + 3) = 0
(x³ + 3x² - 9x – 27) : (x + 3) = x² - 9
x + 3 = 0 │- 3
x = - 3
= - 3
= 0
2)
y = f(x) = 2x² + 1
a)
Die Punkte sind: P (x│2x² + 1) und Q (x + ∆x│2 (x + ∆x)² + 1)
Die Steigung der Sekante ist:
= = (4x + 2∆x)
Bei dem sich ergebenden Ausdruck, handelt es sich um den Differenzenquotienten.
b)
= = = = 4x = f `(x)
Der Anstieg der Kurve an einer beliebigen Stelle x wird durch den Differenzialquotienten
= 4x ausgedrückt. Der Punkt P repräsentiert jeden Punkt auf der Kurve, während Q um ∆x Einheiten von P entfernt auf der Kurve liegt.
Da sich der Differenzialquotient von Punkt zu Punkt ändert, kann keine Konstante herauskommen, sondern eine Funktion mit der unabhängigen Variablen x.
c)
= - 5
f (x) = 2x² + 1
f (- 5) = 2 ∙ (- 5)² + 1 = 52
f `(x) = 4x
f `(- 5) = 4 ∙ (- 5) = - 20
Der Anstieg der Kurve liegt bei - 20.
d)
Gegeben ist der Anstieg 12 bei einer Kurve.
f (x) = 2x² + 1
f `(x) = 4x
Die 12 wird mit der Ableitungsfunktion gleichgesetzt und nach x aufgelöst.
12 = 4x /: 4
x = 3
Berechnung des y-Wertes.
f (3) = 2 ∙ 3² + 1 = 19
Bei einem Anstieg von 12 ist der Punkt P (3/19).
3)
y = Höhe; x = Breite
V = x² ∙ y
V = (60 – 2y)² ∙ y
V (y) = 4y³ - 240y² + 3600y
V `(y) = 12y² - 480y + 3600 │ :12
y² - 40y + 300 = 0
= 20 ±
= 30
= 10
V `` (y) = 24y – 480
V `` (30) = 240 > 0 → Kurve f `steigt bei → Mini.....[Volltext lesen]
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Es ist im Jahr 2010 mit 32.109.713,29 Einwohnern zu rechnen.
6a)
62,5 Prozent der Fixkosten betragen die Personalkosten.
b)
Es werden insgesamt 264.350 Essen der Sorte Normalkost, 15.550 der Sorte Vollwertkost und 31.100 der Sorte Diätkost produziert.
c) 264.350 ∙ 2,50 = 660.875
15.550 ∙ 2,80 = 43.540
31.100 ∙ 2,10 = 65.310
Die Kosten der Normalkost belaufen sich auf 660.875 Euro.
Die Kosten der Vollwertkost belaufen sich auf 43.540 Euro.
Die Kosten der Diätkost belaufen sich auf 65.310 Euro.
Und die Gesamtkosten aller Essen belaufen sich auf 769.725 Euro.
d) Fixkosten 578.200 Euro, Essenkosten 769.725 Euro, Gesamtkosten 1.347.925 Euro
e)
215.668 + 1.347.925 = 1.563.593
Bei einer Steigerung der Gesamtkosten um 16 Prozent belaufen sich die Kosten .....