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Lineare Optimierung Was ist lineare Optimierung? Lineare Optimierung ist ein Teilgebiet der Optimierungsaufgaben. Um Extremwerte zu berechnen haben wir dies in der Schule durch das erste Differenzial sehr einfach machen können. Doch bei linearen Gleichungssystemen ist die erste Ableitung konstant und erfüllt demnach nicht die Bedingungen der Extremwertberechnung. Um das Minimum oder Maximum einer linearen Zielfunktion bestimmen zu können, sind bestimmte Randbedingungen in Form linearer (Un-)gleichungen zu finden. Geschichte der linearen Optimierung Erstmals wurde lineare Optimierung 1939 von einem sowjetischen Mathematiker namens Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch behandelt. Obwohl diese Arbeiten noch nicht als sehr bedeutungsvoll anerkannt wurden erhielt Kantorowitsch 1975 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für seinen Beitrag zu dem Problem. 1940 erkannte Dantzig erstmals, dass sich durch lineare Ungleichungen sehr viele praktische Beschränkungen beschreiben ließen und schaffte somit eine klare Trennung zwischen dem Ziel der Optimierung und den Mitteln zur Lösung des Planungsproblems. Weiters entwickelte Dantzig zusammen mit anderen Mathematikern Zusammenhänge zwischen linearer Optimierung und der Spieltheorie. Um 1950 entdeckte die Wirtschaft, insbesondere Ölraffinerien die Verwendung von linearer Optimierung Heute wird die lineare Optimierung in sehr vielen Bereichen zur Lösung praktischer Probleme verwendet.
Lösungsverfahren:
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• Click on download to get complete and readable text • This is a free of charge document sharing network • First upload your own document, and you get a word document per email • No registration necessary, gratis Swap homeworks and notes at no charge! Gratis scripts for students and pupils! Die Methodik und graphische Lösungen von Systemen linearer Ungleichungen werde ich im folgenden anhand von Beispielen zu erklären versuchen. Maximumaufgabe: Ein Bäcker stellt unter anderem Haselnusskuchen und Zitronenkuchen her. Neben Mehl, Zucker und Milch benötigt er für den Haselnusskuchen noch Nüsse und für den Zitronenkuchen eine Mischung, die einen Zitronengeschmack hat. Dabei hat er von jeder Zutat nur eine bestimmte Menge zur Verfügung: Mehl 30 kg, Zucker 25 kg, Milch 100 l, Haselnüsse 10 kg und Zitronenmischung 20 kg. Des Weiteren sei erwähnt, dass der Haselnussteig zu 40 Prozent aus Mehl, zu 20 Prozent aus Zucker, zu 25 Prozent aus Milch und 15 Prozent Haselnüssen besteht. Bei dem Zitronenkuchenteig hingegen beträgt die Zusammensetzung: 25 Prozent Mehl, 30 Prozent Zucker, 15 Prozent Milch und 30 Prozent Zitronenmischung. Des Weiteren wiegen beide Kuchen je ein Kilogramm. Wenn der Bäcker den Haselnusskuchen verkauft, erhält er sieben Euro, für den Zitronenkuchen drei Euro. Jetzt stellt sich die Frage, wieviele Haselnuss- bzw. Zitronenkuchen er herstellen muss, so dass er mit den vorhandenen Zutaten auskommt und er zudem seinen Gewinn maximiert. Zunächst können wir die in obiger Beschreibung gegebenen Daten der Übersichtlichkeit halber in einer Tabelle zusammentragen: Haselnusskuchen Zitronenkuchen Vorrat Mehl 0,4 0,25 30 Zucker 0,2 0,3 25 Milch 0,25 0,15 100 Haselnüsse 0,15 0 10
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• Click on download to get complete and readable text • This is a free of charge document sharing network • First upload your own document, and you get a word document per email • No registration necessary, gratis Swap homeworks and notes at no charge! Gratis scripts for students and pupils! Gewinn/Kuchen 7 Euro 3 Euro Aus dieser Tabelle versuchen wir nun die Nebenbedingungen abzuleiten. Die Menge der Haselnusskuchen bezeichnen wir dazu als x und die Menge der Zitronenkuchen als y. Als erstes betrachten wir das Mehl. Für den Haselnusskuchen werden 40 Prozent Mehl benötigt, für den Zitronenkuchen 25 Prozent. Jedoch darf die Menge von 30 kg die uns zur Verfügung stehen nicht überschritten werden. Also erhalten wir die erste Nebenbedingung: R1: 0,4x + 0,25y ≤ 30 Jetzt machen wir das gleiche mit dem Zucker, der Milch, den Haselnüssen und der Zitronenmischung: R2: 0,2x + 0,3y ≤ 25 R3: 0,25x + 0,15y ≤ 100 R4: 0,15x ≤ 10 R5: 0,3y ≤ 20 Dann müssen wir noch darauf achten, dass wir keine negative Anzahl von Kuchen produzieren können, also erhalten wir noch zwei weitere Nebenbedingungen: R6: x ≥ 0 R7: y ≥ 0 Unsere Zielfunktion Z ist auch nicht schwer herzuleiten: Z: 7x + 3y = c (max) Nun versuchen wir die Randbedingungen graphisch in einem Koordinatensystem aufzuzeichnen:
Die Zielfunktion 7x + 3y = c (max) ist in dem Graph gestrichelt eingezeichnet. Da c unbekannt ist kann die Funktion beliebig verschoben werden, doch um sie zu maximieren müssen wir sie wie hier im Graph ersichtlich nach „rechts“ verschieben bis zum äußersten Punkt der zulässigen Lösungen.
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• Click on download to get complete and readable text • This is a free of charge document sharing network • First upload your own document, and you get a word document per email • No registration necessary, gratis Swap homeworks and notes at no charge! Gratis scripts for students and pupils! R1: 0,4x + 0,25y ≤ 30 R4: 0,15 x ≤ 10 I: 2/5 x + ¼ y = 30 II: 3/20 x = 10 x0 = 200/3 x in I: 2/5 * 200/3 + ¼ y = 30 y0 = 40/3 => c (200/3 / 40/3) Nun setzen wir den Punkt in die Zielfunktion ein und erhalten: 7 * 200/3 + 3 * 40/3 = 506 2/3 Antwort: Somit kann der Bäcker mit seinen Kuchen einen optimalen Gewinn von 506,67 Euro machen. Minimumaufgabe: Ein Weingut soll die Weine W1 und W2 mit den Substanzen S1, S2 und S3 zusammen mischen damit die Mischungen möglichst preisgünstig wird. In der folgenden Tabelle sind alle nötigen Angaben zusammengefasst:
R1: 0.1 x ≥ 0,3 R2: 0,1x + 0,1y ≥ 1 R3: 0,1x + 0,2y ≥ 1.4 R4: x ≥ 0 R5: y ≥ 0 Z: 4x + 3y = c (min) Graph: Durch den Graph wird wiederum ersichtlich, dass unsere Zielfunktion durch den Punkt c (x0/y0), der gleichzeitig der Schnittpunkt der Randbedingungen R1 und R3 ist, gehen muss. Um den Punkt c zu berechnen schneiden wir die beiden Geraden wieder und erhalten: x0= 3 y0= 7 c (3/7) Die beiden Werte setzen wir in die Zielfunktion ein: Z: 4 * 3 + 3 * 7 = 33 Die preisgünstigste Lösung für das Weingut beträgt 33 Euro. Quellenangabe: http://www.mathekiste.de/html10/linopt/lineare http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Optimieru Buch: Mathematik 5 (Szirucsek, Dinauer, Unfried, Schatzl – öbv&hpt)
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