Universität
Bielefeld
Fakultät
für Mathematik
Didaktik
des Funktionsbegriffs
Herr
Prof. Dr. Rudolf vom Hofe
Wintersemester
2009/10
Lineare
Gleichungssysteme
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Gliederung:
1.
Einleitung 2
2
Lineare Gleichungssysteme 3
2.1 Allgemeine Definition 3
2.2
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 4
historisch betrachtet
2.3
Lehrplanauskunft - was ist Pflicht und was ist schon bekannt 5
(Vernetzungsknoten)
3.
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 6
4.
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 7
4.1
Geometrische Lösungsverfahren 8
4.2 Algebraische Lösungsverfahren 9
5.
Lineare Gleichungssysteme mit GeoGebra 12
6.
Fazit 13
Literaturverzeichnis 15
1.
Einleitung
Lineare Gleichungssysteme
begleiten uns überall im Leben, ob im Alltag oder in der Wirtschafts- bzw.
Sozialwissenschaft. Fast jeder Bundesbürger besitzt ein Mobiltelefon, Bankkonto
oder einen bestimmten Stromtarif. Aber wie genau kann man z.B. den besten
Handytarif berechnen?
Wie werden
außermathematische, aber auch innermathematische Problemstellungen, mit Hilfe
des linearen Gleichungssystems im Rahmen des Mathematikunterrichts der
Sekundarstufe I gelöst? Welche Mittel stehen den Schülerinnen und Schülern zur
Lösung dieser Probleme zur Verfügung? Diese Fragen werden in unserer
Ausarbeitung zum Seminar „Didaktik des Funktionsbegriffs“ der Universität
Bielefeld, Wintersemester 2009/2010, bearbeitet.
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möchten wir die Einordnung in Bezug auf den Lehrplan vornehmen und beleuchten
welche Voraussetzungen Schülerinnen und Schüler erfüllen müssen, wenn lineare
Gleichungssysteme im Mathematikunterricht eingeführt werden.
Im darauffolgenden Abschnitt
stellen wir die Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme mit zwei
Unbekannten vor. Sowohl die geometrische Lösungsmethode, als auch die drei
algebraischen Verfahren werden beschrieben und im Bezug auf die jeweilige
Eignung überprüft.
Der
Einsatz von neuen Medien ist ein fester Bestandteil des Kernlehrplans im Fach
Mathematik der Sekundarstufe I an Realschulen. Warum sich das Thema „Lineare
Gleichungssysteme“ besonders für den Einsatz des Computers (insbesondere des
dynamischen Zeichenprogramms „GeoGebra“) eignet, klären wir ebenfalls im weiteren
Verlauf der Ausarbeitung.
Abschließend
werden die wesentlichen Erkenntnisse in einem Fazit zusammengefasst.
2.
Lineare Gleichungssysteme
2.1
Allgemeine Definition
Die
Notwendigkeit, Gleichungen aufzustellen – und natürlich zu lösen-, die mehr als
eine Unbekannte enthalten, ergibt sich in der Praxis recht häufig.
„(..)weil es manchmal vorkommt, dass man Beziehungen zwischen zwei oder mehr
Größen hat und aus diesen Beziehungen die Werte der Größen berechnen muss.“ In solchen Fällen enthält eine
Gleichung statt einer, mehrere von einander abhängiger Variablen.
Lineare Gleichungen mit n
Variablen (x1,..,
xn) werden in der Form
a1 x1 + a2x2 + ... + an xn = b
dargestellt, wobei a
und b konstante, reelle Zahlen sind.
Wenn die Variablen (x1,.., xn) gleichzeitig mehrere Gleichungen
erfüllen sollen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Allgemein
lässt sich ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
Unbekannten immer in die folgende Form bringen:
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Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes. Der erste Index
bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable
(Zeile) bezeichnet.
Die n-Tupel (x1,.., xn), welche alle Gleichungen erfüllen,
bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Zur eindeutigen Bestimmung der n
Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich,
die einander nicht widersprechen dürfen.
Lineare
Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik,
sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen
Stellenwert.
Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei
Variablen näher betrachtet werden.
2.2
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – historisch
betrachtet
Im
Vergleich zu anderen mathematischen Themenbereichen, wie der Geschichte der
Analysis, ist die Entstehung der „Linearen Algebra“ bisher relativ wenig erforscht
worden. Die Herkunft bzw. die Entstehung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen
werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich
muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der
Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.
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Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit
zwei Unbekannten weit in
die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v. Chr. konnten die Unbekannten der zwei
Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.
Weiter ist bekannt, dass
die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen
zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu
gelangen.
Es besteht durchaus die
Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare
Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw.
vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich
dieses herauszufinden.
2.3 Lehrplanauskunft – was
ist Pflicht und was ist schon bekannt
(Vernetzungsknoten)
Im
Bereich der linearen Gleichungssysteme lassen sich viele Vernetzungsknoten zu
anderen Themenbereiche der Schulmathematik der Sekundarstufe 1 ziehen.
Bereits nach der sechsten Klasse haben
Schülerinnen und Schüler (SuS) Terme kennen gelernt und können diese
in mathematische Modelle übersetzen, sowie mathematische Modelle auf eine
Realsituation übertragen. Dazu ist es notwendig mengentheoretische
Begriffe, wie Lösungsmenge, Grundmenge, Schnittmenge usw. zu kennen. Des Weiteren sollten nach Ende der
Jahrgangsstufe 6 die Begriffe, wie Gerade, Punkt usw. bekannt sein, die zur
Vernetzung notwendig sind.
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Dies trägt dazu bei, dass
das Kennenlernen und Verstehen der verschiedenen Verfahren zur Eliminierung
einer Variablen, wie das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das
Einsetzungsverfahren, leichter fällt. Zusätzlich soll das graphische lösen zum
besseren Verständnis beitragen.
Explizit wird dies an zwei
Stellen im aktuellen Lehrplan aufgeführt:
„SuS lösen lineare Gleichungssysteme
mit zwei Variablen sowohl durch Probieren als auch algebraisch und grafisch und
nutzen die Probe als Rechenkontrolle.“ „SuS verwenden ihre Kenntnisse über
lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zur Lösung inner- und
außermathematische Probleme.“ Die beiden Kompetenzerwartungen
gelten für das Ende der Jahrgangsstufe 10.
Das lineare
Gleichungssystem eignet sich aber auch auf natürliche Weise zur Erfüllung
weiterer Kompetenzerwartungen. So empfiehlt es sich zum Beispiel die linearen
Gleichungssysteme mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware (DGS) GeoGebra zu behandeln. Laut Lehrplan
sollten SuS am Ende der Jahrgangsstufe 8 mit einer Geometriesoftware umgehen
können. „SuS nutzen Tabellenkalkulation und Geometriesoftware zum Erkunden
inner- und außermathematischer Zusammenhänge“
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