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Kurzfassung: Die Lösung zur Einsendeaufgabe MatS-9-XX1-K06 umfasst detaillierte Schritte zum Umstellen und Lösen von Gleichungen. Sie enthält Lösungswege für lineare Gleichungssysteme, das Beseitigen von Brüchen und das Anwenden des Subtraktions- und Additionsverfahrens. Studierende erhalten klare Anleitungen, wie sie x- und y-Werte berechnen und überprüfen können, was ihnen hilft, Zeit zu sparen und Fehler zu vermeiden. Der Download der Musterlösung ermöglicht ein effizientes Nachvollziehen der Aufgabenbearbeitung.
Einsendeaufgabe:
MatS
9-XX1-K06
Aufgabe
1:
a)
3x + 4y = 1
5x = 2y - 7
=>
zweite
Gleichung mit 2 multiplizieren
5x
= 2y - 7 | ∙ 2
10x
= 4y - 14
=>
umstellen:
4y
= 10x + 14 erste
Gleichung umstellen:
4y = 1 - 3x
=>
Gleichsetzen:
10x
+ 14 = 1 - 3x | +3x
<=>
13x + 14 = 1 | - 14
<=>
13x = - 13 | : 13
<=>
x = -1
=>
Einsetzen
in beide Gleichungen zur Kontrolle:
4y
= 10 ∙ (-1) + 14 4y = 1 - 3 ∙ (-1)
<=>
4y = - 10 + 14 <=> 4y = 1 + 3
<=>
4y = 4 | :4 <=> 4y = 4 | :4
<=>
y = 1 <=> y = 1
=>
Lösung:
x = -1 ∧ y = 1
b)
1/4x - 3/20y = 1/2
-
3/8x + 4/5y = 5
=>
Brüche beseitigen:
1/4x
- 3/20y = 1/2 | ∙ 20
<=>
5x - 3y = 10
-3/8x
+ 4/5y = 5 | ∙ 40
<=>
-15x + 32y = 200
=>
erste
Gleichung mit 3 multiplizieren und anschließend beide Gleichungen
umstellen:
5x
-3y = 10 | ∙ 3
<=>
15x - 9y = 30
—>
15x = 30 + 9y
Zweite
Gleichung:
-15x = 200-32y —> 15x = -200 + 32y
=>
Gleichsetzen:
30 + 9y = - 200 + 32y | -9y
<=>
30 = - 200 + 23y | + 200
<=>
230 = 23y | : 23
<=>
y = 10
=>
Ergebnis
in beide Gleichungen einsetzen:
15x = 30 + 9 ∙ 10
<=>
15x = 30 + 90
<=>
15x = +120 | : 15
<=>
x = 8
15x = - 200 + 32 ∙ 10
<=>
15x = - 200 + 320
<=>
15x = 120 | : 15
<=>
x = 8
=>
Lösung:
x = 8 ∧ y = 10
Aufgabe
2:
9
- x = 3y
2x
+ 2y = 2
=>
erste Gleichung umstellen:
-
x = 3y - 9 —> x = -3y + 9
=>
erste
Gleichung in zweite einsetzen:
2
∙ (-3y + 9) + 2y = 2
<=>
-6y + 18 + 2y = 2
<=>
4y + 18 = 2 | -18
<=>
4y = -16 | : (-4)
<=>
y = 4
=>
x-Wert
berechnen durch y-Wert einsetzen in erste Gleichung:
x
= - 3 ∙ 4 + 9
<=>
x = - 12 + 9
<=>
x = -3
=>
Probe:
9
- (-3) = 3 ∙ 4 2 ∙ (-3) + 2 ∙ 4 = 2
<=>
9 + 3 = 12 <=> - 6 + 8 = 2
<=>
12 = 12 <=> 2 = 2
=>
Lösung:
x = -3 ∧ y = 4
b)
1/3x
+ 2/7y = 6
3y
- 7x = 0
=>
erste Gleichung mit 3 multiplizieren:
1/3x
+ 2/7y = 6 | ∙ 3
<=>
x + 6/7y = 18
=>
Gleichung
umstellen und anschließend in die zweite einsetzen:
x
= 18 - 6/7
3y
- 7 ∙ (18 - 6/7) = 0
<=>
3y - 126 + 6y = 0
<=>
9y - 126 = 0 | +126
<=>
9y = 126 | :9
<=>
y = 14
=>
x-Wert
berechnen durch einsetzen des y-Wertes:
x
= 18 - 6/7 ∙ 14
<=>
x = 18 - 12
<=>
x = 6
=>
Probe:
1/3
∙ 6 + 2/7 ∙ 14 = 6 3 ∙ 14 - 7 ∙ 6 = 0
<=>
2 + 4 = 6 <=> 42 - 42 = 0
<=>
6 = 6 <=> 0 = 0
=>
Lösung:
x
= 6 ∧ y = 14
Aufgabe
3:
15x
- 17y = 11
25x
+ 4y = 83
=>
x soll betragsgleiche Koeffizienten erhalten:
=>
15x -17y = 11 | ∙ 5
<=>
75x - 85y = 55
=>
25x + 4y = 83 | ∙ 3
<=>
75x + 12y = 249
=>
Subtraktionsverfahren:
75x
+ 85y = 55
(—) 75x
+ 12y = 249
———————————
-97y = -194 | :(-97)
y = 2
=>
Einsetzen in beide Gleichungen:
15x
- 17 ∙ 2 = 11
<=>
15x - 34 = 11 | + 34
<=>
15x = 45 | :15
<=>
x = 3
25x
+ 4 ∙ 2 = 83
<=>
25x + 8 = 83 | - 8
<=>
25x = 75 | : 25
<=>
x = 3
=>
Lösung:
x = 3 ∧ y = 2
b)
1/7x
- 3/4y = 16
-
3/14x + 1/5y = -5,5
=>
Brüche beseitigen:
1/7x
- 3/4y = 16 | ∙ 28
<=>
4x - 21y = 446
-3/14x
+ 1/5y = -5,5 | ∙ 70
<=>
-15x + 14y = - 385
=>
y soll betragsgleiche Koeffizienten erhalten:
=>
4x - 21y = 446 | ∙ 2
<=>
8x - 42y = 896
=>
-15x + 14y = -385 | ∙ 3
<=>
-45x + 42y = -1155
=>
Additionsverfahren:
8x - 42y = 896
(+)
-45x + 42y = - 1155
————————————-
-
37x = - 259 | : (-37)
x = 7
=>
Einsetzen in beide Gleichungen:
4
∙ 7 - 21y = 448 - 15 ∙ 7 + 14y = -385
<=>
28 - 21y = 448 | - 28 <=> - 105 + 14y = -385 |
+105
<=>
- 21y = 420 | : (-21) <=> 14y = -280
| :14
<=>
y = - 20 <=> y = - 20
=>
Lösung:
x = 7 ∧ y = -20
Aufgabe
4:
a)
x + y = 38
x
∙ 4 - 12 = y ∙ 3
=>
erste Gleichung mit 4 multiplizieren und zweite Gleichung umstellen:
x + y = 38 | ∙ 4
<=>
4x + 4y = 152
=>
x ∙ 4 - 12 = y ∙ 3 —> 4x - 3y = 12
=>
Subtraktionsverfahren:
4x + 4y = 152
(—)
4x - 3y = 12
——————————
7y = 140 | :7
y = 20
=>
In beide Gleichungen einsetzen:
4x
+ 4 ∙ 20 = 152
<=>
4x + 80 = 152 | - 80
<=>
4x = 72 | :4
<=>
x = 18
4x
- 3 ∙ 20 = 12
<=>
4x - 60 = 12 | + 60
<=>
4x = 72 | :4
<=>
x = 18
=>
Lösung:
x = 18 ∧ y = 20 . Die Differenz der beiden Zahlen beträgt 2.
b)
x = Alter des Vaters , y = Alter des Sohnes
x
- 1 = 3(y-1)
x
- 9 = 5(y-9)
=> x
- 1 = 3y -3
x
- 9 = 5y - 45
=>
Gleichungen umstellen und Subtraktionsverfahren anwenden:
x
- 3y = -2
(—)
x - 5y = -36
————————-
2y = 34 | :2
y = 17
=>
Einsetzen in beide Gleichungen:
x
- 3 ∙ 17 = -2
<=>
x - 51 = -2 | +51
<=>
x = 49
x
- 5 ∙ 17 = -36
<=>
x - 85 = -36 | +85
<=>
x = 49
=>
Lösung:
x = 49 ∧ y = 17. Der Vater ist 49 und der Sohn 17.
c)
(I)
x + y + z = 20
(II)
z = 3y
(III)
x = 5 + y
=>
(II) + (III) in (I) einsetzen:
5
+ y + y + 3y = 20
<=>
5 + 5y = 20 | - 5
<=>
5y = 15 | :5
<=>
y = 3
=>
y einsetzen:
z
= 3 ∙ 3 = 9
x
= 5 + 3 = 8
=>
8 + 3 + 9 = 20
=>
Lösung:
x = 8 ∧ y = 3 ∧ z = 9 . Die Zahl 839 ist gesucht.
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