Aufgabe 2: Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines Stabes aus Systemparametern
Verwendete Materialien
Messergebnisse
Bewertung
Aufgabe 3: Berechnung des Massenträgheitsmomentes mittels eines Drehpendels
Verwendete Materialien
Versuchsaufbau
Versuchsdurchführung
Messergebnisse
Bewertung
Aufgabe 4: Satz von Steiner
Verwendete Materialien
Versuchsaufbau
Versuchsdurchführung
Messergebnisse
Bewertung
Aufgabe 5: Massenträgheitsmoment der Feder und der Achse
Verwendete Materialien
Versuchsaufbau
Versuchsdurchführung
Messergebnisse
Bewertung
Aufgabe 7: Ermittlung des Massenträgheitsmomentes der Reiter
Verwendete Materialien
Versuchsaufbau
Versuchsdurchführung
Messergebnisse
Bewertung
Literaturverzeichnis
Einleitung
Mit zwei verschiedenen Methoden wird das Massenträgheitsmoment J eines Metallstabes bestimmt. Mit diesen Ergebnissen wird der Satz von Steiner überprüft und weitere Aufgaben zu diesem Thema durchgeführt.
Aufgabe 1: Messen der Winkelrichtgröße
Aufnahme von Drehwinkel φ, angreifender Kraft F und Hebelarm s, um daraus die Winkelrichtgröße D zu bestimmen.
Verwendete Materialien
In der Tabelle 1 werden die benutzten Geräte für diese Aufgabe aufgelistet.
Tabelle 1 : Verwendete Materialien zu Aufgabe 1
Versuchsaufbau
An dem Tisch wird eine Spiralfeder (2) mittels einer Muffe (1) befestigt (siehe Abb. 1). Die Installation der Winkelscheibe (3) erfolgt auf der Spiralfeder. Durch die Öffnung der Winkelscheibe wird der Mitnehmer (4) eingesetzt, welcher zur Befestigung des Stabes (5) dient (siehe Abb. 2).
Abbildung 3: Winkelablesehilfe
Versuchsdurchführung
Unter Verwendung der Kraftmesser 1 und 2 wird die notwendige Kraft, bei variierenden Abständen und Winkel , gemessen. Hierbei ist zu beachten, dass der Kraftmesser in einem 90° Winkel zur Bezugsachse (Stab) gehalten wird.
Messergebnisse
Aus der Tabelle 2 ist die Winkelrichtgröße und das Moment , unter Variation der Auslenkung bzw. der Kraft und des Abstandes zur Drehachse, zu entnehmen.
Tabelle 2: Bestimmung der Winkelrichtgröße
Für die Rotationsbewegung, mit dem Radiusvektor und der Kraft , gilt:
Für eine Drehfeder gilt das Hooksche Gesetz mit Drehmoment , dem Winkelrichtmoment und dem Auslenkwinkel :
Nun werden die beiden Gleichungen für gleichgesetzt, unter der Annahme, dass der Kraft- und der Richtungsvektor orthogonal zueinander sind. Damit giilt:
(1)
Der Durchschnitt der Winkelrichtgröße rechnet sich wie folgt:
Der zufällige Fehler, der durch Messungenauigkeiten des Menschen zu Stande kommt, wie zum Beispiel die Unsicherheit des Winkels Stab-Federwage, wird wie folgt berechnet:
Prozentualer relativer zufälliger Fehler:
wird exemplarisch mittels der Messreihe 1 ermittelt:
Mit folgt:
Prozentualer relativer systematischer Fehler:
Der gesamte Fehler setzt sich aus zufälligem und systematischem Fehler zusammen:
Analog der relative gesamte Fehler:
Somit ist
Bewertung
Dieser Fehler ist als sehr unpräzise anzusehen. Durch die Berechnung stellt sich heraus, dass die Unsicherheit des Kraftmessers den größten Einfluss auf das Fehlerfortpflanzungsgesetz hat.
Die Rechnung zeigt, dass die Ungenauigkeit des Kraftmessers 57% Anteil an dem Gesamtfehler hat.
Außerdem kann die Unsicherheit für den Winkel zwischen Stab und dem Kraftmesser vernachlässigt werden. Bei einem unbekannten Winkel resultiert ein Drehmoment mit der Formel . Wobei , für , eine Toleranz von 5° besitzt, da entspricht. Bei den manuell durchgeführten Kraftmessungen wurde diese Winkeltole.....[Volltext lesen]
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Tabelle 8: Das Trägheitsmoment der Reiter in Abhängigkeit von
Das Gesamtträgheitsmoment wird wie in Aufgabe 3 ermittelt: Außerdem setzt sich das Gesamtträgheitsmoment aus dem Trägheitsmoment des Stabes und dem Reiter zusammen:
Nach Umstellung dieser Gleichung nach folgt:
Die Abhängigkeit von zum quadrierten Abstand wird mit Hilfe von Excel modelliert (siehe Abb. 6), es entsteht ein linearer Zusammenhang:
Abbildung 6:
Aus dieser Graphik ist im Achsenversatz das Massenträgheitsmoment des Reiters bezüglich seines Schwerpunktes , sowie das Massenträgheitsmoment der Feder und der Achse . Außerdem ist in der Steigung die Masse der zwei Reiter zu entnehmen:
Durch den Einsatz der Digitalwaage wurde das Gewicht der Reiter bestimmt:
Der Fehler der Masse wird aus dem Verhältnis zwischen und bestimmt:
Für den Fehler des Achsenversatzes wird der tatsächliche Achsenversatz ermittelt:
wird wie folgt, mit Hilfe der Daten aus Aufgabe 7, ermittelt:
(1)
wird aus Aufgabe 5 entnommen. Somit ergibt sich:
Daraus folgend lässt sich berechnen:
Bewertung
Das Massenträgheitsmoment aus Aufgabenteil 2 wird für die Berechnungen verwendet, da hier der zufällige Fehler für vernachlässigbar ist, weil nur einmal gemessen wird. Außerdem wird mithilfe der vereinfachten Formel berechnet und nicht so wie in Aufgabe 3 unter der Zuhilfenahme von Messungen der Periodenlängen, welche eine größere Unsicherheit aufweisen.
Die allgemeine Annäherung ist nachvollziehbar, da das Massenträgheitsmoment der Reiter bezüglich ihres Schwerpunktes und das Massenträgheitsmoment der Feder und der Achse vernachlässigbar klein sind. Des Weiteren ist der Fehler für nachvollziehbar groß, da aufgrund der Ermittlung von die Fehlerfortpflanzung unvermeidbar ist.
Aufgabe 5: Massenträgheitsmoment der Feder und der Achse
In dieser Aufgabe wird das bisher vernachlässigte Massenträgheitsmoment mit einem möglichst „masselosen“ Stab erfasst.
Verwendete Materialien
In der Tabelle 9 werden die benutzten Geräte für diese Aufgabe aufgelistet.
Tabelle 9: Verwendete Materialien zu Aufgabe 5
Versuchsaufbau
Der Aufbau ist dem aus Aufgabenteil 3 identisch, lediglich wird der Metallstab durch einen Holzstab ersetzt, der als masselos anzusehen ist.
Versuchsdurchführung
Dieser ist ebenfalls identisch zu Aufgabenteil 3.
Messergebnisse
In der folgenden Tabelle 10 wird die Schwingungsdauer de.....
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Der gesamte Fehler setzt sich aus zufälligem und systematischem Fehler zusammen:
Analog der relative gesamte Fehler:
Somit ist:
Bewertung
Durch diesen Versuch wird das Massenträgheitsmoment der Feder und der Achse bestimmt. Es ist zu beachten, dass das Massenträgheitsmoment des Holzstabes durch seine geringe Masse vernachlässigbar klein ist. Die Messung mittels der Digitalwaage zeigt für :
Der große Fehler tretet aufgrund der Fehlerfortpflanzung bezüglich der Winkelrichtgröße aus der ersten Aufgabe auf.
Der Rechnung kann entnommen werden, dass ein erheblicher Anteil der Fehlerfortpflanzung der Winkelrichtgröße zuzuschreiben ist.
Außerdem ist zu beachten, dass unsere Stichprobengröße sehr gering ist und dies den Fehler ebenso stark beeinflusst. Des Weiteren werden sensiblere Messinstrumente, sowie ausgereiftere Versuche benötigt, um kleine Massenträgheitsmomente verlässlich erfassen zu können.
Aufgabe 7: Ermittlung des Massenträg.....
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Somit ist die Masse der beiden Reiter und der Außen- bzw. Innendurchmesser.
Bewertung
Ein Vergleich der Werte aus Aufgabe 4 und 7 zeigen, dass die Abweichungen, mit Ausnahme von Messreihe , sich im Bereich von 1%-4% bewegen. Das lässt darauf schließen, dass die gemessenen Werte aus Aufgabe 4 relativ nah am rechnerischen Wert liegen.
Hier setzt sich das Massenträgheitsmoment aus dem Steiner-Anteil und dem Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes zusammen, welcher in Aufgabe 4 vernachlässigt wurde. Die Aufgabe 7 zeigt, dass die Annahme aus Aufgabe 4 gerechtfertigt ist, da die Abweichung relativ gering ist.
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