Addierer
in der
Digitaltech
nik
April
2010
Inhaltsverzeichnis
1. Halbaddierer
Herleitung und Aufbau
einer logischen Schaltung zur addition
von zwei einstelligen
Dualzahlen.
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2. Volladdierer
Erweiterung des
Halbaddierers zur Verarbeitung des Übertrags
in der
Dualzahlen-Addition.
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3. Ripple-Carry-Addierer
Addierschaltung zur
Addition von mehrstelligen Dualzahlen durch
kaskadierung von
Volladdierern.
Seite 8
4. Addierer
als integrierte Schaltung
Typen und Bauformen
diverser Addierer-IC´s
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1
Addierer
in der Digitaltechnik
Duale Addierer
bilden die Grundlage jedes Rechenwerks einer CPU, da sich alle vier
Grundrechenarten auf die Addition zurückführen lassen. Im Folgenden sollen der
Aufbau und die Funktion einfacher Addierer-Schaltungen näher erläutert werden.
1.
Halbaddierer
Der Halbaddierer
(engl. Half Adder) ist die einfachste Form einer Rechenschaltung. Mit ihm
können zwei einstellige Dualzahlen addiert werden.
Bei der Addition
von Dualzahlen wird prinzipiell wie im Dezimalsystem verfahren, jedoch muß
beachtet werden das in der Summe an der jeweiligen Stelle keine „Zwei“ notiert
wird, sondern eine „Null“, und ein Übertrag von „Eins“ in die nächste Stelle
übernommen wird.
Es gelten folgende
Regeln :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 ( mit 1 als
Übertrag )
Vergibt man für
die zwei zu addierenden Zahlen die Variablennamen „A“ und „B“, für die Summe
„Z“ und den Übertrag „Ü“, so ergibt sich daraus nachstehende Wahrheitstabelle.
B
|
A
|
Ü
|
Z
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
2
Aus der
Wahrheitstabelle wird ersichtlich das die resultierende Schaltung zwei Ausgänge
haben muss ( Ü; Z ), für die sich als disjunktive Normalform die
Funktionsgleichungen
ergeben.
Damit lässt sich
nun die Schaltung mit ihren Grundgliedern darstellen:
Zur vereinfachten
Darstellung lassen sich die Glieder der Z-Gleichung zu einem XOR-Glied
zusammenfassen.
Womit sich
folgende Schaltung ergibt:
3
Zur Verwendung in
der Praxis kann die Schaltung auf NAND-Glieder umgerechnet werden. Dazu wird
die ursprüngliche Gleichung für „Z“ umgeformt und durch mehrfache Verwendung
von weiter
vereinfacht.
In
Blockschaltbildern werden vereinfachte Symbole zur Darstellung benutzt, die im
Falle des Halbaddierers so aussehen:
oder ∑
= Summe (Z)
C = Carry out (Übertrag)
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2. Volladdierer
Um mehrstellige Dualzahlen
addieren zu können ist eine Erweiterung des Halbaddierers nötig, die in der
Lage ist den Übertrag aus einer vorhergehenden Addition zu verwerten.
Dementsprechend
wird der Schaltung ein dritter Eingang hinzugefügt der die Bezeichnung „ Ü-1 “ bekommt. Die Ausgänge bleiben
unverändert mit „ S “ für die Summe und „ Ü “ für den Übertrag. Die
Wahrheitstabelle des Volladdierers ergibt sich, wie schon beim Halbaddierer,
aus den Rechenregeln für die Addition .
Ü-1
|
B
|
A
|
Ü
|
Z
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Die Formeln in der
disjunktiven Normalform lauten demnach:
Mit
Hilfe des KV-Diagramms kann die Formel für „ Ü „ nun vereinfacht werden.
„ Z „ kann nicht
weiter vereinfacht werden.
Ausgang
Z:
5
Ausgang Ü:
Die vereinfachte
Gleichung für „ Ü “ lautet:
Mit den
Gleichungen für „ Z “ und „ Ü “ lässt sich die nun Schaltung des Volladdierers
mit seinen Grundgliedern aufbauen.
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Alternativ und
einfacher lässt sich ein Volladdierer auch mit zwei Halbaddierern realisieren.
Dazu werden der Summenausgang des ersten Halbaddierers mit einem Eingang des
Zweiten verbunden, und die Übertragsausgänge beider Halbaddierer mit einem
ODER-Glied verknüpft.
Ersetzt man die
beiden Halbaddierer durch die in Kapitel 1 hergeleitete NAND-Schaltung, lässt
sich auch der Volladdierer vollständig aus NAND-Gliedern realisieren.
7
Für die Darstellung
des Volladdierers im Blockschaltbild gibt es verschiedene Symbole.
7
Der dritte Eingang ist hier
jeweils mit „ Ci “
für „Carry in“ gekennzeichnet.
3. Carry-Ripple-Addierer
Da Volladdierer in
der Lage sind drei Eingänge zu verarbeiten, und damit den Übertrag aus einer
vorhergehenden Addition, können nun Addierwerke für mehrstellige Dualzahlen
realisiert werden. Dazu werden einem Halbaddierer für das niederwertigste Bit,
Volladdierer für jedes weitere Bit nachgeschaltet, Der Übertrag wird jeweils
vom niederwertigen zum höherwertigen Addierer weitergegeben. Diese Grundform
der Verschaltung wird Carry-Ripple-Addierer genannt. Sollen, zum Beispiel, zwei
4-stellige Dualzahlen (4-Bit) addiert werden, sind dem Halbaddierer drei
Volladdierer nachzuschalten. Die daraus resultierende Schaltung, ein
sogenannter 4Bit-Addierer, kann an den Ausgängen dementsprechend die Summen der
vier niederwertigsten Stellen und den Übertrag aus der letzten Addition ausgeben.
Zur Übersichtlichkeit werden hier die jeweiligen Blockschaltbild-Symbole
verwendet.
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4.
Addierer
als integrierte Schaltung
Zum Aufbau von einfachen
Addierwerken, in praktischen Anwendungen oder Versuchen, sind Addierer als
integierte Schaltung (IC´s) in verschiedenen Versionen und Bauformen am Markt
erhältlich. Selten verwendete 1Bit-Addierer, oder häufiger anzutreffende 2Bit-/
und 4Bit-Addierer sind jeweils in SMD-Gehäusen oder in herkömmlicher Bauform,
sowie in unterschiedlich schnellen Ausführungen zu bekommen.
Die bekanntesten
Serien sind 74xxx82, ein 2Bit-Addierer, und 4Bit-Addierer mit der
Bezeichnung 74xxx83. Wobei das „xxx“ als Platzhalter für die jeweilige
IC-Familie dient.
IC-Familien
: 74LS (Low-power Schottky); ältere IC-Familie mit TTL-Schaltkreisen.
74HC (High-Speed-CMOS); nicht kompatibel mit 74LS-IC´s.
74HCT ; spezielle Version der 74HC-Familie die kompatibel mit den älteren
74LS-IC´s ist.
Hier als Beispiel
eine Abbildung und die Pinbelegung eines 74HCT83 (4Bit-Addierer):
Pinbelegung eines
74HCT83:
Eingänge:
A1 - A4 und B1 - B4
Übertragseingang:
C0
Summenausgänge:
∑1 - ∑4
Übertragsausgang:
C4
Da die
Kennzeichnungen der IC-Anschlüsse weitestgehend denen in der Schaltalgebra
verwendeten entspricht, ist die Verschaltung solcher Bausteine relativ einfach zu
bewerkstelligen.
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