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Aussagenlogik als Teilgebiet der Logik

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Aussagenlogik

Die Aussagenlogik ist ein Teilgebiet der Logik, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfung durch Junktoren befasst, ausgehend von strukturlosen Elementaraussagen (Atomen), denen ein Wahrheitswert zugeordnet wird. In der klassischen Aussagenlogik wird jeder Aussage genau einer der zwei Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ zugeordnet. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.


Einfache Aussage (Elementaraussage)

Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true, 1) oder nicht wahr (f, falsch, false, 0) ist. Dies gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte Aussagen. „Halbwahrheiten“ gibt es nicht. Eine Aussage kann sowohl der gewöhnlichen Sprache entstammen als auch der Sprache der Mathematik. Eine Elementaraussage ist eine Aussage, die keine aussagenlogischen Verknüpfungen (nicht, und, oder, wenn .dann, genau dann wenn) enthält.

Beispiele für Elementaraussagen:

  • : München ist 781 km von Hamburg entfernt.
  • : 9 ist durch 3 teilbar.
  • : Eintracht Frankfurt wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister.
  • : Alle Autos sind grün.

ist offensichtlich wahr,dagegen ist falsch.muss man zunächst prüfen, bevor man entscheiden kann, obwahr oder falsch ist. Obwahr ist, kann man derzeit nicht entscheiden. Das wird sich erst am Ende der nächsten Fußballsaison herausstellen.

In der klassischen Aussagenlogik ist eine Aussage entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man (noch) nicht in der Lage ist, den Wahrheitsgehalt zu beurteilen. Dies ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall.

Anmerkung:ist eine All-Aussage; die Struktur solcher Aussagen ist Gegenstand der Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik ist es eine Elementaraussage.


Verneinte Aussage – Negation

Die Verneinung bzw. Negation (auch: Satzverneinung, äußere Verneinung, kontradiktorisches Gegenteil) einer Aussage A ist diejenige Aussage ¬A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Einfacher: Die Verneinung einer Aussage A dreht den Wahrheitswert von A in sein Gegenteil um.

Man erhält die Verneinung einer Aussage A immer dadurch, dass man ihr die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass“ voranstellt. Zwar lässt sich ein natürlichsprachlicher Satz auch verneinen, indem man das Wort „nicht“ oder eine andere negative Formulierung an geeigneter Stelle einfügt – es ist aber nicht immer ganz einfach, zu erkennen, welche Formulierung und an welcher Stelle.

Formal schreibt man für „nicht A“ in der gebräuchlichsten Notation (Schreibweise) ¬A, auf Englisch und in der Schaltalgebra auch „NOT A“, gelegentlich auch „~A“.

falsch

wahr

wahr

falsch

Wir verneinen die obigen Beispiele:

  • : Es ist nicht der Fall, dass München 781 km von Hamburg entfernt ist.
  • : Es ist nicht der Fall, dass 9 durch 3 teilbar ist.
  • : Es ist nicht der Fall, dass Eintracht Frankfurt in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister wird.
  • : Es ist nicht der Fall, dass alle Autos grün sind. (Es kann durchaus auch grüne Autos geben, aber es gibt mindestens ein Auto, das nicht grün ist.)

Allgemein .....[read full text]

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Materiale Implikation

Die materiale Implikation, auch Konditional oder Subjunktion genannt, drückt die hinreichende Bedingung aus: Sie sagt, dass die Wahrheit des einen Satzes eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des anderen Satzes ist. Man schreibt

oder auch

und liest

  • A ist eine hinreichende Bedingung für B.
  • Schon wenn A, dann B.
  • A setzt voraus, dass B.
  • B ist eine notwendige Bedingung für A.
    Dass B genau dann eine notwendige Bedingung für A ist, wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, ist eine auf den ersten Blick überraschende und vielleicht kontraintuitive, jedoch zutreffende Feststellung.
  • A impliziert B
  • Nur wenn B, dann A.

oder auch nur

  • Wenn A, dann B.

In einem Konditional nennt man A das Antezedens, B das Konsequens oder Sukzedens.

Beispiele:

  • Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist.
  • Schon wenn es regnet, ist die Straße nass.
  • Wenn es regnet, ist die Straße nass.
  • Nur wenn die Straße nass ist, kann es regnen.
  • Wenn Person x einen Wagen der Marke BMW hat, hat x ein Auto.
  • Wenn eine Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist die Zahl n durch 3 teilbar.

Die Lesart „wenn … dann“ ist insofern problematisch, als mit dem natürlichsprachlichen „wenn … dann“ vor allem inhaltliche Zusammenhänge wie Kausalität oder zeitliche Nähe ausgedrückt werden. All das macht die materiale Implikation nicht, sie nennt nur den formalen Zusammenhang: „Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist“.

Zur Frage, warum das eine hinreichende Bedingung ist – ob auf Grund eines kausalen Zusammenhangs oder auch nur rein zufällig –, nimmt die materiale Implikation nicht Stellung.

falsch

falsch

wahr

wahr

falsch

wahr

wahr

wahr

wahr

falsch

falsch

falsch

wahr

wahr

wahr

wahr

Als Umkehrschluss bezeichnet man den Schluss vonauf. Für die Beispiele bedeutet das:

  • Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht.
  • Nur wenn es nicht regnet ist die Straße nicht nass.
  • Wenn Person x kein Auto hat, dann hat x keinen Wagen der Marke BMW.
  • Nur wenn Person x keinen Wagen der Marke BMW hat, hat x kein Auto.
  • Wenn die Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist n nicht durch 6 teilbar.
  • Nur wenn n nicht durch 6 teilbar ist, ist n nicht durch 3 teilbar.

Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren – falschen – Aussagen verleiten:

  • Weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein.
    Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr .).
  • x hat keinen Wagen der Marke BMW, also hat x kein Auto.
    Falsch, denn er könnte ja einen Mercedes haben.
  • n ist nicht durch 6 teilbar, also ist n auch nicht durch 3 teilbar.
    Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar und sehr wohl durch 3.

Das bedeutet: Wenn die Folgerungwahr ist, dann erhält man aus der Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. („Ex falso sequitur quodlibet“ – „Aus Falschem .....

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Ausschließendes Oder

falsch

falsch

Falsch

falsch

wahr

Wahr

wahr

falsch

Wahr

wahr

wahr

Falsch

Das ausschließende Oder (Kontravalenz oder Antivalenz), „entweder A oder B“, besagt, dass genau eine der beiden von ihm verknüpften Aussagen wahr ist. Entsprechend ist ein ausschließendes Oder nicht nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind, sondern auch, wenn beide wahr sind. (Einige Autoren verwenden für das Ausschließende Oder den Begriff Alternative.)

Obwohl das ausschließende Oder ein Konzept ist, mit dem man in der natürlichen Sprache immer wieder zu tun hat, wird es in den meisten logischen Sprachen nicht als eigenständiger Junktor eingeführt. Statt dessen wird das ausschließende Oder zum Beispiel als verneintes Bikonditional ausgedrückt, also als.


Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze) / Verneinung einer Konjunktion

Die Verneinung der Konjunktion „A und B“ (in der logischen Schreibweise:) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A und B zutreffen“ (in der logischen Schreibweise:). Diese ist logisch äquivalent mit der Aussage „A ist nicht der Fall, oder B ist nicht der Fall (oder beides)“ (in logischer Schreibweise:).

falsch

falsch

wahr

falsch

wahr

wahr

wahr

falsch

wahr

wahr

wahr

falsch

Ein .....

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Betrachten wir einmal mehr die materiale Implikation.

Man sagt: A ist hinreichend für B: Schon wenn A der Fall ist, ist auch B der Fall.

Umgekehrt kann man aber auch sagen: B ist notwendig für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein.

Wie kommt dieser Zusammenhang zustande?

Wir wissen, dass die Wahrheit von A die Wahrheit von B nach sich zieht, denn A ist ja hinreichende Bedingung für B. Somit ist es einfach nicht möglich, dass A eintritt, ohne dass B damit ebenfalls eintreten würde: B ist also gezwungenermaßen der Fall, wenn A der Fall ist. B ist „notwendig“ für A.

Dieser Zusammenhang ist in Wahrheit also ziemlich einfach; Hauptgrund dafür, dass er anfangs oft als kontraintuitiv empfunden wird, ist wahrscheinlich die Schwierigkeit, zwischen den vielen Bedeutungen des umgangssprachlichen „wenn … dann“ einerseits und der rein formalen hinreichenden und notwendigen Bedingung andererseits strikt zu trennen.

Mit dem umgangssprachlichen „wenn … dann“ möchte man fast immer einen inhaltlichen (kausalen und/oder temporalen) Zusammenhang zwischen Antecedens und Konsequens ausdrücken: „Regen verursacht Straßennässe“, „Zuerst fällt der Regen, erst nachher wird die Straße nass“. Wenn man die hinreichende Bedingung in diesem Sinn missversteht, dann ist es klar, dass die in umgekehrter Reihenfolge formulierte notwendige Bedingung „Nur wenn die Straße nass ist, regnet es“ seltsam aussieht: „Regen verursacht doch Straßennässe, wie kann daraus je gefolgert werden, dass Straßennässe Regen verursacht?“

All dies sagt die materiale Implikation aber nicht aus. „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ meint schlicht, dass wenn der Satz A wahr ist, auch der Satz B wahr ist – zeitlos und zusammenhanglos, nicht etwa „später“ .....

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Natürlich ist das Ziel dabei, dass in einem formalen System nur Zeichenketten (Sätze) hergeleitet werden können, die bei einer plausiblen Interpretation auch wahr sind. Andererseits sollen alle Sätze, die als „wahr“ interpretierbar sind, auch hergeleitet werden können. Das erste ist die Forderung nach Korrektheit, das zweite die nach Vollständigkeit des formalen Systems; beide Eigenschaften sind unter Kalkül: Der Begriff Kalkül in der Logik beschrieben.

Für die klassische Aussagenlogik, mit der wir es hier zu tun haben, gibt es Kalküle (formale Systeme), die sowohl korrekt als auch vollständig sind. Für komplexere logische Systeme (z. B. Mengenlehre) ist es aber unmöglich, einen vollständigen Kalkül aufzustellen, der auch korrekt ist – diese Erkenntnis wurde 1931 von Kurt Gödel bewiesen (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).

Syntax

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Syntax („Grammatik“) einer logischen Sprache formal zu definieren; meist geschieht das im Rahmen eines Kalküls. Die folgende Definition ist daher nur als Beispiel dafür zu verstehen, wie ein Kalkül für die klassische Aussagenlogik aussehen kann. Weitere Beispiele für konkrete Kalküle finden sich unter Baumkalkül, Begriffsschrift, Systeme natürlichen Schließens, Sequenzenkalkül oder Resolutionskalkül

Bausteine der aussagenlogischen Sprache

Als Bausteine der aussagenlogischen Sprache sollen Satzbuchstaben („atomare Formeln“, Satzkonstanten), Junktoren und Gliederungszeichen verwendet werden. Satzbuchstaben sollen die Zeichen P0, P1, P2, . sein. Junktoren sollen die Zeichen ¬, , , → und ↔ sein. Als Gliederungszeichen sollen die runden Klammern dienen.

Formal lässt sich das z. B. auf folgende Weise ausdrücken:

Sei V die (abzählbar unendliche) Menge der atomaren Formeln (Satzbuchstaben):

V = { Pn | n N0 } (N0: Menge der natürlichen Zahlen inkl. 0), d. h. V = { P0, P1, P2, P3, . }

Sei J die Menge der Junktore.....

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·         Die Wahrheitswertverläufe der verwendeten zweistelligen Konnektive sind in der klassischen Aussagenlogik wie folgt definiert:

a

b

Konjunktion
a
b

Disjunktion
a
b

materiale Implikation
Konditional
a → b

Bikonditional
a ↔ b

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