Die Kettenregel:
Die Kettenregel ist eine der vielen
Ableitungsregeln, aber meiner Meinung nach die allerschlimmste. Faktorregel und
Summenregel gehen ja noch, bei Produktregel und Quotienten Regel wird es schon
etwas haariger, aber die Kettenregel übertrifft ja echt alles. Aber egal, Augen
zu und durch, nützt ja nichts.
Wann braucht man die Kettenregel?
Die Kettenregel wird zur Ableitung von
verketteten oder verschachtelten Funktionen angewendet. Verkettete Funktionen
sind Funktionen, die keine normalen “Grundfunktionen” mehr sind. Normale
Grundfunktionen wären z.B. f(x) = x³ oder f(x) = sin (x), f(x) = tan (x) oder
f(x) = √x oder Ähnliches.
Verkettete Funktionen hingegen bestehen, wie
der Name schon sagt, aus mehreren, bzw, einer Kette von Funktionen, die
ineinander verschachtelt sind. Hört sich krank an – ist es auch.
Am besten, man demonstriert es mal anhand
einiger Beispiele. Verkettete Funktionen wären z.B. f(x) = (5x – 7)² oder sin
(4x) oder e8x + 3.
Woran erkennt man, dass man die Kettenregel
anwenden muss?
Verkettete Funktionen zu erkennen, ist gar
nicht so einfach und bereitet nicht nur Schülern der Oberstufen, sondern auch
so manchem Studenten Kopfzerbrechen.
Immer wenn eine Funktion ein Argument hat,
dass nicht NUR x ist, sondern eine andere Funktion (z.B. √x oder x³),
also wenn mit dem x noch was passiert, ist es eine verkettete Funktion.
In den beiden eben genannten Beispielen für
verkettete Funktionen kann man das ziemlich leicht erkennen. Eine Grundfunktion
wäre z.B. f(x) = x². Die Funktion f(x) = (5x – 7)² ist deshalb eine verkettete
Funktion, weil das Argument x, nicht alleine steht, sondern mit “5x – 7″
eine innere Funktion bildet. Der innere Ausdruck “5x – 7″ wird quadriert
und das ist dann die äußere Funktion.
Man geht also alle Funktionen durch, die
vorkommen und schaue nach, ob jede einzelne Funktion das Argument x hat. Wenn
ja, ist es keine verkettete Funktion, wenn aber mindestens eine Funktion nicht
das Argument x hat, sondern ein anderes Argument (z.B. sin(x) oder ln(x) oder
√x oder x²), ist es eine verkettete Funktion.
Eine verkettete Funktion ist also eine
Funktion, die aus einer inneren und einer äußeren Funktion besteht.
Hier nochmal ein Video, das anhand einiger
Beispiele zeigt, woran man eine verkettete Funktion erkennt:
Was jetzt die innere und was die äußere
Funktion ist, kann man sich dadurch ableiten, indem man für das x einfach
irgendeine Zahl einsetzt und sich dann überlegt, wie man die Funktion mit dem
Taschenrechner ausrechnen würde, bzw. “Was würde man zuerst ausrechnen?”. Wäre
das x in unserem Beispiel eine 4, würde man doch zuerst rechnen “(5*4) –
7″ ist gleich 20 – 7 = 14 und dieses Ergebnis dann quadrieren. Der Teil,
den man zuerst ausrechnen würde, ist die innere (oder erste) Funktion, der Teil,
den man anschließend berechnen würde, die äußere Funktion.
Auch hierzu gibt es ein kurzes, aber gutes
Video, welches auch einige Sonder- oder Spezialfälle behandelt:
Kettenregel ableiten
Zu erkennen, wann eine Kettenregel angewendet
werden muss und welche Terme die innere und äußere Funktion bilden, ist schon
mal die halbe Miete. Dann muss man das ganze Ding aber auch noch irgendwie
ableiten.
Hier gibt es einen wichtigen Merksatz:
Ableitung einer verketteten Funktion: Äußere
Ableitung * Innere Ableitung
Nehmen wir hierzu gleich mal das Beispiel von
oben, nämlich wieder die Funktion f(x) = (5x – 7)². Wir haben bereits
festgestellt, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt, nämlich einmal
die lineare Funktion 5x – 7 (diese können wir auch einfach mit dem Buchstaben u
zusammenfassen) und dann die quadratische Funktion (u)². Wir wissen auch, dass
“5x-7″ oder “u” die innere Funktion und (u)² die äußere Funktion ist. Wie
leitet man jetzt ab? Die Regel besagt ja, äußere Ableitung * Innere Ableitung.
Ein wichtiger Schritt, der bereits vollzogen
wurde, ist der Schritt der Substitution. Wir haben die innere Funktion 5x-7
nämlich bereits durch den Buchstaben u ersetzt. Man hätte auch irgendeinen
anderen Buchstaben nehmen können, außer vielleicht ein x, aber ansonsten ist
das völlig egal. Das Ersetzen dieses Terms durch einen Buchstaben macht die
Sache nicht nur übersichtlicher, sondern hilft auch beim Ableiten, wie wir
gleich sehen werden:
Denn um die gesamte Funktion f (x) = (5x – 7)²
abzuleiten, fangen wir mit der Ableitung der äußeren Funktion an:
Äußere Funktion = u²
Äußere Ableitung = 2u
Der Term, für den das u steht, ist bei der
äußeren Ableitung völlig egal, sodass es viel übersichtlicher war, diesen durch
einen einzigen Buchstaben zu ersetzen. Nachdem wir die äußere Funktion
abgleitet haben, geht es nun an die Ableitung der inneren Funktion:
Innere Funktion = 5x-7
Innere Ableitung = 5
So, jetzt haben wir sowohl die Ableitung der
äußeren, als auch der inneren Funktion. Nun gilt es diese beiden Ableitungen,
entsprechend des Merksatzes miteinander zu multiplizieren:
f(x)’ = 2u · 5 = 10u
Jetzt setzen wir für den Buchstaben u die
ursprüngliche innere Funktion ein, nämlich 5x-7. Wir ersetzen also wieder
zurück und erhalten dann:
f(x)’ = 10 ( 5x-7 )
Somit hätten wir also die Ableitung dieser
Kettenfunktion errechnet.