Die vorliegende, mathematische Facharbeit setzt sich in möglichst vielen Aspekten mit dem so genannten Pascal‛schen Zahlendreieck auseinander.
Interessensgründe für diese Thematik waren insbesondere die Erscheinungsform jenes symmetrischen und unendlichen ‚Zahlengebildes‛, welches trotz seiner simplen Form ein äußerst weites Feld an Anwendungsmöglichkeiten bietet, die sich in die verschiedensten Bereiche der Mat.....[Volltext lesen]
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Im 17. Jahrhundert bekam das arithmetische Dreieck den Namen ‚Pascal’sches Zahlendreieck‛.
3.BLAISE PASCAL UND DIE MATHEMATIK[2]
Blaise Pascal kam am 19.06.1623 in Clermont-Ferrand in Frankreich während des Tobens des Dreißigjährigen Krieges zur Welt.
Pascal wurde schon frühzeitig und ausschließlich in den antiken Sprachen (Griechisch, Latein) und der Grammatik damalig bedeutender Sprachen unterrichtet. Doch in seinem 12. Lebensjahr, nachdem seine Familie sich 1629 in Paris niederließ, begann sich Pascal selbstständig mit der Mathematik zu befassen. So wurde er bald zu einem mathematischen Wunderkind.
1640, im Alter von 16 Jahren formulierte er einen seiner sehr bedeutenden Lehrsätze der projektiven Geometrie, den ‚Pascal‛schen Satz‛, womit er schlagartig einen hohen Bekanntheitsgrad erreichte. Etwa zur selben Zeit entstanden auch die ‚Pascal‛schen Geraden‛ in Verbindung mit dem ‚Satz des Pascal‛schen Sechsecks‛.
Mit der Absicht seinen Vater, einen Steuerfachmann beruflich zu unterstützen, entwickelte Blaise 1642-1645 die erste Rechenmaschine, die ‚Pascaline‛, die die vier Grundrechenarten ausführen sollte und heute Grundlage für die Funktionsweise aller anderen R.....
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Ende Juni desselben Jahres ließ sich Pascal in das Kloster Port Royal einliefern, in dem er bis zu seinem Todestag, den 19.08.1662, vermutlich unter Hirnblutungen litt.
B.DAS PASCAL‛SCHE ZAHLENDREIECK
I.EIGENSCHAFTEN
1.Bildungsgesetz[3]
Im Laufe des Mathematikunterrichts der Mittelstufe begegnet man unter anderem dem Pascal’schen Zahlendreieck und lernt wie dieses mit einfachster Addition zu bilden ist.
Satz:
…
Dabei ist zu beachten, dass in der ersten Zeile eine Eins steht und in den folgenden Zeilen jeweils das erste und letzte Glied jeweils aus der Zahl Eins besteht.
Ein weiterer Lösungsweg, um bestimmte Glieder des Dreiecks zu erhalten, wäre die Schreibweise in Binomialkoeffizienten, eine mathematische Funktion die in der Kombinatorik häufig vorkommt:
Sprich: „n über k“ oder „k aus n“
n und k stellen die jeweilige Zeile und Spalte des Ausdrucks dar, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Zählung des Zeilen- und Spaltenindex bei Null beginnt, da und ist.
Diese Schreibweise ermöglicht es einzelne Glieder des Dreiecks unabhängig von ander.....
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Beispiel: Für n = 4:
3.Symmetrie[8]
Satz:
Das Pascal‛sche Dreieck ist bezüglich einer vertikalen Geraden, die durch die Spitze geht symmetrisch.
Diese Symmetrie wird durch folgende Definition ausgedrückt:
Beweis der Symmetrie:
Quod erat demonstrandum.
Beispiel:àà
4.Zahlenfolgen[9]
Eine weitere Eigenschaft sind die Zahlenfolgen in den Diagonalen des Dreiecks. Die erste Diagonale enthält nur Einsen, die zweite die Folge der natürlichen Zahlen, die dritte die Dreieckszahlen und die vierte die Tetraederzahlen.
Dreieckszahlen gehören, wie die Tetraederzahlen zu den figurierten Zahlen und leiten sich von deren geometrischen Figuren ab. Sie entsprechen immer der Anzahl an gleichen Steinen, die man für den Aufbau eines gleichseitigen Dreiecks benötigt. Die Tetraederzahlen hingegen entsprechen der Anzahl an gleichen Steinen, für einen gleichseitigen Tetraeder. Im Allgemeinen findet man in der r-ten Diagonale die regulären figurierten Zahlen der Ordnung r.
Eine weitere Zahlenmenge sind die Fibonacci-Zahlen, die sich aus den Summen d.....
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Abb. 4: Sierpinski Dreieck im Pascal’schen Zahlendreieck
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1 1
1 3 3 1
1 1
1 5 5 1
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II.BEDEUTUNG
1.Anwendung für Potenzen von Binomen[12]
Die binomischen Formeln gehören ab der Jahrgangsstufe 7 zu den ständigen mathematischen Begleitern eines Schülers. In diesem Zusammenhang wird das Pascal’sche Dreieck verwendet, um schnell die ausmultiplizierte Form von Binomen n-ten Grades zu erhalten.
Zur Demonstration wird im Folgenden ei.....
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Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion:
1)Induktionsverankerung: Für :
(a + b)1= a + b
Für liefern beide Seiten der behaupteten Gleichung den Wert a + b .
2)Induktionsschritt: Von n auf n + 1 :
Beispiel:
; :
2.Zusammenhang mit der Stochastik
a)Kombinationen
Die Möglichkeit das Pascal‛sche Dreieck in Binomialkoeffizienten darzustellen, siehe B.I.1. zeigt, dass das Dreieck auch einen Teil der Kombinatorik abdeckt, beziehungsweise dass sich die Anzahl der Kombinationen somit ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung errechnen lassen.
Definition[14]:
Sprich: „Anzahl der Möglichkeiten k-Teilelemente aus n-Elementen zu ziehen.“
(ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Anordnung)
Herleitung:
Beispiel: Ziehen aus einer Urne
In der fünften Reihe (n = 4) des Pascal‛schen Dreiecks .....
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