Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes. Der erste Index bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable (Zeile) bezeichnet.

Die n-Tupel (x1,.., xn), welche alle Gleichungen erfüllen, bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Zur eindeutigen Bestimmung der n Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich, die einander nicht widersprechen dürfen. [3]

Lineare Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik, sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen Stellenwert.[4] Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen näher betrachtet werden.

2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – historisch

betrachtet

Im Vergleich zu anderen mathematischen Themenbereichen, wie der Geschichte der Analysis, ist die Entstehung der „Linearen Algebra“ bisher relativ wenig erforscht worden.

Die Herkunft bzw. die Entstehung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.

Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten weit in die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v.

Chr. konnten die Unbekannten der zwei Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.[5]

Weiter ist bekannt, dass die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu gelangen.[6]

Es besteht durchaus die Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw. vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich dieses herauszufinden.

2.3 Lehrplanauskunft – was ist Pflicht und was ist schon bekannt

(Vernetzungsknoten)

Im Bereich der linearen Gleichungssysteme lassen sich viele Vernetzungsknoten zu anderen Themenbereiche der Schulmathematik der Sekundarstufe 1 ziehen.

Bereits nach der sechsten Klasse haben Schülerinnen und Schüler (SuS)[7] Terme kennen gelernt und können diese in mathematische Modelle übersetzen, sowie mathematische Modelle auf eine Realsituation übertragen.[8] Dazu ist es notwendig mengentheoretische Begriffe, wie Lösungsmenge, Grundmenge, Schnittmenge usw. zu kennen. Des Weiteren sollten nach Ende der Jahrgangsstufe 6 die Begriffe, wie Gerade, Punkt usw. bekannt sein, die zur Vernetzung notwendig sind.

Dies trägt dazu bei, dass das Kennenlernen und Verstehen der verschiedenen Verfahren zur Eliminierung einer Variablen, wie das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren, leichter fällt. Zusätzlich soll das graphische lösen zum besseren Verständnis beitragen.

Explizit wird dies an zwei Stellen im aktuellen Lehrplan aufgeführt:

„SuS lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowohl durch Probieren als auch algebraisch und grafisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle.“[11] „SuS verwenden ihre Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zur Lösung inner- und außermathematische Probleme.“[12] Die beiden Kompetenzerwartungen gelten für das Ende der Jahrgangsstufe 10.

Das lineare Gleichungssystem eignet sich aber auch auf natürliche Weise zur Erfüllung weiterer Kompetenzerwartungen. So empfiehlt es sich zum Beispiel die linearen Gleichungssysteme mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware (DGS)[13] GeoGebra zu behandeln.

Laut Lehrplan sollten SuS am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit einer Geometriesoftware umgehen können. „SuS nutzen Tabellenkalkulation und Geometriesoftware zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge“[14]