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Mathe 2 Formelsammlung .doc

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Natural Science
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Mathematics
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Fachhochschule Konstanz - FH
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Halbschriftliche Division
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Integration:

Partielle Integration:

Kartesisches Koordinatensystem:

Explizite Darstellung: y=f(x)

Implizite Darstellung: x²+y² = r²

Parameterdarstellung: x= x(t); y= y(t) bsp Kreis: x(t)= r cos t ; y(t)= r sin t

Zu Parameterdarst: Steigung:

Bedingung waagrechte Tangente:

Bedingung senkrechte Tangente:

Polarkoordinaten:

Explizite Darstellung: r = f(φ)

Implizite Darstellung: F(r, φ) = 0

Parameterdarstellung: r= r(t); φ=φ(t)

Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten:

x= r* cos(φ)

y= r* sin(φ)

Bogenlänge:

Explizit in kartesischen Koordinaten:

Parameterform in kartesischen Koordinaten:


Polarkoordinaten in expliziter Darstellung:

Flächeninhalt:

Explizit in kartesischen Koordinaten:

Parameterdarstellung in kartesischen Koordinaten:

mit x(t1)=a und x(t2)=b

Explizit in Polarkoordinaten:

Parameterdarstellung in Polarkoordinaten:

Leibniz’sche Sektorenformel

Rauminhalte:

Rotation um x-Achse:

Rotation um y-Achse:

Schwerpunkt von Rotationskörper:

Rotation um x-Achse:

Schwerpunkt von ebenen Scheiben/Flächenstücken:

und

Schwerpunkt von ebenen Kurven:

mit

mit

 

Mantelfläche:

 

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2.Guldin’sche Regel

Massenträgheitsmoment eines Rotationskörpers:

Reihen:

Notwendiges Konvergenzkriterium:

Hinreichendes Konvergenzkriterium:

Quotientenkriterium: mit q<1 à Konvergenz

Mit q>1 à Divergenz

Mit q=1 à keine Entscheidung möglich

Wurzelkriterium: mit q<1 à Konvergenz

Mit q>1 à Divergenz

Mit q=1 à keine Entscheidung möglich

Potenzreihe:

Spezialfall: x0=0 à

Konvergenzradius:

r=0: konvergent für Entwicklungspunkt

r gegen Unendlich: konvergent für alle x Є R

0<r<Unendlich: konvergent für alle Ix-x0I<r

Divergent für alle Ix-x0I>r

Hinweis:

Über Quotientenkriterium:

Über Wurzelkriterium:

Taylorreihe:

Mac Laurin’sche Formel: x0=0

1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, …

Fourierreihen:

mit Periode 2π

im Intervall

Bei Achsensymmetrie: bn=0 à mit

Bei Punktsymmetrie: an=0 à mit

Mit anderer Periode:

Differentialgleichungen: DGL 1. Ordnung

Trennung der Variablen:

1. Variable trennen: à umformen:

2. Integrieren:

3. Gleichung nach y auflösen

4. spezielle Lösung ermitteln, falls Anfangswert vorhanden

Substitutionstabelle:

DGL

Substitution

Neue DGL

u=ax+by+c

homogene DGL

(Bernulli-DGL)

1.Substitution

2.Lösung der neuen DGL

3. Rücksubstitution

Ähnlichkeitsdifferentialgleichung: Terme der Summanden haben gleichen Grad

à Substitution mit Fall2

 

Homogene DGL:

à mit c Є R

 

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1.homogene DGL lösen à yhom

2. Lösungsansatz ysp für die Störfunktion wählen

3. Lösungsansatz in inhomogene DGL einsetzen

4. Koeffizienten des Lösungsansatzes bestimmen durch Koeffizientenvergleich oder

Punktprobe

5. allgemeine Lösung der DGL:

6. spezielle Lösung ermitteln, wenn Anfangsbedingung vorhanden

Störfunktion s(x)

Lösungsansatz ysp

1.konstante Funktion

ysp= A

2.lineare Funktion

ysp= Ax +B

3.quadratische Funktion

ysp= Ax² +Bx + C

4. Polynomfunktion n-ten Grades

ysp= anxn +…+a1x + a0

5. s(x)= c* sin (ω0 x)

Oder s(x)= c* cos (ω0 x)

Oder s(x)= c1* sin (ω0 x)+ c2* cos (ω0 x)

ysp= A* sin (ω0 x)+ B* cos (ω0 x)

oder ysp= A* sin (ω0 x+φ)

6. s(x)= c* ecx

ysp= A* ebx für b ≠ -a

ysp= A x* ebx für b= -a mit yhom= c* e-ax

Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten

  1. homogene DGL lösen à yhom
  2. Konstante c von yhom als Funktion von x auffassen: c(x)
  3. yhom und yhomI in inhomogene DGL einsetzen

(Anmerkung: c(x) muss sich rauskürzen)

  1. nach cI(x) auflösen und integrieren à c(x) mit Konstante k
  2. c(x) in yhom einsetzen à allgemeine Lösung y
  3. spezielle Lösung ermitteln, wenn Anfangsbedingung vorhanden

 

DGL 2. Ordnung

Homogene DGL: mit a1, a0 Є R

à charakteristische Gleichung:

Gleichung lösen: 1. λ1und λ2 sind reell à yhom= c1* eλ1x + c2* eλ2x

2. λ1= λ2 = λ sind reell à yhom= c1*x* eλx + c2* eλx = eλx (c1*x + c2)

3. λ1und λ2 sind (konjugiert) komplex

à mit und

Oder Lösung der char. Gl.

 

Inhomogene DGL: mit a1, a0 Є R

1. homogene DGL lösen à yhom

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3. Lösungsansatz in inhomogene DGL einsetzen

4. Koeffizienten des Lösungsansatzes bestimmen durch Koeffizientenvergleich oder

Punktprobe

5. allgemeine Lösung der DGL:

6. spezielle Lösung ermitteln, wenn Anfangsbedingung vorhanden

Störfunktion s(x)

Lösungsansatz yp

1.Polynomfunktion s(x) vom Grad n

s(x) = pn (x)

yp= qn(x) für a0≠0

x * qn(x) für a0=0, a1≠0

x² * qn(x) für a0=a1=0

qn(x): Polynom vom Grad n (zB qn(x)=Ax+B)

Parameter: Koeffizienten d. Polynoms

2. Exponentialfunktion s(x)= ecx

Oder s(x)= pn (x) * ecx

(1) c ist keine Lösung der char. Gl

yp= A * ecx oder yp= pn (x) * ecx

(2) c ist einfache Lösung der char. Gl

yp= A x * ecx oder yp= x *pn (x) * ecx

(3) c ist doppelte Lösung der char. Gl

yp= A x² * ecx oder yp= x² *pn (x) * ecx

3. Sinus-Kosinus-Funktion

s(x) = sin(βx) oder s(x)= cos(βx)

oder Linearkombination aus beiden Funktionen

(1) j β ist keine Lösung der char. Gl (jede Reelle Lösung)

yp= A* sin (βx)+ B* cos (βx) oder

yp= C* sin (βx+φ)

(2) j β ist eine Lösung der char. Gl

yp= x*[A* sin (βx)+ B* cos (βx)] oder

yp= C*x* sin (βx+φ)

4. s(x)= pn (x) * ecx * sin(βx) oder

s(x)= pn (x) * ecx * cos(βx)

(1) c+ j β ist keine Lösung der char. Gl

yp= ecx *[ qn (x)* sin (βx)+ rn (x)* cos (βx)]

(2) c+ j β ist eine Lösung der char. Gl

yp= x* ecx *[ qn (x)* sin (βx)+ rn (x)* cos (βx)]

Lösen von inhomogenen linearen DGL-Systemen:

y1’= a11 * y1 + a12 y2 + s1(x)

y2’= a21 * y1 + a22 y2 + s2(x)

à A) mit a1= - a11 - a22

a0= a11 * a22 – a12 * a21

s(x)= s1’(x) – a22 * s1(x) + a12 * s2(x)

B) DGL für y1 lösen wie DGL 2. Ordnung

C) Aus der 1. Komponente y1 lässt sich dann die 2. Komponente y2 berechnen:

y2= 1/a12 * [ y1’ – a11 * y1 – s1(x) ]


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