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Fachbereichsarbeit

Addierer in der Digitaltechnik

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Fachbereichsarbeit
Informatik

HHS Fachschule für Technik Karlsruhe

2010

Claudia . ©

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sternsternsternstern_0.25stern_0.3
ID# 2079







Addierer         

in der Digitaltech


nik

 

 

 

April 2010

 

 

Inhaltsverzeichnis

 

 

 

1.   Halbaddierer

 

                 Herleitung und Aufbau einer logischen Schaltung zur addition

                 von zwei einstelligen Dualzahlen.

 

Seite 2

 

2.   Volladdierer

  

                 Erweiterung des Halbaddierers zur Verarbeitung des Übertrags

                 in der Dualzahlen-Addition.

 

Seite 5

 

 

3.   Ripple-Carry-Addierer

 

                 Addierschaltung zur Addition von mehrstelligen Dualzahlen durch

                 kaskadierung von Volladdierern.

 

Seite 8

 

 

4.   Addierer als integrierte Schaltung

 

                  Typen und Bauformen diverser Addierer-IC´s

 

Seite 9

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Addierer

in der Digitaltechnik           

 

Duale Addierer bilden die Grundlage jedes Rechenwerks einer CPU, da sich alle vier Grundrechenarten  auf die Addition zurückführen lassen. Im Folgenden sollen der Aufbau und die Funktion einfacher Addierer-Schaltungen näher erläutert werden.

 

1.           Halbaddierer

Der Halbaddierer (engl. Half Adder) ist die einfachste Form einer Rechenschaltung. Mit ihm können zwei einstellige Dualzahlen addiert werden.

Bei der  Addition von Dualzahlen wird prinzipiell wie im Dezimalsystem verfahren, jedoch muß beachtet werden das in der Summe an der jeweiligen Stelle keine „Zwei“ notiert wird, sondern eine „Null“, und ein Übertrag von „Eins“ in die nächste Stelle übernommen wird.

 

Es gelten folgende Regeln :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

                                    1 + 1 = 10    ( mit 1 als Übertrag )

Vergibt man für die zwei zu addierenden Zahlen die Variablennamen „A“ und „B“, für die Summe „Z“ und den Übertrag „Ü“, so ergibt sich daraus nachstehende Wahrheitstabelle.

 

B

A

Ü

Z

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

 

 

 

2

 

Aus der Wahrheitstabelle wird ersichtlich das die resultierende Schaltung zwei Ausgänge haben muss ( Ü; Z ), für die sich als disjunktive Normalform die Funktionsgleichungen

 

ergeben.

Damit lässt sich nun die Schaltung mit ihren Grundgliedern darstellen:

 

 

 

 

 

 

 

Zur vereinfachten Darstellung lassen sich die Glieder der Z-Gleichung zu einem XOR-Glied zusammenfassen.

 

Womit sich folgende Schaltung ergibt:

 

 

 

 

 

 

3

 

Zur Verwendung in der Praxis kann die Schaltung auf NAND-Glieder umgerechnet werden. Dazu wird die ursprüngliche Gleichung für „Z“ umgeformt und durch mehrfache Verwendung von  weiter vereinfacht.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In Blockschaltbildern werden vereinfachte Symbole zur Darstellung benutzt, die im Falle des Halbaddierers so aussehen:

 

        oder       ∑ = Summe (Z)

                                                                                                   C = Carry out (Übertrag)

 

 

4

 

2.  Volladdierer

Um mehrstellige Dualzahlen addieren zu können ist eine Erweiterung des Halbaddierers nötig, die in der Lage ist den Übertrag aus einer vorhergehenden Addition zu verwerten.

Dementsprechend wird der Schaltung ein dritter Eingang hinzugefügt der die Bezeichnung „ Ü-1 “ bekommt. Die Ausgänge bleiben unverändert mit „ S “ für die Summe und „ Ü “ für den Übertrag. Die Wahrheitstabelle des Volladdierers ergibt sich, wie schon beim Halbaddierer, aus den Rechenregeln für die Addition .

 

Ü-1

B

A

Ü

Z

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

 

Die Formeln in der disjunktiven Normalform lauten demnach:

 

 

Mit Hilfe des KV-Diagramms kann die Formel für „ Ü „ nun vereinfacht werden.

„ Z „ kann nicht weiter vereinfacht werden.

Ausgang Z:

 

 

 

 

 

 

5

Ausgang Ü:

 

 

 

 

Die vereinfachte Gleichung für „ Ü “ lautet:

 

Mit den Gleichungen für „ Z “ und „ Ü “ lässt sich die nun Schaltung des Volladdierers mit seinen Grundgliedern aufbauen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Alternativ und einfacher lässt sich ein Volladdierer auch mit zwei Halbaddierern realisieren.   Dazu werden der Summenausgang des ersten Halbaddierers mit einem Eingang des Zweiten verbunden, und die Übertragsausgänge beider Halbaddierer mit einem ODER-Glied verknüpft.

 

 

 

Ersetzt man die beiden Halbaddierer durch die in Kapitel 1 hergeleitete NAND-Schaltung, lässt sich auch der Volladdierer vollständig aus NAND-Gliedern realisieren.

 

 

 

7

 

Für die Darstellung des Volladdierers im Blockschaltbild gibt es verschiedene Symbole.

 

 

                                                                         7

            Der dritte Eingang ist hier jeweils mit „ Ci “ für „Carry in“ gekennzeichnet.

 

3.  Carry-Ripple-Addierer

Da Volladdierer in der Lage sind drei Eingänge zu verarbeiten, und damit den Übertrag aus einer vorhergehenden Addition, können nun Addierwerke für mehrstellige Dualzahlen realisiert werden. Dazu werden einem Halbaddierer für das niederwertigste Bit, Volladdierer für jedes weitere Bit nachgeschaltet, Der Übertrag wird jeweils vom niederwertigen zum  höherwertigen  Addierer weitergegeben. Diese Grundform der Verschaltung wird Carry-Ripple-Addierer genannt. Sollen, zum Beispiel, zwei 4-stellige Dualzahlen (4-Bit) addiert werden, sind dem Halbaddierer drei Volladdierer nachzuschalten. Die daraus resultierende Schaltung, ein sogenannter 4Bit-Addierer, kann an den Ausgängen dementsprechend die Summen der vier niederwertigsten Stellen und den Übertrag aus der letzten Addition ausgeben.  Zur Übersichtlichkeit werden hier die jeweiligen Blockschaltbild-Symbole verwendet.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

4.    Addierer als integrierte Schaltung

Zum Aufbau von einfachen Addierwerken, in praktischen Anwendungen oder Versuchen, sind Addierer als integierte Schaltung (IC´s) in verschiedenen Versionen und Bauformen am Markt  erhältlich. Selten verwendete 1Bit-Addierer, oder häufiger anzutreffende 2Bit-/ und 4Bit-Addierer sind jeweils in SMD-Gehäusen oder in herkömmlicher Bauform, sowie  in unterschiedlich schnellen Ausführungen zu bekommen.

Die bekanntesten Serien sind 74xxx82, ein 2Bit-Addierer, und 4Bit-Addierer mit der        Bezeichnung 74xxx83. Wobei das „xxx“ als Platzhalter für die jeweilige IC-Familie dient.

IC-Familien : 74LS (Low-power Schottky); ältere IC-Familie mit TTL-Schaltkreisen.

                     74HC (High-Speed-CMOS); nicht kompatibel mit 74LS-IC´s.

                     74HCT ; spezielle Version der 74HC-Familie die kompatibel mit den älteren  

                                   74LS-IC´s ist.

 

Hier als Beispiel eine Abbildung und die Pinbelegung eines 74HCT83 (4Bit-Addierer):

 

 

 

                                                                                     

Pinbelegung eines 74HCT83:

Eingänge:              A1 - A4  und  B1 - B4

Übertragseingang:                              C0

Summenausgänge:                    ∑1 - ∑4

Übertragsausgang:                             C4

 

 

 

Da die Kennzeichnungen der IC-Anschlüsse weitestgehend denen in der Schaltalgebra verwendeten entspricht, ist die Verschaltung solcher Bausteine relativ einfach zu bewerkstelligen.

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