Universität
Bielefeld
Fakultät
für Mathematik
Didaktik
des Funktionsbegriffs
Herr
Prof. Dr. Rudolf vom Hofe
Wintersemester
2009/10
Lineare
Gleichungssysteme
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Gliederung:
1.
Einleitung 2
2
Lineare Gleichungssysteme 3
2.1 Allgemeine Definition 3
2.2
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 4
historisch betrachtet
2.3
Lehrplanauskunft - was ist Pflicht und was ist schon bekannt 5
(Vernetzungsknoten)
3.
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 6
4.
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 7
4.1
Geometrische Lösungsverfahren 8
4.2 Algebraische Lösungsverfahren 9
5.
Lineare Gleichungssysteme mit GeoGebra 12
6.
Fazit 13
Literaturverzeichnis 15
1.
Einleitung
Lineare Gleichungssysteme
begleiten uns überall im Leben, ob im Alltag oder in der Wirtschafts- bzw.
Sozialwissenschaft. Fast jeder Bundesbürger besitzt ein Mobiltelefon, Bankkonto
oder einen bestimmten Stromtarif. Aber wie genau kann man z.B. den besten
Handytarif berechnen?
Wie werden
außermathematische, aber auch innermathematische Problemstellungen, mit Hilfe
des linearen Gleichungssystems im Rahmen des Mathematikunterrichts der
Sekundarstufe I gelöst? Welche Mittel stehen den Schülerinnen und Schülern zur
Lösung dieser Probleme zur Verfügung? Diese Fragen werden in unserer
Ausarbeitung zum Seminar Didaktik des Funktionsbegriffs der Universität
Bielefeld, Wintersemester 2009/2010, bearbeitet.
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kurzer Überblick der historischen Betrachtungsweise des Themenbereiches. Anschließend
möchten wir die Einordnung in Bezug auf den Lehrplan vornehmen und beleuchten
welche Voraussetzungen Schülerinnen und Schüler erfüllen müssen, wenn lineare
Gleichungssysteme im Mathematikunterricht eingeführt werden.
Im darauffolgenden Abschnitt
stellen wir die Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme mit zwei
Unbekannten vor. Sowohl die geometrische Lösungsmethode, als auch die drei
algebraischen Verfahren werden beschrieben und im Bezug auf die jeweilige
Eignung überprüft.
Der
Einsatz von neuen Medien ist ein fester Bestandteil des Kernlehrplans im Fach
Mathematik der Sekundarstufe I an Realschulen. Warum sich das Thema Lineare
Gleichungssysteme besonders für den Einsatz des Computers (insbesondere des
dynamischen Zeichenprogramms GeoGebra) eignet, klären wir ebenfalls im weiteren
Verlauf der Ausarbeitung.
Abschließend
werden die wesentlichen Erkenntnisse in einem Fazit zusammengefasst.
2.
Lineare Gleichungssysteme
2.1
Allgemeine Definition
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Lineare Gleichungen mit n
Variablen (x1,
,
xn) werden in der Form
a1 x1 + a2x2 +
. + an xn = b
dargestellt, wobei a
und b konstante, reelle Zahlen sind.
Wenn die Variablen (x1,
, xn) gleichzeitig mehrere Gleichungen
erfüllen sollen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Allgemein
lässt sich ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
Unbekannten immer in die folgende Form bringen:
Die Koeffizienten azs haben zwei Indizes. Der erste Index
bezieht sich auf die Gleichung (Spalte), während der Zweite die Variable
(Zeile) bezeichnet.
Die n-Tupel (x1,
, xn), welche alle Gleichungen erfüllen,
bilden die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Zur eindeutigen Bestimmung der n
Variablen eines LGS sind genau n linear unabhängigen Gleichungen erforderlich,
die einander nicht widersprechen dürfen.
Lineare
Gleichungssysteme besitzen nicht nur in verschiedenen Bereichen der Mathematik,
sondern auch im Hinblick auf außermathematische Anwendungen, einen zentralen
Stellenwert.
Im Folgenden soll dieses Thema anhand von linearen Gleichungssystems mit zwei
Variablen näher betrachtet werden.
2.2
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen historisch
betrachtet
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muss hauptsächlich über Umwege aus konkreten Zahlenbeispielen erschlossen
werden, da nur wenige Informationen aus der Literatur hervorgehen. Folglich
muss auf Sekundärliteratur zurückgegriffen und die Gesamtdarstellung der
Mathematik als weitere Hilfestellung mit einbezogen werden.
Heutzutage wird für die
Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren
oder das Gleichsetzungsverfahren genutzt.
Allerdings reicht das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit
zwei Unbekannten weit in
die Zeit zurück, denn bereits um 1700 v. Chr. konnten die Unbekannten der zwei
Gleichungen von den Babyloniern entschlüsselt werden.
Weiter ist bekannt, dass
die Griechen 300 n. Chr. bestimmte Symbole für die unterschiedlichen Rechenoperationen
zur Hilfe nahmen, um bei linearen Gleichungssystemen zu einem Ergebnis zu
gelangen.
Es besteht durchaus die
Möglichkeit, dass schon in anderen Kulturen vor dieser Zeit lineare
Gleichungssysteme gelöst werden konnten. Dennoch ist es durch wenige bzw.
vielleicht auch unverständliche Überlieferungen immer noch praktisch unmöglich
dieses herauszufinden.
2.3 Lehrplanauskunft was
ist Pflicht und was ist schon bekannt
(Vernetzungsknoten)
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Bereits nach der sechsten Klasse haben
Schülerinnen und Schüler (SuS) Terme kennen gelernt und können diese
in mathematische Modelle übersetzen, sowie mathematische Modelle auf eine
Realsituation übertragen. Dazu ist es notwendig mengentheoretische
Begriffe, wie Lösungsmenge, Grundmenge, Schnittmenge usw. zu kennen. Des Weiteren sollten nach Ende der
Jahrgangsstufe 6 die Begriffe, wie Gerade, Punkt usw. bekannt sein, die zur
Vernetzung notwendig sind.
Am Ende der Jahrgangsstufe
8 sollten die SuS lineare Funktionen und Gleichungen in mathematische Modelle
übersetzen können und umgekehrt. SuS übersetzen einfache Realsituationen in
mathematische Modelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichungen,
Zufallsversuche). SuS ordnen einem mathematischen
Modell (Tabelle, Graf, Gleichung) eine passende Realsituation zu. Ebenfalls sollten die SuS
Termumformungen mithilfe der Rechengesetze, sowie die Äquivalenzumformungen zum
Lösen einer linearen Gleichung verinnerlicht haben und bei inner- und
außermathematischen Problemen anwenden können.
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