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Der Regenbogen

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Final thesis
Physics

University, School

Bg/Brg Mössingerstraße Klagenfurt

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Der Regenbogen 8A


Kennzeichen des Regenbogens


Das auffälligste Merkmal ist der Hauptregenbogen. Die Reihenfolge der Farben ist hier immer gleich. Von Violett ganz innen über Blau, Grün, Gelb, Orange und schließlich ganz außen Rot.

Leicht darüber kann man am Himmel einen zweiten Bogen erkennen, den Nebenregenbogen. Dieser ist allerdings im Vergleich nicht so intensiv und seine Farbreihenfolge ist genau umgekehrt zum Hauptregenbogen.

Wenn man ihn nun genauer betrachtet, sieht man, dass das Gebiet am Himmel zwischen den Haupt- und Nebenregenbogen etwas dunkler ist verglichen mit dem Rest des Himmels. Dieses Gebiet wird Alexander Band (Nach den griechischen Philosophen Alexander von Aphrodisias, der dieses Merkmal erstmals ca. 200 v. Chr. niederschrieb) genannt.

Ein weiteres Merkmal, welches nur manchmal auftritt, ist eine Reihe von schwachen Bändern (meist lilafarben) an der inneren Seite des Hauptregenbogens und mit geringerer Intensivität an der Außenseite des Nebenregenbogens. Diese nennt man überzählige Bögen.


Geometrische Optik


Grundsätzlich sehen wir einen Regenbogen dann, wenn die hinter uns stehende Sonne eine Regenwand vor uns beleuchtet. Das weiße Sonnenlicht wird an einer „Wand“ aus fallenden Tropfen reflektiert und in seine Spektralfarben zerlegt.

Der Hauptregenbogen entsteht durch Sonnenstrahlen, die in den Tropfen eindringen und an der inneren Oberfläche reflektiert werden.

Der Nebenregenbogen entsteht durch Strahlen, die zwei innere Reflexionen durchmachen. Da bei jeder Reflexion Licht verloren geht, ist dieser Bogen schwächer.


Man kann den Haupt- und Nebenregenbogen mit Hilfe von Reflexion und Brechung erklären.

Reflexion: Einfallswinkel = Reflexionswinkel

Brechung: Die Eigenschaften des Lichtes und des Mediums müssen hier beachtet werden. Im Vergleich zu einem Vakuum ist die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Medium geringer. Wichtig für die Brechung ist der Brechungsindex der Substanz (gibt das Verhältnis der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und in der Substanz an).


Man betrachtet einen Lichtstrahl auf dem Weg von P (-1|1) nach Q (1|-1), der an der x-Achse gebrochen wird.


v1 … Geschwindigkeit des Lichtes für y > 0

v2 … Geschwindigkeit des Lichtes für y < 0

ɑ1 … Einfallswinkel

ɑ2 … Brechungswinkel


Vom Medium mit v1 zum Medium mit v2.


Brechungsgesetz nach Snellius



Der Lichtstrahl durchstößt die Trennfläche der Medien im Punkt S (x|0).

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→rechtwinkelige Dreiecke


Folgende Strecke wird zurückgelegt (Pythagoras):



Die Brechungswinkel α1 und α2 hängen von S (x|0) ab:

α1(x), α2(x).


Der Lichtstrahl soll jetzt den Weg in minimaler Zeit zurücklegen.

T(x)… Gesamtzeit



Zur Berechnung des Extrems setzten wir

Wir setzen die 1.Ableitung = 0



R… Brechungsindex


Der Sinus des Einfallswinkels ist im konstanten Verhältnis zum Sinus des Brechungswinkels.


Um den Weg eines Lichtstrahles durch einen Regentropfen mit Hilfe von Brechung und Reflexion zu bestimmen, braucht man den Abstand des einfallenden Lichtstrahles von den Achsen, die man sich durch den Mittelpunkt des Tropfens vorstellt. Dieser Abstand wird Stoßparameter genannt.


Haupt- und Nebenregenbogen


Wenn ein Lichtstrahl auf einen Tropfen fällt, wird er teilweise reflektiert (gestreute Strahlen der 1. Klasse). Der Rest dringt weiter in den Tropfen ein. Wenn er nun wieder an die Oberfläche stößt, wird wieder ein Teil an die Luft durchgelassen (2. Klasse) und ein Teil wird wieder reflektiert.

Strahlen der 3. Klasse, welche nach einer einmaligen inneren Reflexion wieder aus dem Tropfen heraustreten, bilden den Hauptregenbogen. Die Strahlen der 4. Klasse treten nach zweimaliger innerer Reflexion aus dem Tropfen und erzeugen den Nebenregenbogen.


Nachdem das Sonnenlicht den Tropfen bei allen verschiedenen Stoßparametern (= Abstand des einfallenden Lichtstrahles von der Achse, die man sich durch den Mittelpunkt des Tropfens vorstellt) trifft, wird das Licht in alle Richtungen gestreut.


Hauptregenbogen


Berechnung vom Streuwinkel (zwischen der Richtung des einfallenden Strahls und den austretenden Strahl) des Hauptregenbogens.


… Einfallswinkel

… Brechungswinkel (Winkel zwischen gebrochenen Strahl und Lot)

gleichschenkelige Dreiecke


Der Winkel geht aber von der Horizontalen aus gesehen nach unten → negativer Wert.


Nach den Snellius’schen Brechungsgesetz gilt:



Um nun den maximalen Streuwinkel zu erhalten, müssen wir die 1.Ableitung bilden:


/ :(-2)


/2


/:3 ; /


Für rotes Licht R=1,331 (zwischen Wasser und Luft))

=59,5° → Winkel unter dem die meisten Strahlen gestreut werden.


Wir wollen nun feststellen ob bei θ ein Minimum oder Maximum vorliegt. Die erste Ableitung stellt die Steigung der ursprünglichen Kurve dar.

Befindet sich bei ein Maximum, so verhält es sich genau umgekehrt.


Bei Minimum:


… neuer Wert



Bei liegt ein Minimum vor.


Wir sehen den Hauptregenbogen ungefähr unter einem Winkel von 180°-42°=138° und den Nebenregenbogen unter 180°-50°=130°.


Ein auf den Tropfen fallender Strahl, der von der Mittelachse so weit entfernt ist, dass sein Teilstrahl 3. Klasse den Tropfen unter dem kleinstmöglichen Streuwinkel verlässt, wird cartesischer Strahl des Hauptregenbogens genannt (analog wird er für den Nebenregenbogen definiert).

Die Konzentration des gestreuten Lichtes ist da am größten, wo der Streuwinkel trotz der Änderung des Stoßparameters am wenigsten variiert. Die Region der geringsten Veränderung liegt rund um ein Minimum oder Maximum.


Strahlen der 3.Klasse kann man als Kaustik betrachten. Eine Kaustik ist die Hülle eines Systems von Strahlen und steht immer in Verbindung mit einem Intensitätsmaximum. es hat generell eine dunklere und eine hellere Seite. Beim Regenbogen ist diese Konzentration von Helligkeit eine Kaustik und das Alexander Band stellt die dunklere Seite dar.


Farbe


Das weiße Licht ist aus den einzelnen Farben zusammengesetzt, und da der Brechungsindex für die jeweiligen Farben verschieden ist, kommt es zu einer Aufspaltung (Dispersion). Jede Wellenlänge, die eine bestimme Farbe repräsentiert, besitzt daher ihren eigenen Regenbogenwinkel (Winkel zwischen Rot und Violett ca. 2°)

Wenn der Tropfen kleiner als 0,3 Millimeter ist, überlappen sich die Farben so sehr, dass das resultierende Licht weiß erscheint. So entstehen weiße Regenbögen, die man gelegentlich bei Nebel sehen kann. Man nennt diese auch Nebelregenbögen.


Die überzähligen Bögen


Sie erscheinen im inneren bzw. helleren Teil des Regenbogens und in abgeschwächter Form an der äußeren Seite des Nebenregenbogens.


Beobachtet man den Winkelbereich, in dem die überzähligen Bögen auftreten, so sieht man, dass 2 Strahlen die rechts und links vom cartesischen Strahl liegen (3. und 4. Klasse) den Tropfen unter dem gleichen Streuwinkel verlassen, sie haben daher dieselbe Richtung aber verschiedene Positionen, wo sie aus dem Tropfen austreten.


Legte ein Strahl einen Weg zurück, der eine halbe Wellenlänge länger ist, so schwingen die Wellen im Gegentakt und löschen sich aus. Man sieht also kein gestreutes Licht unter diesem Winkel. -> dunkler Streifen; destruktive Interferenz

Beträgt bei einem anderen Strahl die Wegdifferenz im Tropfen eine ganze Wellenlänge, so schwingen die überlagerten Wellen im Gleichtakt und erzeugen einen hellen Streifen; konstruktive Interferenz.


Strahlen die unmittelbar in der Nähe des cartesischen Strahls liegen haben circa gleiche Wege im Tropfen. So haben die Strahlen eine konstruktive Interferenz. Wellenberg trifft auf Wellenberg bzw. Wellental auf Wellental -> heller Streifen.


Resultat: periodischer Wechsel der Intensität des gestreuten Lichtes.

Da die Streuwinkel bei denen konstruktive Interferenz auftritt durch den Unterschied zwischen den Weglängen bestimmt werden, werden sie vom Tropfenradius beeinflusst.

Die überzähligen Bögen sind von der Tropfengröße abhängig. Je größer der Tropfen umso enger liegen die Winkel der überzähligen Bögen zusammen. Sie können kaum gesehen werden, wenn die Tropfen mehr als 1 mm Durchmesser haben.


Eigenschaft des Lichtes: Polarisation


Licht ist eine transversale Welle, die Schwingungen sind somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es weist eine „Seitlichkeit“ auf unter bestimmten Voraussetzungen. Dies nennt man Polarisation des Lichtes.


Durch Reflexion kann man die Polarisation ändern. Stellen wir uns eine Reflexion von Lichtstrahlen innerhalb des Tropfens vor, in der Ebene, die sowohl die einfallenden als auch die reflektierten Lichtstrahlen beinhaltet.

Wir definieren die Polarisation parallel und senkrecht zur Ebene. Für beide Polarisationen ist die Reflexion für einen Einfallswinkel von 0° schwach. Wenn der Einfallswinkel zu groß ist, kommt es zu einer Totalreflexion des Lichtes ohne Rücksicht auf die Polarisation.

Bei einem bestimmten Winkel, den Brewster Winkel, verschwindet die Reflexion für die parallel polarisierte Welle völlig. Diese parallel polarisierte Welle wird völlig durchgelassen. Licht mit senkrechter Polarisation wird völlig reflektiert.

Der reflektierte Strahl steht senkrecht auf dem gebrochenen.

(Wellen die senkrecht zur Reflexionsebene schwingen werden reflektiert und Wellen die in der Reflexionsebene schwingen werden gebrochen.)


Wenn man das Licht vom Regenbogen betrachtet, ist es meistens polarisiert, weil der innere Einfallswinkel für die Regenbogenstrahlen sehr nahe beim Brewster Winkel liegt. Es existiert ein Übergewicht senkrecht polarisierten Strahlen im Regenbogen.


Interessantes


Es ist egal aus welcher Perspektive man einen Regenbogen ansieht, der Regenbogen erscheint immer kreisrund. Jeder Beobachter sieht dasselbe. Das bedeutet, dass es nicht nur einen sondern mehrere Regenbogen gibt.

Von einen Flugzeug aus betrachtet, würde ein Regenbogen als voller Kreis erscheinen. Auf der Erde ist eine Hälfte immer unter dem Horizont verborgen.

Die Kreisform des Regenbogens ergibt sich aus der Kugelform der Tropfen.



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