Dieser Satz lässt sich aus der Definition des Trägheitsmomentes direkt herleiten.

Diese lautet:

und beschreibt die Summe aller Massepunkte, multipliziert mit ihrer quadrierten Entfernung zur Rotationsachse.

Herleitung des Satzes

Für die folgende Betrachtung legen wir fest, dass die Rotationsachse, sowie die Schwerpunktachse, auf die wir uns beziehen, parallel zur Z-Achse im Koordinatensystem liegen.
Damit gilt:

Ferner setzen wir a so an, dass entlang der X-Achse des Systems verschoben wird. Dann ergibt sich als Abstand zwischen der Rotationsachse R_aund Massepunkt Δm:

und somit als neues Trägheitsmoment:

Dabei verdienen die drei Teilterme J_a1, J_a2 und J_a3 besondere Beachtung.

Der erste Term, J_a1, ist nichts anderes als das bekannte Trägheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse R₀:

Der dritte Term, J_a3, beschreibt eine Summierung aller Massepunkte. Das ist selbstverständlich exakt die Gesamtmasse M des Objektes, so dass sich ergibt:

Der zweite Term, J_a2, ist leichter zu begreifen, wenn man sich noch einmal vor Augen hält, dass er sich auf die Schwerpunktachse bezieht. Jede beliebige Achse um die Schwerpunktachse beherbergt eine ebenso hohe Masse in positiver Richtung, wie in negativer.

folgt. Zusammengesetzt ergibt sich:

.

J_S Massenträgheitsmoment um Drehachse S, (geht durch den Schwerpunkt und ist parallel zu A)

J_a Abstand zwischen den Achsen A und S

Bei beliebig geformten Körpern treten die Achsen mit dem kleinsten und größten Massenträgheitsmoment bezüglich der Drehung um den Schwerpunk hervor. Dies sind die Hauptträgheitsachsen des Körpers. Es existiert zusätzlich noch eine dritte Hauptträgheitsachs welche senkrecht zu den anderen beiden ist.

Mit Hilfe des Steinerschen Satzes und den bekannten Massenträgheitsmomenten um die drei Hauptträgheitsachsen lässt sich nun jede beliebige Drehachse berechnen.

1.2.3 Die Schwingungsdauer

 

Herleitung der Formel:

(1)

(2)

(2) in (1):

wenn man die Formel J_A ⁼ J_S + m ∙ a² für sehr große a betrachtet, ergibt sich:

In (1): (l=a)

2 Versuch

2.1 Versuchsaufbau

Ein ideales Pendel würde aus einer Masse m welche an einer Schnur der Länge l hängt bestehen. Für diesen Fall wird die Schnur als masselos angesehen. Wird die Masse nun aus Ihrer Ruhelage um einen Anfangswinkel ausgelenkt und sich dann selbst überlassen, führt sie periodische Schwingungen (T) aus.

Diese Schwingungsbewegung wird in unserem Versuch erfasst und untersucht.

 

Um die gewünschten Messwerte zu erhalten, wird die Felge in beiden Lagen pro Messung jeweils 20mal von einem beliebigen Startpunkt aus schwingen gelassen. Diese Messung wird in jeder Lage 8mal wiederholt.

Bild 1: senkrechte Aufhängung Bild 2: waagrechte Aufhängung

2.2 Beschreibung der Versuchsdurchführung

Erster Schritt ist die Bestimmung der Hauptträgheitsachsen und des Schwerpunktes. Für die spätere Versuchsauswertung muss die Felge gewogen werden. Die Schnurlänge an der die Felge hängt wird beliebig gewählt. Der Abstand des Aufhängepunktes zum Schwerpunkt wird jeweils möglichst genau gemessen.

Nach Abschluß der Vorbereitungen wird die Felge beliebig weit ausgelenkt und losgelassen. Mittels einer Stoppuhr wird die Zeit für exakt 20 Schwingungen gemessen und dokumentiert. Dieser Vorgang wird 8mal wiederholt.

2.3 Messmittel und deren systematische Fehler

Als Messmittel vorhanden:

·         eine Stoppuhr, mit einer Genauigkeit von 0,2 sec.

·         eine Marktwaage, mit einer Genauigkeit von 1 g

·         ein Zollstock, mit einer Genauigkeit von 5 mm

2.4       Messwerte

2.4.1    Masse und Länge

 

2.4.2 Messreihen

 

Aufhängung 1

Aufhängung 2