Einführung in die Chaostheorie .txt

Dieses Phänomen bezeichnet man als Attraktor. Attraktoren betrachten die Dynamik anhand von Phasenraumdiagrammen, diese geben einen Überblick über die Dynamik.

Jeder Zustand wird zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt dargestellt. Die Dynamik lässt sich somit als Bahn im Phasenraum interpretieren. Attraktoren sind Bahnen die zu einer bestimmten Bahn konvergieren. Kleine und kleinste Ursachen beziehungsweise Unterschiede bei den Anfangsbedingungen in rückgekoppelten Systemen erzeugen größte Wirkungen und unvorhersehbare Abweichungen.

Es gibt vier verschiedene Attraktoren: Den „Fixpunkt-Attraktor“, welcher unabhängig von den Anfangsbedingungen ist und sich auf den Punkt zu bewegt, den „Grenzzyklus-Attraktor“, welcher einer ebenen Kurve entspricht und den „Torus-Attraktor“, dieser entspricht ebenfalls einer ebenen Kurve und ist räumlich gedehnt.

Diese drei Attraktoren sind vorhersehbar.

Außerdem gibt es noch die „seltsamen Attraktoren“, diese haben eine hochdifferenzierte, komplexe, räumliche Struktur. Sie sind fraktal, nicht periodisch und unendlich gefaltet. Seltsame Attraktoren halten sich im begrenzten Gebiet im Phasenraum auf.

2.2 Die Periodenverdopplung

Chaotische Systeme haben geordnete Strukturen, vor allem im Rahmen der Attraktorenforschung. Otto E. Rössler1 gelang dies nachzuweisen.

Er untersuchte einen tropfenden Wasserhahn, und fand heraus, dass die Tropfen geordnet fallen: erst 2, dann 4, 8, 16 und so weiter. Diese Regelmäßigkeit nennt man Periodenverdopplung. Die Entdeckung der geordneten Strukturen gilt ebenfalls für Bifurkationen.

Dies sind Gabelungen oder Verzweigungen in einem System, welches sich an sogenannten Bifurkationsstellen zwischen zwei oder mehreren Wegen entscheiden muss. Die Periodenverdopplung wird auch Feigenbaum Szenario genannt.

2.3 Der Schmetterlingseffekt

Edward Lorenz hat die Frage aufgeworfen, ob ein Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen kann.

Ein chinesisches Sprichwort sagt, dass die Kräfte von Schmetterlingsschwingungen noch auf der anderen Seite der Erde zu spüren sind. Das Aufschaukeln von kleinen Effekten zu großen Störungen nennt man Schmetterlingseffekt.

Der Schmetterlingseffekt wird hauptsächlich auf das Wetter bezogen. Bei dem Berechnen von Wetterstrukturen durch Edward Lorenz kam es zu Abweichungen im Zeitverlauf zwischen zwei Berechnungen, da Lorenz bei der zweiten Berechnung die Anfangswerte gerundet hatte, um Zeit zu sparen.

2.4 Evolution und Chaos

„Evolution ist gleich Chaos plus Rückkoppelung2.“ sagte James Ford3. (Huber, Andreas: „Chaosforschung“. Heyne Verlag, München 1996, S.45)

Ohne Chaos gibt es keine komplexen Systeme und somit keine Evolution und Leben. Chaotische Strukturen verkörpern auf der Ebene der Evolution ein durch vielfältige Rückkoppelung erzeugtes komplexes System. Entwicklung natürlicher und lebendiger Prozesse, Strukturen und Systeme beruhen auf einer evolutionären Kreativität.

Das „Werden der Welt“ ist Grundzustand der Chaostheorie. In Nichtlinearität und Rückkoppelung sind alle Voraussetzungen angelegt, um Strukturen, wie die des Gehirns, entfalten zu können. Das Verständnis der Evolution stellt größte Rätsel und Herausforderungen an unser Erkenntnisvermögen dar.

2.5 Der Ljapunov-Exponent

Der Ljapunov-Exponent ist eine der wichtigsten Kenngrößen deterministisch chaotischer Systeme. Der Exponent wurde nach dem russischen Mathematiker Alexander Ljapunov4 benannt. Der Exponent bestimmt wie schnell zwei nahe benachbartete startende Bahnen auseinander laufen. Der Abstand d(t) zur Zeit t wächst exponentiell an.