Aufgabe 1
a) f(x)
= (x - 2)² - 4
0 = (x - 2)² - 4 | + 4
4
= (x - 2)² | √
√
4 = x - 2
±
2
= x - 2 | +2
±
2
+ 2 = x
x1
= 4
x2
= 0
b) g(x)
= x² - 6x + 8
x12
= 3 ±
√
(-3)² - 8
x12
= 3 ±
√
9 - 8
x12
= 3 ±
√
1
x12
= 3 ±
1
x1
= 2
x2
= 4
c) h(x)
=
- 2x² + 8x - 8 | : -2
h(x)
= x² - 4x + 4
x12
= 2 ±
√
(-2)² - 4
x12
= 2 ±
√
4 - 4
x12
= 2 ±
√
0
x12
= 2 ±
0
x12
= 2
Aufgabe
2
a) 0,25x² = 49 |
: 0,25
x² = 196 | √
x = √196
x
= 14
b) 0,8x² + 4x =
40 | - 40
0,8x² + 4x - 40 =
0 | : 0,8
x² + 5x - 50 = 0
x12
=
- 2,5 ±
√
2,5² + 50
x12
=
- 2,5 ±
√
6,25 + 50
x12
=
- 2,5 ±
√
56,25
x12
=
- 2,5 ±
7,5
x1
= 5
x2
= - 10
c) (13,5 + 0,75x) ·
x = - 24
13,5x + 0,75x² = -
24 | + 24
0,75x² + 13,5x +
24 = 0 | : 0,75
x² + 18x + 32 = 0
x12
=
- 9 ±
√
9² - 32
x12
=
- 9 ±
√
81 - 32
x12
=
- 9 ±
√
49
x12
=
- 9 ±
7
x1
= - 2
x2
= - 16
Aufgabe
3
g(x)
= x² - 6x + 8 ← In der Zeichnung in Rot dargestellt
h(x)
=
- 2x² + 8x - 8 ← In der Zeichnung in Blau dargestellt
Ermittlung der
Scheitelpunktform
g(x) y
= x² - 6x + 8
y = x² - 6x + 9 -
9 + 8
y
= (x - 3)² - 1
h(x)
y = - 2x² + 8x - 8 | : -2
- 0,5y = x² - 4x +
4
- 0,5y = x² - 4x +
4 - 4 + 4
- 0,5y = (x -
2)² | · -2
y
= - 2 (x - 2)²
Ermittlung der
Schnittpunkte
x² - 6x + 8 = -2x²
+ 8x - 8 | + 2x² | - 8x | + 8
3x² - 14x + 16 =
0 | : 3
0
= x² -
x
+
|
p - q Formel
x12
=
±
√
x12
=
±
√
-
x12
=
±
√
x12
=
±
x1
=
≈
2,6
x2
=
=
2
Einsetzen
von x1
und x2
in g(x)
x1) ²
- 6 ·
+
8 = -≈
- 0,8 P1
(2,6 | - 0,8)
x2) 2²
- 6 · 2 + 8 = 0 P2
( 2 | 0)
Die
Schnittpunkte von g(x)
und h(x)
liegen bei P1
(2,6 | - 0,8) und P2
( 2 | 0)
Aufgabe
4
+
2x = 3 | · x
1 + 2x² = 3x | -
3x
2x² - 3x + 1 =
0 | : 2
x² - 1,5x + 0,5 =
0 | p - q Formel
x12
=
0,75 ±
√
-0,75² - 0,5
x12
=
0,75 ±
√
0,5625 - 0,5
x12
=
0,75 ±
√
0,0625
x12
=
0,75 ±
0,25
x1
= 1
x2
= 0,5
Die
Lösungen dieser Bruchgleichung betragen x1
= 1 und x2
= 0,5
Aufgabe
5
1)
2)
Da das Verhältnis zwischen Höhe und Strecke hier gleichmäßig
proportional verläuft, kann man folgenden Term festlegen:
Das Maximum der
Fläche A wird gesucht.
A = a · b
3) s (h - b) = a ·
h
40 (60 - b) = a ·
60
2400 - 40b = 60a |
: 60
a
= 40 -
b
A(b)
= (40 -
b)
· b
A(b)
= 40b -
b²
A(b)
= -b²
+ 40b
4) D
= {b ∈
ℝ | 0 < b < 60}
5) y
= -b²
+ 40b | : -
-1,5y = b² - 60b
-1,5y = b² - 60b +
900 - 900
-1,5y
= (b - 30)² - 900 | · -
y
= -(b
- 30)² + 600
6) Der Scheitelpunkt
der Parabel liegt bei (30 | 600)
Daraus
folgt: Der Flächeninhalt ist Maximal wenn b = 30cm. In dem Fall ist
der
Flächeninhalt
A = 600cm²
Ermittlung des
fehlenden Werts a
a
= 40 -·
30
a = 20
Bei
einer Maximierung des Flächeninhalts A aus a · b beträgt a = 20 cm
Aufgabe
6
p(x)
= 2 -
x ←
Preisfunktion D = {b ∈
ℕ | 1 <
b <
25}
a) Für je 3 Stück
erhalten Sie einen Rabatt von 1 Cent pro Stück, bis zu einer
maximalen
Abnahmemenge von
250 Stück.
oder
Für je 6 Stück
erhalten sie einen Rabatt von 1% auf den Kaufpreis, bis zu einer
maximalen
Abnahmemenge von
250 Stück.
b) p(x)
= 2 -
·
60
p(x)
= 1,80 €
In
der Rechnung taucht der Preis von 1,80€ pro Stück auf.
c) E(x)
= x · (2 -
·
x) = -
x²
+ 2x ← Einnahmefunktion
Einsetzen von 150
für x:
E(150)
= -
·
150² + 2 · 150
E(150)
= 225
Die
Einnahmen belaufen sich bei einer Bestellmenge von 150 Stück auf 225
€
d) K(x)
= x + 50 ← Kostenfunktion
e) G(x)
= (-
x²
+ 2x) - (x + 50)
G(x)
= -
x²
+ x - 50 ← Gewinnfunkion
Errechnung des
maximalen Gewinns:
y
= -
x²
+ x - 50 | : -
- 300y = x² - 300x
+ 15000
- 300y = x² - 300x
+ 22500 - 22500 + 15000
-
300y = (x - 150)² - 7500 | · -
y
= -
(x
- 150)² + 25
Der
maximale Gewinn wird bei 150 verkauften Stück erzielt und beträgt
dann 25 €.
f) 0
= -
x²
+ x - 50 | : -
0 = x² - 300x +
15000 | p - q Formel
x12
=
150 ±
√
150² - 15000
x12
=
150 ±
√
22500 - 15000
x12
=
150 ±
√
7500
x12
=
150 ±
86,60
x1
≈ 236,60 ≈ 236
x2
≈ 63,40 ≈ 64
Die Grenzen der
Gewinnzone liegen bei diesem Preismodell zwischen 64 und 236
verkauften Stück. Damit macht das Unternehmen bei allen Stückzahlen
außerhalb dieses
Bereiches Verluste
- womit dieses Preismodell für das Unternehmen sehr ungünstig ist
und dringend
überdacht werden sollte.