Lineare Gleichungen mit n Variablen (x1,…, xn) werden in der Form

a1 x1 + a2x2 + …. + an xn = b

dargestellt, wobei a und b konstante, reelle Zahlen sind.

Wenn die Variablen (x1,…, xn) gleichzeitig mehrere Gleichungen erfüllen sollen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Allgemein lässt sich ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes.

Der erste Index bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable (Zeile) bezeichnet.

Die n-Tupel (x1,…, xn), welche alle Gleichungen erfüllen, bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Zur eindeutigen Bestimmung der n Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich, die einander nicht widersprechen dürfen. [3]

Lineare Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik, sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen Stellenwert.[4] Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen näher betrachtet werden.

2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – historisch

betrachtet

Die Herkunft bzw. die Entstehung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.

Heutzutage wird für die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren genutzt.

Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten weit in die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v.

Chr. konnten die Unbekannten der zwei Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.[5]

Weiter ist bekannt, dass die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu gelangen.[6]

Es besteht durchaus die Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw. vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich dieses herauszufinden.

2.3 Lehrplanauskunft – was ist Pflicht und was ist schon bekannt

(Vernetzungsknoten)

Bereits nach der sechsten Klasse haben Schülerinnen und Schüler (SuS)[7] Terme kennen gelernt und können diese in mathematische Modelle übersetzen, sowie mathematische Modelle auf eine Realsituation übertragen.[8] Dazu ist es notwendig mengentheoretische Begriffe, wie Lösungsmenge, Grundmenge, Schnittmenge usw. zu kennen. Des Weiteren sollten nach Ende der Jahrgangsstufe 6 die Begriffe, wie Gerade, Punkt usw. bekannt sein, die zur Vernetzung notwendig sind.

Am Ende der Jahrgangsstufe 8 sollten die SuS lineare Funktionen und Gleichungen in mathematische Modelle übersetzen können und umgekehrt. „SuS übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichungen, Zufallsversuche)“.[9] „SuS ordnen einem mathematischen Modell (Tabelle, Graf, Gleichung) eine passende Realsituation zu“.[10] Ebenfalls sollten die SuS Termumformungen mithilfe der Rechengesetze, sowie die Äquivalenzumformungen zum Lösen einer linearen Gleichung verinnerlicht haben und bei inner- und außermathematischen Problemen anwenden können.