Der Regenbogen 8A
Kennzeichen des Regenbogens
Das auffälligste Merkmal ist der Hauptregenbogen.
Die Reihenfolge der Farben ist hier immer gleich. Von Violett ganz innen über
Blau, Grün, Gelb, Orange und schließlich ganz außen Rot.
Leicht darüber kann man am Himmel einen zweiten Bogen
erkennen, den Nebenregenbogen. Dieser ist allerdings im Vergleich nicht
so intensiv und seine Farbreihenfolge ist genau umgekehrt zum Hauptregenbogen.
Wenn man ihn nun genauer betrachtet, sieht man, dass
das Gebiet am Himmel zwischen den Haupt- und Nebenregenbogen etwas dunkler ist
verglichen mit dem Rest des Himmels. Dieses Gebiet wird Alexander Band (Nach
den griechischen Philosophen Alexander von Aphrodisias, der dieses Merkmal
erstmals ca. 200 v. Chr. niederschrieb) genannt.
Ein weiteres Merkmal, welches nur manchmal auftritt,
ist eine Reihe von schwachen Bändern (meist lilafarben) an der inneren Seite
des Hauptregenbogens und mit geringerer Intensivität an der Außenseite des
Nebenregenbogens. Diese nennt man überzählige Bögen.
Geometrische Optik
Grundsätzlich sehen wir einen Regenbogen dann, wenn
die hinter uns stehende Sonne eine Regenwand vor uns beleuchtet. Das weiße
Sonnenlicht wird an einer „Wand“ aus fallenden Tropfen reflektiert und in seine
Spektralfarben zerlegt.
Der Hauptregenbogen entsteht durch Sonnenstrahlen, die
in den Tropfen eindringen und an der inneren Oberfläche reflektiert werden.
Der Nebenregenbogen entsteht durch Strahlen, die zwei
innere Reflexionen durchmachen. Da bei jeder Reflexion Licht verloren geht, ist
dieser Bogen schwächer.
Man kann den Haupt- und Nebenregenbogen mit Hilfe von
Reflexion und Brechung erklären.
Reflexion: Einfallswinkel = Reflexionswinkel
Brechung: Die Eigenschaften des Lichtes und des
Mediums müssen hier beachtet werden. Im Vergleich zu einem Vakuum ist die
Geschwindigkeit des Lichtes in einem Medium geringer. Wichtig für die Brechung
ist der Brechungsindex der Substanz (gibt das Verhältnis der Geschwindigkeit
des Lichtes im Vakuum und in der Substanz an).
Man betrachtet einen Lichtstrahl auf dem Weg von P
(-1|1) nach Q (1|-1), der an der x-Achse gebrochen wird.
v1 … Geschwindigkeit des Lichtes für y >
0
v2 … Geschwindigkeit des Lichtes für y <
0
ɑ1 …
Einfallswinkel
ɑ2 …
Brechungswinkel
Vom Medium mit v1 zum Medium mit v2.
Brechungsgesetz nach Snellius
Der Lichtstrahl durchstößt die Trennfläche der Medien
im Punkt S (x|0).
→rechtwinkelige Dreiecke
Folgende Strecke wird zurückgelegt (Pythagoras):
→
→
→
Die Brechungswinkel α1 und α2
hängen von S (x|0) ab:
α1(x), α2(x).
Der Lichtstrahl soll jetzt den Weg in minimaler Zeit
zurücklegen.
T(x)… Gesamtzeit
→
Zur Berechnung des Extrems setzten wir
Wir setzen die 1.Ableitung = 0
→
R… Brechungsindex
Der Sinus des Einfallswinkels ist im konstanten
Verhältnis zum Sinus des Brechungswinkels.
Um den Weg eines Lichtstrahles durch einen
Regentropfen mit Hilfe von Brechung und Reflexion zu bestimmen, braucht man den
Abstand des einfallenden Lichtstrahles von den Achsen, die man sich durch den
Mittelpunkt des Tropfens vorstellt. Dieser Abstand wird Stoßparameter genannt.
Haupt- und Nebenregenbogen
Wenn ein Lichtstrahl auf einen Tropfen fällt, wird er
teilweise reflektiert (gestreute Strahlen der 1. Klasse). Der Rest dringt
weiter in den Tropfen ein. Wenn er nun wieder an die Oberfläche stößt, wird
wieder ein Teil an die Luft durchgelassen (2. Klasse) und ein Teil wird wieder
reflektiert. Strahlen der 3. Klasse, welche nach einer einmaligen inneren
Reflexion wieder aus dem Tropfen heraustreten, bilden den Hauptregenbogen. Die
Strahlen der 4. Klasse treten nach zweimaliger innerer Reflexion aus dem
Tropfen und erzeugen den Nebenregenbogen.
Nachdem das Sonnenlicht den Tropfen bei allen
verschiedenen Stoßparametern (= Abstand des einfallenden Lichtstrahles von der
Achse, die man sich durch den Mittelpunkt des Tropfens vorstellt) trifft, wird
das Licht in alle Richtungen gestreut. Nun stellt sich die Frage, warum in der
Nähe des Winkels für den Regenbogen eine so verstärkte Intensität des
gestreuten Lichtes gegeben ist. Descartes stellte Berechnungen für alle
möglichen Stoßparameter an und fand heraus, dass die Strahlen der 3. Klasse von
immenser Wichtigkeit sind.
Hauptregenbogen
Berechnung vom Streuwinkel (zwischen der Richtung des einfallenden Strahls und den austretenden
Strahl) des Hauptregenbogens.
… Einfallswinkel
… Brechungswinkel (Winkel zwischen gebrochenen Strahl und Lot)
gleichschenkelige Dreiecke
Der Winkel geht aber von der Horizontalen aus gesehen
nach unten → negativer Wert.
Nach den Snellius’schen Brechungsgesetz gilt:
→
Um nun den maximalen Streuwinkel zu erhalten, müssen
wir die 1.Ableitung bilden:
/ :(-2)
/2
/:3 ; /
Für rotes Licht R=1,331 (zwischen Wasser und Luft))
=59,5° → Winkel unter dem die meisten Strahlen gestreut werden.
Wir wollen nun feststellen ob bei θ ein Minimum
oder Maximum vorliegt. Die erste Ableitung stellt die Steigung der ursprünglichen Kurve dar.
Liegt ein Minimum bei vor, so ist die Steigung für Werte kleiner als negativ und für Werte größer als positiv.
Befindet sich bei ein Maximum, so verhält es sich genau umgekehrt.
Bei Minimum:
… neuer Wert
→
Bei liegt ein Minimum vor.
Wir sehen den Hauptregenbogen ungefähr unter einem
Winkel von 180°-42°=138° und den Nebenregenbogen unter 180°-50°=130°.
Ein auf den Tropfen fallender Strahl, der von der
Mittelachse so weit entfernt ist, dass sein Teilstrahl 3. Klasse den Tropfen
unter dem kleinstmöglichen Streuwinkel verlässt, wird cartesischer Strahl des
Hauptregenbogens genannt (analog wird er für den Nebenregenbogen definiert). Die
Konzentration des gestreuten Lichtes ist da am größten, wo der Streuwinkel
trotz der Änderung des Stoßparameters am wenigsten variiert. Die Region der
geringsten Veränderung liegt rund um ein Minimum oder Maximum.
Alexander Band
Strahlen der 3.Klasse kann man als Kaustik betrachten.
Eine Kaustik ist die Hülle eines Systems von Strahlen und steht immer in
Verbindung mit einem Intensitätsmaximum. es hat generell eine dunklere und eine
hellere Seite. Beim Regenbogen ist diese Konzentration von Helligkeit eine
Kaustik und das Alexander Band stellt die dunklere Seite dar.
Farbe
Das weiße Licht ist aus den einzelnen Farben
zusammengesetzt, und da der Brechungsindex für die jeweiligen Farben
verschieden ist, kommt es zu einer Aufspaltung (Dispersion). Jede Wellenlänge,
die eine bestimme Farbe repräsentiert, besitzt daher ihren eigenen
Regenbogenwinkel (Winkel zwischen Rot und Violett ca. 2°)
Die Reinheit der Farbe wird durch die Überlappung
monochromatischer Regenbögen bestimmt. Dies ist abhängig von der Tropfengröße.
Große Regentropfen (mit Durchmesser von einigen Millimetern) erzeugen helle
Regenbögen mit reinen Farben. Wenn der Tropfen kleiner als 0,3 Millimeter ist,
überlappen sich die Farben so sehr, dass das resultierende Licht weiß
erscheint. So entstehen weiße Regenbögen, die man gelegentlich bei Nebel sehen
kann. Man nennt diese auch Nebelregenbögen.
Die überzähligen Bögen
Sie erscheinen im inneren bzw. helleren Teil des
Regenbogens und in abgeschwächter Form an der äußeren Seite des
Nebenregenbogens.
Beobachtet man den Winkelbereich, in dem die
überzähligen Bögen auftreten, so sieht man, dass 2 Strahlen die rechts und
links vom cartesischen Strahl liegen (3. und 4. Klasse) den Tropfen unter dem
gleichen Streuwinkel verlassen, sie haben daher dieselbe Richtung aber
verschiedene Positionen, wo sie aus dem Tropfen austreten.
Wir wissen, dass Licht eine Wellennatur besitzt und
deshalb Interferenzverhalten zeigt. Wenn die Strahlen auf den Tropfen
auftreffen schwingen beide Lichtwellen noch im gleichen Takt. Da sie jetzt aber
im Tropfen unterschiedliche Wege zurücklegen, kann es passieren, dass sie nicht
mehr im gleichen Takt schwingen, wenn sie den Tropfen verlassen und sich
überlagern.
Legte ein Strahl einen Weg zurück, der eine halbe
Wellenlänge länger ist, so schwingen die Wellen im Gegentakt und löschen sich
aus. Man sieht also kein gestreutes Licht unter diesem Winkel. -> dunkler
Streifen; destruktive Interferenz
Beträgt bei einem anderen Strahl die Wegdifferenz im
Tropfen eine ganze Wellenlänge, so schwingen die überlagerten Wellen im
Gleichtakt und erzeugen einen hellen Streifen; konstruktive Interferenz.
Strahlen die unmittelbar in der Nähe des cartesischen
Strahls liegen haben circa gleiche Wege im Tropfen. So haben die Strahlen eine
konstruktive Interferenz. Wellenberg trifft auf Wellenberg bzw. Wellental auf
Wellental -> heller Streifen.
Bei steigendem Streuwinkel steigt der Wegunterschied
an. Wenn er eine halbe Wellenlänge beträgt, kommt es zur destruktiven Interferenz.
Resultat: periodischer Wechsel der Intensität des
gestreuten Lichtes.
Da die Streuwinkel bei denen konstruktive Interferenz
auftritt durch den Unterschied zwischen den Weglängen bestimmt werden, werden
sie vom Tropfenradius beeinflusst.
Die überzähligen Bögen sind von der Tropfengröße
abhängig. Je größer der Tropfen umso enger liegen die Winkel der überzähligen
Bögen zusammen. Sie können kaum gesehen werden, wenn die Tropfen mehr als 1 mm
Durchmesser haben.
Eigenschaft des Lichtes: Polarisation
Licht ist eine transversale Welle, die Schwingungen
sind somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es weist eine „Seitlichkeit“ auf
unter bestimmten Voraussetzungen. Dies nennt man Polarisation des Lichtes.
Sonnenlicht besteht aus einer Überlagerung von Lichtwellen,
die in allen möglichen Schwingungsrichtungen schwingen. Es wird unpolarisiert
genannt.
Durch Reflexion kann man die Polarisation ändern. Stellen
wir uns eine Reflexion von Lichtstrahlen innerhalb des Tropfens vor, in der
Ebene, die sowohl die einfallenden als auch die reflektierten Lichtstrahlen
beinhaltet. Wir definieren die Polarisation parallel und senkrecht zur Ebene. Für
beide Polarisationen ist die Reflexion für einen Einfallswinkel von 0° schwach.
Wenn der Einfallswinkel zu groß ist, kommt es zu einer Totalreflexion des
Lichtes ohne Rücksicht auf die Polarisation. Bei einem bestimmten Winkel, den
Brewster Winkel, verschwindet die Reflexion für die parallel polarisierte Welle
völlig. Diese parallel polarisierte Welle wird völlig durchgelassen. Licht mit
senkrechter Polarisation wird völlig reflektiert.
Wenn Sonnenlicht unter diesem Winkel einfällt, ist der
reflektierte Strahl völlig polarisiert.
Der reflektierte Strahl steht senkrecht auf dem
gebrochenen.
(Wellen die senkrecht zur Reflexionsebene schwingen
werden reflektiert und Wellen die in der Reflexionsebene schwingen werden
gebrochen.)
Wenn man das Licht vom Regenbogen betrachtet, ist es
meistens polarisiert, weil der innere Einfallswinkel für die Regenbogenstrahlen
sehr nahe beim Brewster Winkel liegt. Es existiert ein Übergewicht senkrecht
polarisierten Strahlen im Regenbogen.
Interessantes
Es ist egal aus welcher Perspektive man einen
Regenbogen ansieht, der Regenbogen erscheint immer kreisrund. Jeder Beobachter
sieht dasselbe. Das bedeutet, dass es nicht nur einen sondern mehrere
Regenbogen gibt. Was man sieht, ist kein materielles Bild, sondern ein Bildnis
in den Augen, welches sich mit dem Beobachter mitbewegt. Es gibt auch kein
Spiegelbild von Regenbögen in einem See oder Spiegel, weil es eben kein
materielles Objekt ist.
Von einen Flugzeug aus betrachtet, würde ein
Regenbogen als voller Kreis erscheinen. Auf der Erde ist eine Hälfte immer
unter dem Horizont verborgen.
Die Kreisform des Regenbogens ergibt sich aus der
Kugelform der Tropfen.
Sende den Text als PDF kostenlos an mich
| |
|
|